数列求和常用的五种方法

1、数列求和常用的五种方法一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法1、等差数列求和公式:n(a1 an)Sn2nan(n 1)d22、等比数列求和公式:na1印(1 qn)(q 1)3、Snk n( n 1)k 124、nk2k 11护 1)(2n1)5、Snk3k 11尹n 1)1.log3 xlog 2 31，求xx2x3解：由log 3 xlog2 3log3 xlog 3 2Snx x2=x(1 x1 x12n12a a.q1 q(q 1)的前n项和.由等比数列求和公式得12n二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法，这种

2、 方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是 等差数列和等比数列.例 2.求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由题可知，(2n 1)xn1的通项是等差数列2n - 1的通项与等比 数列xn1的通项之积当 X 1时，Sn 13 5>IZ设xSn 1X3x2 5x3 7x4(2n 1)xn设制错位一得(1X)Sn 1 2X2x22x3 2x42x1(2n 1)xn错位相减再利用等的求和公(11x)Sn 1 2x 1(2n1)xa0, abnSn1，数列an lga,(2n 1)xn 11)xn (1 x)2(2nan是首项为a.(nN)，求数

3、列bn(1 x)公比也为a的等比数列,的前n项和Sn。解析:a,SaSnn ua ,bnn(a 2a2,23(a 2an a3alga33a4n nan na)lg a1)lg a-得：(1 a)Sn/ 2(a ana na1)lgaSna lg a2 1(1 n na)a(1 a)点评：设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，那么数列1 2n 1 n72n 12anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数 列倒过来排列反序，再把它与原数列相加，就可以得到n个(ai务).f(-)f(n 1)nn的值;2数列an满足：

4、an1f(0) f()2 f()nn列an是例4.函数f(x)对任意x R，都有f(x) f (1 x)f(- 1) f(1)，数n等差数列吗？请给与证明。3bn44a-1S-3216nTn b,2 b22bn2试比拟Tn与Sn的大小。解：1令x 1,可得f(1)丄，2242anf(0)f(-)f(-)nn,n1上n 2anf(1)f()f ()nn1n 12 anf(0)f(1)f()f()nnn 1an43bn -,Tn16(11 1.2影n2332Sn1 n 1111f() f (- -)f() f(1 -)-nnnn 2n 1f() f (1)n2 1f (-) f (1)f(0)nn

5、f(1)f(0)1(n 1)21 1112)16(1-)n1 223(n 1) n16n四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数 列适当拆开，可分为几个等差、 再将其合并即可 例5.求数列的前n项和：1等比或常见的数列，然后分别求和,求和例6.A解：设 Sn(1 1) (- 4)a111,4,-2aa1(27)a7, ,4 3n 2， a1(h 3n 2)a将其每一项拆开再重新组合得1 1Sn (1-2a a当a= 1时,1)(14aSn3n 2)分组Sn = 2=(3n1)n2分组1n a1丄a求数列n(n+1)(2n+1)的前当a 1时，Sn>1/(3n

6、 1)n2n项和.解：设 ak k(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 knn3Sn k(k 1)( 2k 1) =(2kk 1k 1将其每一项拆开再重新组合得nnn32k 3 kkk 1k 1k 1分组23k k)(3n1)n2=2(13 23n3) 3(1222n2) (1 2n)2 2=n (n 1) n(n 1)(2n 1)2n(n22H = n(n 1) (n22)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项, 最终到达求和的目的.通项分解裂项如：1f(n 1) f(n)2si n1cos n cos(n 1)tan(n 1)tann3a1 1 n(n 1) n4an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 12(2n 112n 1)5_ 1 n(n1)( n 2)(n 1)(n(6) ann 2n(n 1)12n2(n1) n n(n 1)12n1n 2n 1缶那么S例7.求数列解：设a的前n项和._n 1裂项裂项求和=C.2 d) (.3. 2)n) * n