第六章 微分方程 第五节 常系数线性方程

1、第五节第五节 常系数线性方程常系数线性方程1常系数齐次线性方程通解的求法常系数齐次线性方程通解的求法2常系数非齐次线性方程的通解求法常系数非齐次线性方程的通解求法3欧拉方程欧拉方程)(1)1(1)(xfypypypynnnn n阶阶常系数线性微分方程常系数线性微分方程的标准形式的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式nppp,21其中其中为常数。为常数。0)( xf常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程0)( xf常系数非齐次线性方程常系数非齐次线性方程qp,其

2、中其中为常数。为常数。一一 常系数齐次线性方程通解的求法常系数齐次线性方程通解的求法二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入代入得得0)(2 xre qprr02qrpr称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1. 当当042qp有两个相异实根有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为因此方程的通解为xrxreCeCy2121 ( r 为待定常数为待定常数 ),为常数时为常数时因为因为r所以令所以

3、令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.xre函数函数时时,2. 当当042 qp特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xre)(1urup 0 uq)2(211ururu 1r注意注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x ,12xrexy 因此原方程的通解为因此原方程的通解为xrexCCy1)(21 ,2p .11xrey )(1xuexr 0)()2(1211 uqrprupru则得则得时时,3. 当当042 q

4、p特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根 irir 21,这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:xiey)(1 )sin(cosxixex xiey)(2 )sin(cosxixex 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:)(21211yyy )(21212yyyi xex cos xex sin 因此原方程的通解为因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx 时时,例例1求下列微分方程的通解。求下列微分方程的通解。; 023)1( yyy0134)2( yyy解解(1)特征方程为特征方程为0232 rr特征根为特征根为, 1

5、1 r微分方程通解为微分方程通解为22 rxexe21C2C y(2)特征方程为特征方程为01342 rr特征根为特征根为,321ir 微分方程通解为微分方程通解为ir322 xex3cos2 xex3sin2 1C2C y例例2 2, 109600 xxyyyyy求解微分方程初始值问题求解微分方程初始值问题解解特征方程为特征方程为0962 rr特征根为特征根为, 321 rr微分方程通解为微分方程通解为xe3 xxe3 1C2C y01 xy1C y )33(323231xxxxeCeCeC 0 x0 x 2213CC , 11 C52 C所求解为所求解为xxxeey335 若特征方程含若特

6、征方程含k重复根重复根, ir 若特征方程含若特征方程含k重实根重实根r , , xrkkexCxCC)(121 xxCxCCekkx cos)( 121sin)(121xxDxDDkk 则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项)(01)1(1)(均为常数均为常数knnnnayayayay 特征方程特征方程: : 0111 nnnnararar),(均为任意常数均为任意常数以上以上iiDC推广推广: :则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项例例3052)4( yyy求方程求方程的通解的通解. 解解:, 052234 rrr特征根特征根:irrr21, 04,321 因此原方程通解为因此原方程

7、通解为xCC21 )2sin2cos(43xCxCex 例例4.0)4()5( yy解方程解方程解解:, 045 rr特征根特征根 :1, 054321 rrrrr原方程通解原方程通解: 1C xC2 23xC34xCxeC5(不难看出不难看出, 原方程有特解原方程有特解), 132xexxx y y 特征方程特征方程特征方程特征方程:222222)(rr 例例5 . )0(0dd444 wxw解方程解方程解解:44 r即即0)2)(2(2222 rrrr其根为其根为),1(22,1ir )1(24,3ir 方程通解方程通解 :xe2 )2sin2cos(21xCxC xe2 )2sin2co

8、s(43xCxC w 特征方程特征方程:0 例例6,2cos,2,321xyexyeyxx 求一个以求一个以xy2sin34 为特解的为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根根据给定的特解知特征方程有根 :,121 rrir24 , 3 因此特征方程为因此特征方程为2)1( r0)4(2 r即即04852234 rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为故所求方程为其通解为其通解为xCxCexCCyx2sin2cos)(4321 二二 常系数非齐次线性方程通解的求法常系数非齐次线性方程通解的求法)(xfy

9、qypy ),(为为常常数数qp二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为Yy *y 非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y给出特解给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法)(xQex )()2(xQp )()(2xQqp )(xPemx 型型)()(xPexfmx 为实数为实数 ,)(xPm设特解为设特解为, )(*xQeyx 其中其中 为待定

10、多项式为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02 qp 即即则取则取),(xQm从而得到特解从而得到特解形式为形式为. )(*xQeymx )()2(xQp )()(2xQqp )(xPm 为为 m 次多项式次多项式 .Q (x) 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式1(2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , , 02 qp ,02 p )(xQ 则则为为m 次多项式次多项式, 故特解形式为故特解形式为xmexQxy )(* (3

11、) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02 qp ,02 p )(xQ 则则是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmexQxy )(*2 小结小结 对方程对方程,)2, 1, 0()(* kexQxyxmk 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp )(xPm )()(2xQqp 即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解例例7写出下列微分方程特解的形式写出下列微分方程特解的形式(1)xexyyy22134 解解2 由于对应的齐次方程的特征方程由于对应的齐次方程的特征方

12、程01342 rr的根的根.32,3221irir 所以所以不是特征方程不是特征方程的根，的根，因此因此. 0 k,)(2xxPm , 2 m因此特解形式为因此特解形式为 y0 x)(2cbxax xe2 xecbxax22)( (2)xexyyy2282 解解2 由于对应的齐次方程的特征方程由于对应的齐次方程的特征方程0822 rr的根的根. 4, 221 rr所以所以是特征方程的单根，是特征方程的单根，此此. 1 k,)(2xxPm , 2 m因此特解形式为因此特解形式为 y1x)(2cbxax xe2 xecbxaxx22)( 因因(3)xexyyy2244 解解2 由于对应的齐次方程的

13、特征方程由于对应的齐次方程的特征方程0442 rr的根的根.221rr 所以所以是特征方程的二重根，是特征方程的二重根，此此. 2 k,)(2xxPm , 2 m因此特解形式为因此特解形式为 y2x)(2cbxax xe2 因因(4)xxeyyyy 33解解1 对应的特征方程对应的特征方程, 013323 rrr特征根为特征根为, 1321 rrr所以所以是特征方程的三重根，是特征方程的三重根，此此. 3 k,)(xxPm , 1 m因此特解形式为因此特解形式为 y3x)(bax xe 因因例例8求微分方程求微分方程1332 xyyy的通解。的通解。解解特征方程特征方程. 0322 rr特征根

14、特征根, 3, 121 rr对应的齐次方程通解为对应的齐次方程通解为.321xxeCeCY , 13)( xxf0 不是特征根，不是特征根， 因此因此, 0 k, 13)( xxPm, 1 m因此设微分方程特解为因此设微分方程特解为)(baxy 代入原方程得代入原方程得baax323 , 13 x比较系数可知比较系数可知, 33 a132 ba因此因此, 1 a.31 bxy 31原方程通解为原方程通解为 yYyxxeCeC321 x 31xxebaxaey)( xebaax)( xebaaxy)2( 例例9求微分方程求微分方程xxeyyy 65的通解。的通解。解解特征方程特征方程. 0652

15、 rr特征根特征根, 3, 221 rr对应的齐次方程通解为对应的齐次方程通解为.3221xxeCeCY ,)(xxexf 1 不是特征根，不是特征根， 因此因此, 0 k,)(xxPm , 1 m因此设微分方程特解为因此设微分方程特解为xebaxy)( 代入原方程消去代入原方程消去ax2,x 比较系数可知比较系数可知, 12 a023 ba因此因此,21 a.43 bxexy)4321( 原方程通解为原方程通解为 yYyxxeCeC321 xex)4321( xe得得ba23 xebaxy2)2( xebxbaax22)22(2( xebaaxy2)224( xebxbaax22)22(2(

16、2 xebaxabax22)42)84(4( xebxax22)(2 例例10 求微分方程求微分方程xxeyyy223 的通解。的通解。解解特征方程特征方程. 0232 rr特征根特征根, 2, 121 rr对应的齐次方程通解为对应的齐次方程通解为.221xxeCeCY ,)(2xxexf 2 是单特征根，是单特征根， 因此因此, 1 k,)(xxPm , 1 m因此设微分方程特解为因此设微分方程特解为xxebxaxebaxxy222)()( 代入原方程消去代入原方程消去ax2 ,x 比较系数可知比较系数可知, 12 a02 ba因此因此,21 a. 1 bxexxy2)2(2 原方程通解为原

17、方程通解为 yYyxxeCeC221 xexx22)21( xe2 得得ba 2例例11 求微分方程求微分方程122 xeyyyx的通解。的通解。解解特征方程特征方程. 022 rr特征根特征根, 2, 121 rr对应的齐次方程通解为对应的齐次方程通解为.221xxeCeCY ,)(21xexf 2 是单特征根，是单特征根， 因此因此, 1 k, 1)( xPm, 0 m因此设微分方程特解为因此设微分方程特解为xaxey21 代入原方程消去代入原方程消去a3 , 1 所以所以,31 axxey2131 xe2 得得(1)(2) 求求xeyyy22 的特解。的特解。所以所以xeyyy22 的特

18、解为的特解为原方程通解为原方程通解为 21yyYyxxeCeC221 xxe231 (3) 求求12 xyyy的特解。的特解。, 1)(2 xxf0 不是特征根，不是特征根， 因此因此, 0 k, 1)( xxPm, 1 m设微分方程特解为设微分方程特解为baxy 2代入原方程得代入原方程得baax22 , 1 x比较系数得比较系数得,21 a43212 xy所以所以12 xyyy的特解为的特解为43 b(4)4321 x例例12设设)(xf二阶导数连续，二阶导数连续，且且, 0)0(, 1)0( ff曲线积分曲线积分2(53 ( )( )2 ( )xLef xydxfxf x dy 与路径与

19、路径无关，无关，求求).(xf解解 由于曲线积分与路径无关，由于曲线积分与路径无关， 所以所以)(35(2yxfeyx )(2)(xfxfx )(52xfex)(2)(xfxf 因此因此)(xf满足微分方程满足微分方程xefff2532 0)0(, 1)0( ff特征方程特征方程. 0322 rr特征根特征根121,3,rr 对应的齐次方程通解为对应的齐次方程通解为.321xxeCeCF 设非齐次方程的特解为设非齐次方程的特解为,2xaef 代入方程得代入方程得, 1 a,2xef xxxeeCeCxf2321)( 因此方程通解为因此方程通解为由于由于)0(f 1121 CC)0(f 0232

20、1 CC所以所以,211 C212 Cxxxeeexf232121)( 型型xxPxxPexfnlx sin)(cos)()( 2为实数，为实数，)0(, )(),(xPxPnl分别为分别为l ，n 次多项式。次多项式。 xxPxxPenlx sin)(cos)( 对非齐次方程对非齐次方程yqypy ),(为为常常数数qp xRxRexymmxk sincos* 则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), i lnm,max 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例13写出下列微分方程的特解形式。写出下列微分方

21、程的特解形式。(1)xxeyyyx3cos32 解解 特征方程特征方程, 0322 rr特征根特征根1, 321 rr,3cos)(xxexfx , 3, 1 i 31 不是特征根，不是特征根，所以所以, 0 k, 0)(,)( xPxxPnl所以所以, 1,max nlm因此因此3sin)(3cos)(xdcxxbaxeyx (2)xxeyyyx3cos102 解解 特征方程特征方程, 01022 rr特征根特征根,312, 1ir ,3cos)(xxexfx , 3, 1 i 31 是单特征根，是单特征根，所以所以, 1 k, 0)(,)( xPxxPnl所以所以, 1,max nlm因此

22、因此3sin)(3cos)(xdcxxbaxxeyx (3)xxyyy2sin168)4( 解解 特征方程特征方程, 016824 rr特征根特征根,221irr ,2sin)(xxxf , 2, 0 ii2 是二重特征根，是二重特征根，所以所以, 2 k, 0)( xPl所以所以, 1,max nlm因此因此2sin)(2cos)(2xdcxxbaxxy ,243irr ,)(xxPn xcbaxxadcxy2sin)22(2cos)22( xadcxxcbaxy2sin)(42cos)(4 例例14xxyy2cos 求方程求方程的一个特解的一个特解 .解解:特征方程特征方程, 2, 0 故

23、设特解为故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(* 不是特征方程的根不是特征方程的根,ii2 代入方程得代入方程得xcbxa2cos)433( 012 r,)(xxPl , 0)( xPn比较系数比较系数 , 得得9431, da.2sin2cos*9431xxxy 于是求得一个特解于是求得一个特解13 a043 cb03 c043 ad0 cb本题本题 xadxc2sin)433( xx2cos )sin)(cos)(xabxbaeyx )sin2cos2(xaxbeyx 例例15xeyyyxcos422 求方程求方程的通解的通解 .解解特征方程为特征方程为, 0222 rr特征

24、根特征根,12, 1ir ,cos4)(xexfx , 1, 1 i 1不是特征根，不是特征根，所以所以, 0 k, 0)(, 4)( xPxPnl所以所以, 0,max nlm所以对应的齐次方程的通解为所以对应的齐次方程的通解为)sincos(21xcxceYx 故设特解为故设特解为)sincos(xbxaeyx 代入方程得代入方程得xebaxcos)44( xeabxsin)44( xexcos4 所以所以, 1 ba, 0 ab,2121 ba),sin(cos21xxeyx 通解为通解为)sincos(21xcxcex y),sin(cos21xxex xbaxxabxy3sin)3(

25、3cos)3( xabxxbaxy3sin)69(3cos)69( 例例16 xxyy3sin303cos189 求方程求方程的通解的通解. 解解: 特征方程为特征方程为, 092 r其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21 )3sin3cos(*xbxaxy 比较系数比较系数, 得得,5 a,3 b因此特解为因此特解为)3sin33cos5(*xxxy ir32,1 代入方程代入方程:xb3cos6所求通解为所求通解为xCxCy3sin3cos21 为特征方程的单根为特征方程的单根 ,i3 )3sin33cos5(xxx xx3sin303cos18 因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为xa3sin6 三三 欧拉方程欧拉方程n 阶阶欧拉方程欧拉方程的一般形式为的一般形式为 )(1)1(11)(xfypyxpyxp