数学北师大版高中三级试卷-高考真题——理科数学(全国大纲卷)精校版-Word版含解析[]

1、2022年普通高等学校统一考试大纲理科第I卷共60分、选择题：本大题共12个小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.10i竺，那么z的共轭复数为3 iA.1 3iB.1 3i C. 1 3i D. 1 3i【答案】D.M x| x23x 40 , N x|0x 5，那么M门NA. (0,4B.0,4)C. 1,0)D. ( 1,0【答案】B.a sin33 ,bcos55 ,ctan35 ,那么A. a b cB. b ca C. cb aD. cab【答案】c.a,b满足：a1, a ba, 2a bb,那么A. 2 B. 2C. 1D.-2【答案】B.5.有6名

2、男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,那么不同的选法共有A. 60 种70 种 C . 75 种 D.150 种【答案】C.2xC：二aV237 1(a b 0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线b3A、B两点，假设 AF1B的周长为4、. 3，那么C的方程为2222222xy “x2“xy “xy “A.1B.y 1c.1D.1323128124【答案】Ayxex 1在点1,1处切线的斜率等于 A. 2eB. eC. 2 D. 1【答案】C.A81A.B. 16C. 94【答案】A&正四棱锥的顶点都在同一球面上,为 9.双曲线C的离心率为假

3、设该棱锥的高为 4，底面边长为2,那么该球的外表积27D.2 F2A，那么4cos AF2F1 11.2.2A.B.C.D.-4343【答案】Aan中，a42,a55，那么数列lgan的前8项和等于2，焦点为F1、F2，点A在C上，假设F1AA. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C.l 为 60 , ABAB l , A为垂足，CD,C l , ACD 135，那么异面直线AB与CD所成角的余弦值为 A.bTcD.【答案】B.y f(x)的图象与函数y g(x)的图象关于直线x y 0对称，那么y f(x)的反函数是A. y g(x)B. y g( x)c. y g(x)d. yg( x)【

4、答案】D.第H卷共90分每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上8_y_.y x、填空题13. x的展开式中x2y2的系数为用数字作答x, y满足约束条件y2y2y【答案】70.03，贝U z x 4y的最大值为1【答案】5.15直线l1和l2是圆x22的两条切线，假设h与12的交点为1,3，那么ii与l2的夹角的正切值等于.4 【答案】4 .3f (x) cos2x a sin x在区间(石，)是减函数，那么a的取值范围是【答案】,2三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤tanA i17. 本小题总分值10分ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,3acosC 2

5、ccosA ,求B.解：由题设和正弦定理得13sin AcosC 2sin C cosA, - . 3tan AcosC 2sin C tan A ，- cosC 2sin C ,3-ta nC 丄，.七 nB ta n180° A + C 一ta n A+C 一 tan A+tanC 一 一又2tan AtanC10“ <B <180"：,二/B 135二18. 本小题总分值12分等差数列an的前n项和为Sn，印10 , a2为整数，且S. S4.II设 bn求数列bn的前n项和Tn.I求aj的通项公式；解：1由a110 , a2为整数知，等差数列an的公差d

6、为整数.又SnS4，故a40 , a50 ,于是 10 3d 0,10104d 0,解得d<-352，因此d = 3，故数列an的通项公式为an-13-3n .II1anan 11111bn于疋13 3n 10 3n310 3n13 3n 111 111 11 11nTnb1b2bn- 37104710 3n 13 3n3 10 3n1010 10 3n19. 本小题总分值12分如图，三棱柱 ABC ABQ中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上， ACB 90°，BC 1, AC CC12.I证明：AG A1B ；BC 丄 AC ,II设直线 AA与平面BCC1B1的距离为.

7、3，求二面角 A, AB C的大小.AD匸平面 AAGC，故平面 AAC1C I平面 ABC .又-iBC_平面AAGC .连结AC ,侧面 AAGC为菱形，故 AG AC，由三垂线定理得AC I AB ; IIBC 丄平面 AACiC,BCU 平面 BCGB，故平面 AACiC 丨平面 BCGBi .作AE I CCi , E为垂足，贝U AE I平面BCCiB .又直线 AAi /平面BCCBi ,因而AE为直线AA 与平面BCCB的距离， AE .3 . AC为ACC的角平分线，故 ADAE-3 .作DF_AB,F为垂足，连结 AF，由三垂线定理得 A F I AB，故AFD为二面角A

8、AB C 的 平面 角. 由 AD _ AA2_ad2_i 得 D 为 AC 的 中 点，DF i- x AC BC 吏，tan FA FD -AD , 二面角 A AB C 的大小为 arcta n/i5 .2 AB 5DFB1B解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB长为单位长，建立如下列图的空间 直角坐标系C xyz 由题设知AD与z轴平行，z轴在平面AAGC内.I 设 A a, 0, c由 题 设 有 a 二 2,A2,0,0,B0,i ,0AB= 2,i,0,AC=2,0,0 , AA = a由 AA =2 得 a 2 2 I c2 = 2AC i BA _a2 4a

9、c2 - 0 ,，ACi AB .II 设平面bcc-b的法向m CB0 , m-BBt 0 . CB = 0 ,i ,0 ,BBi =AAi = a 2,0,c ,故 y=0,2, 0 ,c , AG =AC 丨 AA=a 4,0 , c , BA =a, -, c即 a2 4a IC2 = 0.于是量 m x, y,z ,那么m CB , m 丄 BB i ,即且a 2 xI CZ- 0.令 x= c ,那么z=2 a,m=c,0,2占八、面 BCC B 的 距 离cos m , CACAm2c.c .又依题设，点 A到平面BCCB的距离为£ 十 2-a2忑C 亞.代入解得a =

10、 3舍去或a= 1 .于是AA = -1,03 .设平面ABA的 法向量 n p,q,r ,贝 U n _ A , n 丄 AB ，即 n，AA, =0 , n -AB=0,一 p 十%/3r = 0，故 且2piq = 0 令 p3，那么 q 2 3, r 1, n i3,23,1 又 p 0,0,1 为平面 ABC 的法向量，故cos(n, p> r. p 丄，二二面角 A AB C的大小为arccos-.''| | p 4420. 本小题总分值12分设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立

11、.I求同一工作日至少 3人需使用设备的概率；IIX表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解：记A表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，i 0,1,2 ； B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少 3人需使用设备.ID A1 B C A2 B A2 B C，又P B0.6,P C0.4,P Ac20.52,i0,1,2.PDp AB CA B A BC P A BC Pa2 bP AB cpAPBP C P a2P B P A2 P B PC 0.31.IIX的可能取值为o, 1, 2,3, 4.P X0P B Ad CP B PAo PC

12、 10.60.5210.40.06 ,P X1P B Ao CB Ao CB AC pB PA PCp BP Ao P CP B P A, P C0.6 0.5：1 0.410.60.520.410.6 20.521 0.40.25, P X4 P A> B CP A2 P B PC0.520.60.40.06, PX 3P DP X 40.25, PX 21 P XP X 1 PX3 PX41 0.060.250.25 0.06 0.38.数学期望EX0 PX0l TPX1 I2XPX 2 l3PX34 只 PX4-0.252 7.3830.254 306-2.21. 本小题总分值12

13、分抛物线C: y2 2px(p 0)的焦点为F,直线y 4与y轴的交点为P,与C的交5点为 Q,且 |QF | -|PQ|.4I求C的方程；II过F的直线|与C相交于A, B两点，假设AB的垂直平分线|与C相较于M , N两点,且A, M，B, N四点在同一圆上，求|的方程.解:u设 Qx。，4，代入 y-2px，得 p,JPQ = p,QF| 2 2、.由题设得8 = 58，解得p= 2舍去或p = 2 ,. C的方程为y2= 4x ;II由题设知I2 P 4 p与坐标轴不垂直，故可设I的方程为x-my 1 mO，代入y2-4x得y2 4my 4- 0 .设A , y! , B X2 , y

14、2 ,贝V yi + y2 4m ,y°2-4 故 AB 的中点为 D2m21,2m , AB fm2+1y1 y?|4 m2 + 1又 l"的斜率1为 m,.l的方程为x -一y 2m2十3 . 将上式代入y2 4x ， 并整理得m242yy 4 2m +3m的中点为E|, 2m2Im2一 0 设 M X3 , y3 , B X4 , y4 ,那么3+ y° 上，yy m2、14 m211-Mn|=討y3 “-4 2m23 故 MN由于MN垂直平分线1 2 2 1 24AB| l|DE -4|mn| ,3, 2m2AB，故A, M , B , N四点在同一圆上等

15、价于2即 4 m2 1122m AE1BE £ MN|，从而mJ24 m2 I 1 22m2-14 m，化简得m21 =0，解得 m 1 或 m 1 .所求直线I的方程为x y 1=0或x1= 0 .22. 本小题总分值12分函数 f X In X 1-a ax aI讨论f x的单调性;II设 a1 1,an 1lna.1，证明:2n+2an3 n 2. a2 2a解:If x的定义域为1,ia 2时，假设x21, a 2a，那么 f x1,2a2 2a上是增函数；假设x a2 2a,0 ,那么f x 0, f x在a2 2a, 0上是减函数；假设x 0,那么fx 0, f x在0,

16、上是增函数.ii当a _2时，f ' x上0 ,' x 0成立当且仅当x 0 , f x在一1,丨.沁 上是增函数.iii丨当a>2时，假设x- 1,0，那么f x 0, f x在是 1,0上是增函数；假设x 0,a2 2a ,贝y f x 0, f x在 0, a2 2a 上是减函数；假设x a2 2a, ，那么f x 0, f x在a2 2a,上是增函数.II丨由I知，当a 2时，f x在 1, | 沁是增函数.当0 , x 时，f x > f 00 ,x在0,3上是减函数；当X： 0,3即 In x1 二-2 x> 0 .又由I知，当 a3 时，x + 2时，f