数学必修4-第二章-平面向量知识点

1、数学必修4第二章 平面向量知识点2.1平面向量的实际背景及根本概念1. 向量：既有大小又有方向的量2. 向量的模：向量的大小即向量的模长度，如AB，a的模分别记作|忑|和|a| 注：向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小。3. 几类特殊向量(1) 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行， 零向量a = 0 I a丨二0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量， 故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有 非零向量这个条件。注 意与0的区别(2) 单位向量：模为1个单位长度的向量，向量a为单位向量 |a1 1。将一个aq向量除以它的模即得到单位向量，女口 a的

2、单位向量为： |a|平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a / b规定：与任何向量平等,任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线与几何中的“共线、的含义,要理解好平行向量中的“平行与几何中的“平行是不一样的。4相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作a关于相反向量有：零向量的相反向量仍是零向量，(a)=a ;a ( a) 0 . 假设a、b是互为相

3、反向量，那么a= b,b = a,a + b =0。5相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为 a b。相等向量经过平移后总可以重合2.2平面向量的线性运算1. 向量加法1定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设 AB a,BC b，贝U a + b =AB BC =AC。规定：0 a a 0 a ；2向量加法的法那么一“三角形法那么与“平行四边形法那么 用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量 是始点与向量的始点重合的那条对角线。 三角形法那么的特点是“首尾相接，由第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法那么；

4、当两向 量是首尾连接时，用三角形法那么。向量加法的三角形法那么可推广至多个向量相加：AB BC CDPQ QR AR，但这时必须“首尾相连3向量加法的运算律:交换律：abba结合律：(a b) c a (a c)2. 法向量的减(1)定义：假设a x b那么向量x叫做a与b的差，记为b a。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。(2)向量减法的法那么一“三角形法那么与“平行四边形法那么 三角形法那么：当a,b有共同起点时，a b表示为从减向量b的终 点指向被减向量a的终点的向量。 平行四边形法那么：两个向量是要共始点的，差向量是如下列图的对角线。r r * r1 11 1 *1 1 11设 AB

5、 a, AC b贝U a- b =AB AC CB .3.实数与向量的积(1)定义:实数入与向量a的积是一个向量,(2)规定如下:当 0时, 向相反；当a的方向与a的方向相同；当0时，a 0，方向是任意的。数乘向量的运算律记作a，它的长度与方向0时，a的方向与a的方(a) ( )a :( )a aa :(a b) a b。2.3平面向量的根本定理及坐标表示F1. 平面向量根本定理：如果ei， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数入1，入2使a=入1+入2e2.注意：(1)我们把不共线向量e i、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底

6、不惟一，关键是不共线；2. 向量的夹角：两个非零向量 a、b，作OA a，OB b，那么/ AOB =，叫向量a、b的夹角，当 =0 a、b同向，当 =180 a、b反向，当 =90 a与b垂直， 记作a丄b。3. 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量,j作为基底，由平面向量的根本定理知，该平面内的任一向量 a可表 示成a xi yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的 坐标，记作a =(x,y)，其中x叫作a的横坐标，y叫做作纵坐标。规定： i (i,o), j (0,1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量

7、； 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关4. 平面向量的坐标运算： 假设 a (Xi, yi),b(X2, y2)，那么 a bx 为,y 百； 假设 A Xi, yi , B X2, y2，那么 ABx? %, y2 % ; 假设 a =(x,y)，贝U a=( x, y)；-I-t-I-I- 假设 a(Xi,yj,b(X2, y2),贝Ua/bXiy2X2yi0; a b为X2yy-I-I- 假设 a (Xi, yi),b (X2, y2),那么 a b Xiy?附：向量的表示方法：i 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点

8、在后；4.2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a , b , c等；5.3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i , j为基底，那么平面内的任一向量a可表示为a xi yj x, y , 称x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果 向量的起点 在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。运算向量形式坐标形式：a Xi,如；b X2, y2加法平行四边形法那么：起点相同， 对角线为和向量。三角形加法法那么：首尾相连。a b x X2,yi y2记：AB BC ac减法起点相同的两个向量的差，箭头a bXiX2,yi

9、y2指向被减向量1 11 1 1 111记：OA OB BAAb AC CB数乘a是一个向量，a 11胡|aXi,yi方向：0时，与a同向;0时，与a反向；0时，a0数量积a b |a |b |cosa bNX2yM运算性交换律：abba；结合律：a bc a b c ；质a 0 0 a a。加法:AB+BC=ACD2.4平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义II b 向量a,b，的夹角：两个非零向量a,b，过0点作OA a , OB b,那么/ AOB=009 180叫做向量a,b，的夹角。当且仅当两个非零向量a,b同方向时，B =0,当且仅当a,b反方向时B =180,同时0与其它任

10、何非零向量之间不谈夹角这一问题。 a与b垂直；如果a,b的夹角为900那么称a与b垂直，记作a b。 a与b的数量积：两个非零向量a,b，它们的夹角为B,那么斗b cos叫做称a与bPa P O a的数量积或内积，记作a b，即a b = a b cos，规定0 a=00量a与b当且仅当a b时，B =90，这时a b=0b在a方向上的投影:OPcos ( a b)ar注意|op是射影所以，a b的几何意义：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。设a,b是两个非零向量,e是单位向量，于是有： e a a e当a与b同向时，a b冃；当a与b反向时，a b，特别地,(2)平面向量数量积的

11、性质a a2 cos(3)平面向量数量积的运算律交换律成立：a b对实数的结合律成立：分配律成立：a b ccab特别注意：1结合律不成立:a b c a b c ;2消去律不成立a b a c不能得到b c 3ab =0不能得至U a =0或b =0但是乘法公式成立2 lb2 ；2一-2a2a bb 2 2 - 2a ba2a b b(3)平面向量数量积的坐标表示b-f* fc-假设 a =(x i,y i), b =(x2,y 2)贝U a b =xiX2+yiy2假设 a=(x,y),那么| a | 2 = a . a=x2+y2,冃x2y2假设 A(xi,y i),B(x 2屮),那么

12、 AB假设 a=(xi,y 1), b=(x2,y 2)那么 aa/ bx1 y2 x2y10假设 a=(xi,y i), b =(x2,y 2)那么 cos2 2X2X1y2y1*bX1X2y20注x1 x22 2 2 21yix2y2ab时条件区别,2.5平面向量应用列举 1、线段的定比分点1定义：设P1,F2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点,那么存在一个实数，使p1 ppp2，叫做点P分有向线段RP2所成的比。当点P在线段RP2上时，0 ;当点P在线段RP2或RP2的延长线上时，02定比分点的坐标形式X2y，其中 P1(x1,y1), F2(x2,y2), P (x,y)y23中点坐标公式x当=1时，分点P为线段PB的中点，即