数量关系—插板法的经典应用

1、某学校四、五、六年级组织了一场文艺演出，共演 18个节目，如果 每个年级至少演出4个节目，那么，这三个年级演出节目数的所有不 同情况共有多少种？【解析】、我们先把18个节目每个年级分配3个节目，这样三个班 就都还差一个节目，总的还剩下 9个节目，按照插板法来解答。9个 节目排成一排共计8个间隔。分别选取任意2个间隔就可以分成3 份；故答案为C8取2=28.插板法就是在n个元素间的n-1个空中插入 假设干个b个板,可以把n个元素分成b+1丨组的方法。应用插板法必须满足三个条件：1这n个元素必须互不相异2所分成的每一组至少分得一个元素(3)分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球

2、放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件1 2，适用插板法，C9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用a凑元素插板法 有些题目满足条件1，不满足条件2， 此时可适用此方法例1 :把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件2不满足，此时如果在3个箱子 种各预先放入1个小球，那么问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每 个箱子至少一个，有几种情况？显然就是c12 2=66例2 :把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个, 第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？ 我们可以在第二个箱子先放入

3、10个小球中的2个，小球剩8个放3 个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，那么问题转 化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1 个,几种方法？ C8 2=28 b添板插板法例3 :把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？-0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 -010 小球，-示空位11个空位中取2个参加2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空此时 假设在 第11个空位后参加第12块板，设取到该板时，第二组取球为空那么每一组都可能取球为空c12 2=66例4:有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前

4、面 两个数字之和，直至不能再写为止，如 257, 1459等等，这类数共 有几个？因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几 种情况即可，设前两位为ab显然a+b<=9 ,且a不为01 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 代表 9 个 1，-代表 10 个空位我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1， 第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，假设多添加第 10 个空时，设取到该板时第二组取空，即 b=0，所以一共有c10 2=45例5:有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面 三个数字之和，直至不能再写为止，如 2

5、349，1427等等，这类数共 有几个？类似的，某数的前三位为 abc，a+b+c<=9,a不为0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1,第二组取b 个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加 2块板设取到第10个板时，第二组取空，即b=0 ;取到第11个板时，第 三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165 c选板法例6:有10粒糖，如果每天至少吃一粒多不限，吃完为止，求有 多少种不同吃法？o - o - o - o - o - o - o - o - o - oo 代表 10 个糖，-代表 9 块板1

6、0块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相 邻两个板间的糖一天吃掉这样一共就是2A9= 512啦 d分类插板例7:小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论最多吃5天，最少吃1天1：吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况2:吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10仁103:吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天?c8 2=284:吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20所以一

7、共是2+10+28+20=60 种e二次插板法例8 :在一张节目单中原有6个节目，假设保持这些节目相对次序 不变，再添加3个节目，共有几种情况？-o - o - o - o - o - o -三个节目 abc可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最 后个节目去插9个空位所以一共是 c7 1 >C8 1 X9 仁504种追问那这个2是怎么算出来的呢？答复例6:有10粒糖，如果每天至少吃 粒多不限，吃完为止，求有多少种不同吃法？o - o - o - o - o - o - o - o - o - oo 代表 10 个糖，-代表 9块板10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放,相邻两个板间的糖一天吃掉这样一共就是2A9= 512啦解析一：首先这道题可以用归纳法来做，10颗糖算起来比拟麻烦，所以可以从简单的试一试：1颗糖：11种吃法2颗糖：1 + 1 , 22种吃法3颗糖：1 + 1 + 1 , 1+2 , 2+1,34 种吃法所以猜想吃n颗糖的方式一共有2A(n-1);那么吃10颗糖应该就是2八9=512种方式。这里的2是概率公式解析二：此题我们也可以转成成用插板法来做，10颗糖可以1 天吃完，也可