应用z变换求解差分方程

1、序言 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法时域方法第七章中介绍，烦琐第七章中介绍，烦琐z变换方法变换方法差分方程经差分方程经z变换变换代数方程；代数方程；可以将时域卷积可以将时域卷积频域（频域（z域）乘积；域）乘积；部分分式分解后将求解过程变为查表；部分分式分解后将求解过程变为查表；求解过程自动包含了初始状态（相当于求解过程自动包含了初始状态（相当于0 0-

2、-的的条件）。条件）。一应用z变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行单边对差分方程进行单边z变换（变换（移位性质移位性质）(2)由由z变换方程求出响应变换方程求出响应Y(z)(3) 求求Y(z) 的反变换，得到的反变换，得到y(n) 一步骤二差分方程响应y(n)的起始点确定 2212 zzzzY全响应全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定根据输入信号加上的时刻定对因果系统对因果系统y(n)不可能出现在不可能出现在x(n)之前之前观察观察Y(z)分子分母的幂次分子分母的幂次分母高于分子的次数是响应的起点分母高于分子的次数是响应的起点 .2有有不不为为零零的的值值开开始始从从nyn 三差分方程解

3、的验证 解答是正确的解答是正确的两种迭代结果相同两种迭代结果相同解的表达式迭代出解的表达式迭代出原方程迭代出原方程迭代出,2,1,02,1,0yyyyyy例8-7-1(原教材例7-10(2)求系统的完全响应。求系统的完全响应。若边界条件若边界条件达式为达式为已知系统的差分方程表已知系统的差分方程表, 1)1()(05. 0)1(9 . 0)( ynunyny 105. 019 . 01 zzyzYzzY 9 . 019 . 09 . 0105. 02 zzyzzzzY解：解：方程两端取方程两端取z变换变换 9 . 0121 zzAzzAzzY 9 . 0121 zzAzzAzzY45. 0 5

4、 . 021 AA 9 . 045. 015 . 0 zzzzzzY 0 9 . 045. 05 . 0 nnyn例8-7-2解：解：已知系统框图已知系统框图列出系统的差分方程列出系统的差分方程.求系统的响应求系统的响应y(n) 1) 列差分方程，从加法器入手列差分方程，从加法器入手 nynynynxnx 22131 12213 nxnxnynynyE1 nxE1E12 3 ny , 010,0002yynnnxn 452,211 yy 21213121 yyzzYzyzYzzY 01221 xzzzzz3)差分方程两端取差分方程两端取z变换，利用右移位性质变换，利用右移位性质2) 由由方方程

5、程迭迭代代出出用用变变换换求求解解需需要要用用0,1,2,1yyyyz a.由激励引起的零状态响应由激励引起的零状态响应 2123121 zzzzzYzs 222 zzzYzs零状态响应为零状态响应为 nunnyzYnzszs21 即即b.由储能引起的零输入响应由储能引起的零输入响应都成立）都成立）（对（对2 n 221312231121 yyyzzzzYZi 1223121 zzzzzzzzzYzi 01223 nnyzYnnzizi即即零输入响应为零输入响应为c.整理（整理（1）式得全响应）式得全响应 22112221212 zBzBzAzzzzY 222122dd!121221 zzzzzB 2222212 zzzzzY 2222212 zzzzzzzY 0 22212 nnnynnn2, 221 BA 2212 zzzzY注意由方程解由方程解y(n)表达式可以得出表达式可以得出y(