微观经济教学课件第六节及第七节(配套)

1、1第 六 节 差分方程的基本概念 学习要求学习要求了解差分的基本概念了解差分的基本概念 掌握差分的性质及一阶差分方程的解法掌握差分的性质及一阶差分方程的解法 2一、差分的概念及性质一、差分的概念及性质 0111,1 1 1,tntttttttyf ttyyyyyyf tf tyyyyyf tf t设函数中自变量 取所有的非负整数，并记其函数值为则其值构成数列差称为函数 的，记定作即义一阶差分21 32ttytty例设，求24tyt答案：3高阶差分的概念高阶差分的概念 二阶差分：二阶差分： 设有函数设有函数 tfy 一阶差分：一阶差分： 11tttyyyf tf t21212tttttttyyy

2、yyyy 3221321233tttttttttyyyyyyyyy 三阶差分：三阶差分： 阶差分：阶差分： 101ninnittnn t iiyyC y 4差分的基本性质差分的基本性质 性质性质3 性质性质1 0 kk为常数性质性质2 , tttta baybzaybz 设为常数， 则ttkykyk 为常数11ttttttttttyzzyyzzyyz性质性质4 证明证明 5232 32ttytty例设，求124tttyyyt解解 22422tytt 320ty 33 tttyay例设，求111ttttttyyyaaaa解解 2211tttyaaaa 23311tttyaaaa1nnttyaa

3、6二、差分方程的基本概念二、差分方程的基本概念 2 ty含有自变量、未知函数 及函数的差分的方程，叫做差定义分方程。出现在差分方程中未知函数出现在差分方程中未知函数下标的最大差下标的最大差，称为差分，称为差分 方程的方程的阶阶。例例4 指出下列差分方程的阶：指出下列差分方程的阶：P308 习题习题2 ttttyyyy233 7 28 0ttyy321 61060ttttyyyy即21 0ttyy即三阶差分方程三阶差分方程 一阶差分方程一阶差分方程 7差分方程的解的概念差分方程的解的概念 3 ttyf tyf t如果函数满足差分方程，则称函数为差分方定义程的解。 tyf tnn如果函数满足差分方

4、程，且含有 个独立常数，则称该解为 阶差分方程的通解。不含任意常数的解，称为差分方程的特解。不含任意常数的解，称为差分方程的特解。 例例5 验证下列函数是所给差分方程的解：验证下列函数是所给差分方程的解：P309 习题习题3 +11 2,2tttyyyCt +21122 320,2tttttyyyyCC8第七节第七节 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的标准形式一阶常系数线性差分方程的标准形式 +1,0,1,2,0ttyayf tta 0f t 若，则称差分方程为齐次方程； 0f t 若，则称差分方程为非齐次方程。9 一阶常系数线性差分方程的求解方法一阶常系数

5、线性差分方程的求解方法 先讨论齐次差分方程的通解先讨论齐次差分方程的通解 方程可变形为方程可变形为 1ttyay1ttyay可见，数列可见，数列 为公比为为公比为 的等比数列。的等比数列。 tya ttyCa所以是差分方程的通解+10ttyay 0 ra称代数方程为差分方程的特征方程。10106 40 3 ttyyy例求差分方程满足的特解。解解 差分方程的特征方程为差分方程的特征方程为 40 r 4r 4ttyC所以差分方程的通解为所以差分方程的通解为 0 3y 而 3C 所以所以差分方程的特解为所以差分方程的特解为 34tty 11106 40 3 ttyyy例求差分方程满足的特解。解法解法

6、2 迭代法：由方程可知迭代法：由方程可知 14ttyy 1044 3yy 所以所以 所以差分方程的特解为所以差分方程的特解为 34tty 221443yy 332443yy 1443tttyy 12 一阶常系数线性差分方程的求解方法一阶常系数线性差分方程的求解方法 现讨论非齐次差分方程的通解现讨论非齐次差分方程的通解 与一阶线性微分方程相似，可以证明如下结论：与一阶线性微分方程相似，可以证明如下结论： 非齐次线性差分方程的通解等于非齐次线性差分方程的通解等于 对应齐次的对应齐次的通解通解 + 非齐次的特解非齐次的特解 +1ttyayf t ,tmf tb Pt若则差分方程的特解形式为 , tm

7、ttmb Qtbytb Qtb不是特征方程的根， 是特征方程的根1317 33 tttyyt 例 求差分方程的通解。解解 方程的特征方程为方程的特征方程为 30r 所以特征根为所以特征根为 3r 所以对应的齐次方程的通解为所以对应的齐次方程的通解为 3ttyC 3 , 3 tf ttb 而则是特征根所以可设非齐次方程的特解为所以可设非齐次方程的特解为 *3ttyt ABt代入原方程，比较同次幂的系数，得代入原方程，比较同次幂的系数，得 11,66AB 所以原非齐次方程的通解为所以原非齐次方程的通解为 113366tttyCtt14-304421212212101501/3221121-2987654321mb特解特征根题号 tPbtfmt*2tyAtBtC*2tyt AtBtC*1 3ttyA*tyA*2ttyAtB*2ttyt AtB*4ttyt A *2tyAtBtC*3ttyt AB 课堂练习：写出课堂练习