微积分课件第5节隐函数的求导公式

1、1 在一元函数微分学中在一元函数微分学中,我们曾引入了隐函数我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过的概念，并介绍了不经过显化显化而直接由方程而直接由方程一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法（直接法直接法）来求它所确定的隐函数来求它所确定的隐函数y=f(x)的的导数的方法导数的方法.F(x,y)=0方程方程 两边对两边对x 求导，得求导，得0esin xyyx0eecossin xxyyyyxy所以所以, 得得.ecosesinxxyxyyy 解解(直接法直接法)例例 求由方程求由方程所所确确定定的的隐隐函函数数0esin xyyx.)(yxfy 的的导导数数

2、这里将进一步从理论上阐明隐函数的这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性存在性，并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式的求导公式, 给出用偏导数来求隐函数的导数的给出用偏导数来求隐函数的导数的隐式求导法。隐式求导法。（公式法公式法）一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法 0;)y,(1)F(x 00 );(),( ),(),()( 0 00 00 00 01 1xfyxfyPUyxF 且且连连续续函函数数内内唯唯一一确确定定了了单单值值在在则则注意注意: (1) 证明从略证明从略, 求导公式推导如下求导公式推导

3、如下:, 0)(, xfxF一一. .定理定理（隐函数存在定理（隐函数存在定理I I）（一元隐函数的求导公式）（一元隐函数的求导公式）将函数将函数 代入方程代入方程 得得0),( yxF)(xfy Fxy),(yxFF )(xfy )(,(xfxFF 上式两端对上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得求导，由复合函数求导链式法则，得, 0 dxdyFFyx即即满满足足：若若二二元元函函数数),(yxF;),()( 0 03 30 00 0 yxFy ;),(),()(内内有有连连续续偏偏导导数数在在2 20 0PUyxF.)(yxFFdxdy 有连续导数有连续导数2 2, 0 dxdyFF

4、yx即即,F),P(U,)(y0 03 30 0 使得使得可知可知由由.yxFFdxdy .,),( )(则则可可求求二二阶阶导导数数有有二二阶阶连连续续偏偏导导若若yxF2 2Fxy, 0)(, xfxF一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法 yxFFdxddxyd22 yxFFdxddxyd22yxFF xy yxFFx2yyxxyxxFFFFF 2 2yyyxyxyFFFFF .2322yxyyxyyxyxxFFFFFFFF 一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法dxdyFFyyx yxFF.yxFFdxdy 例例1 设设.dd

5、0esinxyyyxx，求求 解解1(公式法公式法),esin),(xyyxyxF 令令 ,esinxxyyF 由求导公式由求导公式, 得得.ecosesinddxxyxyxyyFFxy .ecos xyyxF 所以所以, .ecosesinddxxyxyyxy 则有则有解解2(直接法直接法)解解3(微分法微分法)0eecossin dydxyydyxydxxx等式两端求微分，得等式两端求微分，得一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法注注1、用、用公式法公式法时，时，F(x,y)中的变量中的变量x，y.,yFxF 2、用、用直接法直接法时，时，应视为应视为彼此无关

6、彼此无关的变量，的变量，并利用复合函数的求导法则。并利用复合函数的求导法则。),(xfy 计算出计算出应记住应记住y是是x的函数的函数一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ),(yxFx,),(22yxxyyxFy ddxyFyxF .xyyx 一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法,2 22 2yxyx 解解.2sin),(xyeyyxFx 令令 .cosxyyeydxdyx2 22 2 ,2cosxyyFy 一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法

7、 ;),(),()(内内有有连连续续偏偏导导数数在在1 10 0PUzyxF);,(),( ),(),()( 0 00 00 00 00 01 1yxfzyxfzPUzyxF 且且连连续续函函数数内内唯唯一一确确定定了了单单值值在在则则注意注意: (1) 证明从略证明从略, 求导公式推导如下求导公式推导如下:二二. .定理定理 （隐函数存在定理（隐函数存在定理IIII）满满足足：若若三三元元函函数数),(zyxF;),()( ;),()( 0 03 30 02 20 00 00 00 00 00 0 zyxFzyxFz一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法.,)(

8、 zyzxFFyzFFxz 有有连连续续偏偏导导数数2 2 设方程设方程 确定具有连续偏导数的二元函确定具有连续偏导数的二元函数数 0),( zyxF),(yxfz 将将z= f(x , y) 代入方程代入方程F(x, y, z)=0，得恒等式，得恒等式.0),(, yxfyxF将上式两端分别对将上式两端分别对x和和y求偏导，得求偏导，得 , 0 0 xzFFzx所以，所以， ,zyzxFFyzFFxz （二元隐函数求导公式）（二元隐函数求导公式）Fxyzxy0),( zyxFz且且, 0 0 yzFFzy),(zyxFF ),(yxfz ),(,(yxfyxFF 一一. 由一个方程确定的隐函

9、数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法例例3 设由方程设由方程 确定确定 求偏导数求偏导数.解解1（公式法（公式法）由求导公式得由求导公式得解解2（直接法直接法）所以所以0 xyzez),(yxzz ,),(xyzezyxFz ,yzFx ,xzFy xyeFzz zxFFxz 方程方程 两边对两边对x 求偏导得求偏导得0 xyzez0 xzxyyzxzez. xyeyzxzz 类似可得类似可得. xyexzyzz 则有则有令令 zyFFyz , xyeyzz . xyexzz 一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法解解3 （全微分法全微分法）方程方程 两边求全

10、微分，得两边求全微分，得0 xyzez0)( xydzxzdyyzdxdzezdyxyexzdxxyeyzdzzz 即即所以所以, xyeyzxzz . xyexzyzz 利用一阶全微分形式的不变性来求隐函数利用一阶全微分形式的不变性来求隐函数的导数时，甚至不用分清哪个是自变量，那个的导数时，甚至不用分清哪个是自变量，那个是因变量，因而十分方便。是因变量，因而十分方便。一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法解解1（公式法（公式法）由求导公式得由求导公式得,ln),(yzzxzyxF ,zFx1 1 )(2 2yzzyFy yzyzxFz1 12 2 zxFFxz

11、则有则有令令 zyFFyz ,y1 1 ,zzx1 12 2 ,xzz ,)(xzyz 2 2dz一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法22yzdyydzzyzxdzzdx 即即 )(dyyzdxzxzdz 整整理理得得 Method3.也可先求偏导再代入全微分公式得所求也可先求偏导再代入全微分公式得所求.)(2dyyzxzdxzxz 解解2 （全微分法全微分法）一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法思路思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得y

12、x ，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法整理得整理得,vuvuyzf

13、fxzff yx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法 例例5 设设F(xaz, ybz)=0 (a,b为常数为常数), F(u,v)可微可微, 证明由方程所确定的证明由方程所确定的z=f(x,y)满足方程满足方程.1 yzbxza令令u=xaz，v=ybz，uvuFFF 01vvuFFF 10vubFaF 所以所以zxFFxz 证证 设设F(x,y,z) = F(xaz, ybz)，xvFxuFFvux yvFyu

14、FFvuy zvFzuFFvuz ,vuuvuubFaFFbFaFF uvFxyz,vuvvuvzybFaFFbFaFFFFyz 从而有从而有yzbxza vuvvuubFaFFbbFaFFa . 1 1 例例5 设设F(xaz, ybz)=0 (a,b为常数为常数), F(u,v)可微可微, 证明由方程所确定的证明由方程所确定的z=f(x,y)满足方程满足方程.1 yzbxza令令u=xaz，v=ybz，所以所以xz 证二证二（全微分法全微分法）,vuubFaFF ,vuvbFaFFyz 从而有从而有yzbxza vuvvuubFaFFbbFaFFa . 1 1 0 0 vFuvddFuuF

15、az)-d(xvF bz)-d(y0 0 uFadz)-(dxvF bdz)-(dy0 0 vuvvbFaFFdxbF uuaFFdz.,0422222xzzzyx 求求设设练习练习：解解（公式法（公式法）则有则有令令 ,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz由求导公式得由求导公式得zxFFxz , 2zx 22xz )2()2(2zxzxz )2(2)2(2zzxxz . )2()2(322zxz 一一. 由一个方程确定的隐函数的微分法由一个方程确定的隐函数的微分法.,),(),(,),(.yzxzyxzzxzzyyxfwvufex 求求确确定定了了函函数数，方方程程具具有有连连续续偏偏导导数数设设0 03 3解解.zxffxz 1 11 10 01 10 01 13 32 21 13 3