可分离变量微分方程

1、可分离变量微分方程 例解原方程即对上式两边积分，得原方程的通解 例解对上式两边积分，得原方程的通解经初等运算可得到原方程的通解为原方程的解为 例解两边同时积分，得故所求通解为 因为只求通解，所以不必再讨论了。 例解原方程即两边积分，得故通解为曲线族的包络。 工程技术中解决某些问题时，需要用到方程的奇解。成正比,求解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 例二、齐次方程xyfxydd齐次方

2、程 d)(dxxuufu变量分离方程 uxy 代入原方程，得注意：须将u代回. 例解于是，原方程化为两边积分，得即uxuxxyddddxxxxsincoscottan1例7解是齐次方程,分分离离变变量量得得 xxuuudd112 , , 例8解ox可得 OMA = OAM = 例例 在制造探照灯反射镜面时,解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 .过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角TMP取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OM要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方

3、程 : 利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) 顶到底的距离为 h ,说明说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得)0,(2Cox三、可化为齐次方程的方程XYXYdd齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程0111cybxa0222cybxa ，yx ，令令yYxX d)(dXXZZfZ变量分离方程 ZXY 三、可化为齐次方程的方程XYXYdd齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程 d)(dXXZZfZ变量分离方程 例解于是，

4、原方程变为联立方程组0823 vu0732 vu解之，得两边积分，得即你由这个例题的解题过程想到什么了？222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程 021时时， ccxyxybaxybafybxaybxafxy22112211dd 2121时时，kbbaa21222122)()(ddcuckufcybxacybxakfxy )()(ddygxfxy变量可分离方程 xyfxydd齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶齐线性方程)()(ddxqyxpxy一阶非齐线性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程四、一阶线性微

5、分方程形如的方程称为一阶线性微分方程。方程称为一阶齐线性方程。方程称为一阶非齐线性方程。 0)( 时，时，当当xq习惯上，称为方程所对应的齐方程。一阶齐线性方程的解运用分离变量法，得两边积分，得故 0 对应于对应于y 0。C表示一个原函数0)(yxpy的解存在，且唯一，其通解为 例解故该一阶齐线性方程的通解为 例解先求此一阶齐线性方程的通解：故该初值问题的解为 )()(ddygxfxy变量可分离方程 xyfxydd齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶齐线性方程)()(ddxqyxpxy一阶非齐线性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利

6、方程一阶非齐线性方程的解比较两个方程：我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点 什么东西呢？)()(xqyxpy怎么办？故即上式两边积分，求出待定函数 以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。齐次方程通解非齐次方程特解即0)(yxpy) d)( (d)(d)(Cxexqeyxxpxxp)()(xqyxpy 例解所以，方程的通解为 例解不是线性方程原方程可以改写为这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中故原方程的通解为解例10通解为 解例12两边求导，得 通解为于是.e1615e161e41)(3xxxxxf )

7、()(ddygxfxy变量可分离方程 xyfxydd齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶齐线性方程)()(ddxqyxpxy一阶非齐线性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程五、伯努利方程形如的方程称为伯努利方程。代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程于是，原方程的通解为ny1 例解故从而，原方程的通解为 0原原方方程程的的奇奇解解。为为易易验验证证： y )()(ddygxfxy变量可分离方程 xyfxydd齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶齐线性方程)()(ddxqyxpxy一阶非齐线性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程 )()(ddyg