第3课高等数学建模案例课件

1、 “物理学在二十世纪取得了令人惊讶的成功，物理学在二十世纪取得了令人惊讶的成功，它改变了我们对空间和时间、存在和认识的看它改变了我们对空间和时间、存在和认识的看法，也改变了我们描述自然的基本语言。在本法，也改变了我们描述自然的基本语言。在本世纪行将结束之际，我们已拥有一个对宇宙的世纪行将结束之际，我们已拥有一个对宇宙的崭新看法，在这个新的宇宙观中物质已失去了崭新看法，在这个新的宇宙观中物质已失去了它原来的中心地位，取而代之的是自然界的对它原来的中心地位，取而代之的是自然界的对称性。称性。” 斯蒂芬斯蒂芬. .温伯格温伯格 日常生活中常说的对称性，是指物体或日常生活中常说的对称性，是指物体或一个

2、系统各部分之间的适当比例、平衡、协一个系统各部分之间的适当比例、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和美感。调一致，从而产生一种简单性和美感。这种这种美来源于几何确定性，来源于群体与个体的美来源于几何确定性，来源于群体与个体的有机结合有机结合。 人体、动植物结构对称人体、动植物结构对称天竺葵 长春草 建筑物建筑物(宫殿宫殿,寺庙寺庙,陵墓陵墓,教堂教堂)左右对称左右对称 硬币游戏中的数学对称硬币游戏中的数学对称 如果你和你的对手准备依次轮流将硬币放在一个长方形桌如果你和你的对手准备依次轮流将硬币放在一个长方形桌子上，使得硬币不重叠，最后放上去的人为胜，开始时你有权子上，使得硬币不重叠，最后放上去

3、的人为胜，开始时你有权决定先放还是后放，为了赢得比赛，应该采取什么样的策略？决定先放还是后放，为了赢得比赛，应该采取什么样的策略？如图，先放在中心位如图，先放在中心位置肯定能赢，策略如置肯定能赢，策略如下：先放在中心位置下：先放在中心位置一个，然后根据对手一个，然后根据对手所放硬币情况在中心所放硬币情况在中心对称位置放自己的硬对称位置放自己的硬币，先在中心位置放币，先在中心位置放的肯定能赢。的肯定能赢。介值定理介值定理定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 推论推论

4、 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函

5、数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析：问题分析：模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地1. 四条腿一样长，椅脚与地面四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形点接触，四脚连线呈正方形;2. 地面高度连续变化，可视地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面为数学上的连续曲面;3. 地面相对平坦地面相对平坦,使椅子在任使椅子在任意位置至少

6、三只脚同时着地意位置至少三只脚同时着地.问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四三只脚着地放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四脚同时着地，试用数学语言来解释该现象。脚同时着地，试用数学语言来解释该现象。模型构成模型构成先用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来先用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距

7、离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g

8、(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解下面给出一种简单的证明方法下面给出一种简单的证明方法将椅子旋转将椅子旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2) 1800秒秒 duutdt)18001 . 02 . 0(01. 04 . 1)(1800）（853 . 1)36001

9、 . 02 . 0(01. 02tt3 . 1)360036001 . 036002 . 0(01. 0)3600(2d这说明在雪停以前除雪机已经停止工作。这说明在雪停以前除雪机已经停止工作。 那么除雪机是否中途被迫中断工作？能工那么除雪机是否中途被迫中断工作？能工3 . 2作多长时间？已清扫了多长路程？作多长时间？已清扫了多长路程？由由(5-7)式和式和(5-8)式，积雪的厚度函数为式，积雪的厚度函数为 ）（秒秒秒秒9518003 . 1)36001 . 02 . 0(01. 018003600001. 05 . 0)(22ttttttd因为除雪速度与雪的厚度的关系为因为除雪速度与雪的厚度的

10、关系为:)105()(321 (10)(tdtV将将(5-9)代入代入(5-10)得得秒秒1800)3600002. 0004. 06 . 5(3101800)3600001. 01 (320)(22ttttttV易知当易知当t1800 时，时， 0)3600001. 013202t（令令V(t)0 0)3600002. 0004. 06 . 5(3102tt所所以以01008000072002tt由此得由此得 t。1903秒秒 （秒秒）52971t（舍去）（舍去） 因此除雪机工作因此除雪机工作1903秒（秒（31.7分钟）将无法工分钟）将无法工作。作。 除雪机工作的距离除雪机工作的距离:190301800019031800)()()(dttVdttVdttVSdtttdtt)3600002.