上交材料力学4扭转

1、材料力学第四章第四章 扭扭 转转一、扭转的概念及一、扭转的概念及 外力偶矩的计算外力偶矩的计算材料力学对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽工程中承受扭转变形的构件工程中承受扭转变形的构件扭扭 转转/ /扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学FF/ MB 方向盘操纵杆方向盘操纵杆扭扭 转转/ /扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学传动轴传动轴汽车传动轴汽车传动轴扭扭 转转/ /扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学构件特征构件特征：等圆截面直杆：等圆截面直杆圆轴圆轴。受力特征受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直外力偶矩的作用

2、面与杆件的轴线相垂直。变形特征变形特征：杆各横截面绕轴线发生相对转动。杆各横截面绕轴线发生相对转动。 扭扭 转转/ /扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算上述例子都可以抽象为下面的计算简图：上述例子都可以抽象为下面的计算简图：mA mB AB 材料力学n1 P1=27.5kWnP2=20kW7.5kWABC外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系n=960r/min mA mB mC 扭扭 转转/ /扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学tWP tsM M602 nM 外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系功率功率功功时时

3、间间力偶矩力偶矩角位移角位移角速度角速度每分钟每分钟的转数的转数min)/r (2)kW(60nPM )mkN(549. 9nP扭扭 转转/ /扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学mA=274N.m mB=199N.m mC= 75N.m n1 27.5kWn20kW7.5kWABC扭扭 转转/ /扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算材料力学二、杆受扭时的内力计算二、杆受扭时的内力计算材料力学BMAMCM0CBAMMM已知圆轴受外力偶矩作已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则用，匀速转动。则用截面法求内力：用截面法求内力：AM1xMBMCM111xMCBA

4、xMMMM1扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算扭矩扭矩材料力学扭矩符号扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负。外法线的指向一致，为正；反之为负。扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算nnT（+）xMxMTnn（-）xMxM材料力学BMAMCM扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算BMAM截面截面2-2上的内力：上的内力：2xMCM2xMCBAxMMMM2材料力学（+）BMAMCM扭矩图扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。AxMM1

5、（-）CxMM2扭矩图扭矩图扭扭 转转/ /杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算材料力学三、圆轴扭转时的应力和变形三、圆轴扭转时的应力和变形材料力学1.1.实验观察实验观察扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形观察变形规律：观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。方格变成了平行四边形。定性分析横截面上的应力定性分析横截面上的应力00（1）00（2）刚性平面截面假设刚性平面截面假设材料力学圆轴

6、圆轴许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆管扭转时截面的相对扭转角相同。管扭转时截面的相对扭转角相同。扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形横截面上的切应力处处垂直于径向，横截面上的切应力处处垂直于径向，且方向同且方向同 旋转方向。旋转方向。xMMx 横截面上各点横截面上各点 剪应力的方向。剪应力的方向。材料力学要知道圆轴扭转时，其横截面上切应力的分布规律，要知道圆轴扭转时，其横截面上切应力的分布规律，由于横截面上有无穷多个点，而我们现在只知道其由于横截面上有无穷多个点，而我们现在只知道其分布内力的合成结果，只通过静力学的知识无法解分布内

7、力的合成结果，只通过静力学的知识无法解出，是一个超静定问题，必须从三方面考虑。出，是一个超静定问题，必须从三方面考虑。 AdATMxTorsionMechanics of Materials 扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学3 3、理论分析、理论分析(1)几何分析几何分析扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形(2)物理条件物理条件剪切胡克定律剪切胡克定律材料力学同理同理xddxddxdd式中式中 表示扭转角表示扭转角沿轴长的变化率称为沿轴长的变化率称为单位单位扭转角扭转角，在同一截面上，在同一截面上， =常数。常数。扭扭 转转/ /圆轴

8、扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学(2)物理条件物理条件剪切胡克定律剪切胡克定律GG,const,constG; 0, 0max, R扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学(3)静力平衡条件静力平衡条件AdATMxAAxAGAMdd2AAGd2PIPIGPxGIM(单位扭转角单位扭转角,单位：单位：rad/m)PI 称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。尺寸有关。扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的

9、应力和变形 材料力学在扭矩相同的条件下，在扭矩相同的条件下，)(),();(),(PPGIGI因此因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。PGIPxIMG（横截面上剪应（横截面上剪应力的计算公式。）力的计算公式。）PxIRMRmax时，当PxWMRIWPP式中式中 称为称为抗扭截面模量抗扭截面模量。扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形PxGIM材料力学D=2R(4)公式中几何量公式中几何量 与与 的计算。的计算。PIPWda、实心圆截面、实心圆截面d2d A因此因此AIApd2d202R42R432D而而RIWpp32

10、R316DdA扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学b、空心圆截面、空心圆截面Dd443232dDIp)1 (3244D式中式中Dd而而2/DIWpp)1 (1643D扭扭 转转/ /圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学四、圆轴的强度条件和刚度条件四、圆轴的强度条件和刚度条件材料力学受扭圆轴破坏的标志：受扭圆轴破坏的标志：塑性材料塑性材料：首先发生屈服，最后沿横截面被剪断。：首先发生屈服，最后沿横截面被剪断。脆性材料脆性材料：变形很小，在与轴线约成：变形很小，在与轴线约成45的面上的面上断裂。断裂。扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度

11、条件和刚度条件（一）强度条件（一）强度条件圆轴的强度条件为圆轴的强度条件为max,maxPxWM式中式中nu（ u为扭转极限应力为扭转极限应力,n为安全系数）为安全系数）材料力学解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：)1 (1643DWp)2(1 1643DtDD36m1024.29轴的最大切应力轴的最大切应力例题例题4-1 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。试校核此轴的强度。已知已知 =60MPa

12、。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径当，则实心轴的直径 为？为？1D扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学PxWMmax,maxMPa3 .511024.2915006MPa60所以此轴安全。所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而若此轴改为实心轴，而MPa3 .511maxmaxPxWM31116DWp式中式中解得：解得：m053. 0103 .511636max,1xMD扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为2114DA

13、 2mm2205空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积2222mm687)(4dDA空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：%3122056871212AAGG因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。约材料、比较经济。扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为因为 根据应力分布规律，根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥

14、其作用；心附近处的材料没有较好地发挥其作用； 从截面的几何性质分析，从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比也比较大，强度和刚度均可提高；较大，强度和刚度均可提高； 通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。变，即指截面图形极惯性矩保持不变。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合

15、理。 扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学pxGIMx dd 扭转变形计算式扭转变形计算式单位扭转角单位扭转角:微段两端截面的相对扭转角为微段两端截面的相对扭转角为pxGIxxMd)(dxGIxMLPxd)(pxGIlMpiiixGIlM扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴mA mB AB BMAMCM扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学（二）刚度条件（二）刚度条件max或或)m/(180max,max单位：PxGIM 的数值按照对机器的要求决定：的数值按照对机器的要求决定：精密

16、机器的轴：精密机器的轴：m/)5 .025.0(一般传动轴：一般传动轴：m/)15 .0(精度要求不高的轴：精度要求不高的轴：m/)5 .21 (扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学 例例4-2 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa， =1/m ，G=80GPa。 (1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2；(2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMACB2eM3eM1d2dn

17、PMe119549mN76405004009549mN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解： 1.1.外力外力 mN7640mN4580 2.2.扭矩图扭矩图 扭矩扭矩Mx-图图扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学 mm2 .82m102 .821070764016 16336311xMd按刚度条件按刚度条件 mm4 .86m104 .86110801807640321803234294211GMdx3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mN7640mN4580 mm4 .861d1eMACB2

18、eM3eM1d2d 311max16dMx 18032411max1dGMx扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1eMACB2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .691070458016 16336322xMdmm76m1076110801804580321803234294222GMdxmm762d 5.5.选同一直径时选同一直径时mm4 .861 dd扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学 6.6.将

19、主动轮装在两从动轮之间将主动轮装在两从动轮之间1eMACB2eM3eM1d2dmN7640mN4580 2eMBCA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060mN4580 扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件例例4-3 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? 校核轴的刚度校核轴的刚度解解：1. 变形分析变形分析mN 1801AxMMmN 1402CxMMrad 101.502-p1GIlMxABrad 1

20、01.172-p2GIlMxBC扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件BCABAC rad 1033010171101.502-2-2- .2. 刚度校核刚度校核p111ddGIMxxp222ddGIMxx21 xxMM因p11maxmaxdd GIMxx故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180412-59max轴的刚度足够轴的刚度足够扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学例题例题4-4 图示圆截面杆图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为左端固定，承受一集度为t的的均布力偶矩作用。试导出计算截面

21、均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。的扭转角公式。Lt xdx解：解：取微段作为研究对象。取微段作为研究对象。Mx(x)Mx(x) L-xtMx(x)根据平衡条件求得横截面上的扭根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：矩为：)(xLtMx微段两端截面的相对扭转角为微段两端截面的相对扭转角为pxGIxxMd)(dAB扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学因此因此LpxLABBGIxxMd)(dLpGIxxLt0d)(pGItL22扭扭 转转/ /圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件LtAB材料力学五、圆轴扭转时斜截面上的应力五、圆轴扭转时斜截面上

22、的应力材料力学扭扭 转转/ /圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力材料力学 n n扭扭 转转/ /圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力TTn nabcdef材料力学斜截面上的正应力和切应力为斜截面上的正应力和切应力为:,2sin2cos1.,0当, 0max讨论：讨论：2.,45当,min03.,45当,max04.,90当, 0扭扭 转转/ /圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力 若材料抗拉压能力差，构件沿若材料抗拉压能力差，构件沿4545斜截面发生破坏（脆性材料）。斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗

23、剪切能力差，构件沿横截面发生破坏( (塑性材料）；塑性材料）；材料力学扭扭 转转/ /圆轴扭转时斜截面上的应力圆轴扭转时斜截面上的应力材料力学六、扭转的超静定问题六、扭转的超静定问题材料力学例题例题4-5 一两端固定的圆截面杆一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。已知受力偶矩作用如图。已知AC段段为实心轴，直径为实心轴，直径D=10cm，BC段为空心轴，壁厚段为空心轴，壁厚t=0.5cm，要求，要求：1）作扭矩图；）作扭矩图；2）若材料的）若材料的 =100MPa，试校核强度。，试校核强度。扭扭 转转/ /扭转的超静定问题扭转的超静定问题20KN.mllC材料力学例题例题4-6 一组合杆由

24、实心杆一组合杆由实心杆1和空心管和空心管2结合在一起所组成，杆和结合在一起所组成，杆和管的材料相同。切变模量为管的材料相同。切变模量为G,试求组合杆承受外力偶矩试求组合杆承受外力偶矩M以后，以后，杆和管内的最大切应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管内的最大切应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？杆和管的材料不相同，结果又怎样？MM2d1d12Mn122nM解：解：（1 1）静力学关系）静力学关系MMMMnnn21（2）变形协调条件）变形协调条件21扭扭 转转/ /扭转的超静定问题扭转的超静定问题1nM材料力学（3）物理关系：）物理关系： ,324111dGlMn)(32414222ddG