多元函数值向量的积分(重积分)chap4

1、一.两类曲线（面）积分的关系第第4 4节节 各种积分的关系各种积分的关系1.两类曲线积分的关系LLdsMTMFsdMF)()()(dsdzdydxsdLMLdzdydxsd222) ,（向量，且同向的切处与在点有向曲线量，则同向的单位切向处与上任一点表示用LMLMT)(于是,)(dsMTds LLdsQPQdyPdx)coscos(则上式可表为设,cos,cos,cos,TRQPF分的关系空间曲线上两类曲线积LLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(关系平面上两类曲线积分的dsxxQPdsxxQxPQdyPdxLLL22241)2()2(12)2(11().0 , 0() 1 ,

2、1 (,:.),(),(2到从其中化为第一型曲线积分将xyLdyyxQdxyxPL例 1解222)2(12cos,)2(11cos2, 1),(,21,:xxxxyxTxyxxyxxL 取取则有,cos,cos,cos,dydxdxdzdzdydAnRQPFdARQPdyRdxdxQdzdzPdycoscoscos 2.两类曲面积分的关系dAMnMFdAMF)()( )(法向量。设处指定侧的单位上任一点为曲面其中MMn)(.cos,cos,cos),0(222:)coscoscos(222余弦方向为此曲面外法线的计算hzzyxdAzyxI,0222:)(hzzyx法一,:222hyxDxyxy

3、面上的投影在.,1222222yxyzyxxzdxdyzzdAyxyx例 2解,1,:yzxz的外法向量zyxoh,11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzzzyxohxyDyxdxdyzzyzxI)(222dxdyyxyxyyxxxyD)(22223223.20040320hddhdydxzdxdzydzdyxdAnzyxI222222,.2)(004222hdydxyxdydxzxyxzDD 对对称称性性.)(系利用两类曲面积分的关法二 闭曲线L的正向: 当沿此方向前进时,L所 围的区域 总在左边.二. Green公式)( 1定理定理 Green(Green

4、公式公式). )( 的正向其中曲线积分沿 LdxdyyPxQQdyPdxDL则上具有一阶连续偏导数在为边界的平面区域是以逐段光滑曲线设,),(),(,DyxQyxPLD),() 1 (的直线段外可能含有平行于坐标轴除多只有两个的交点至的边界直线与若任一平行于坐标轴的LLDbaxyxybaDdxxyxPxyxPdyyPdxdxdyyP)(,()(,(12)()(21则baabbaLLLdxxyxPxyxPdxxyxPdxxyxPPdxPdxPdx)(,()(,()(,()(,( 212121又DLdxdyyPPdx yOxD)(1xyy)(2xyy1L2Labcd证DLdxdyyPxQQdyPd

5、x)( .,),1 (,).2(恰好抵消个积分方向相反辅助线上的两然后相加公式成立则在每个小区域上使每个小区域满足化为几个小区域可用辅助线把区域对一般的区域GreenDDQdyPdxQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxQdyPdxQdyPdxdxdyyPxQBAABABLLDLLLLD22111)( )()(:如DLdxdyxQQdy :同样oyxAB1D2D1L2LQdyPdxQdyPdxdxdyyPxQLLLD21)(QdyPdxdxdyyPxQLLD)()(.,21类似可证的区域洞对有)0,(),0(),(21.1QyPydxxQPxdyxQyPydxxdydxdyDLLLD取取取的

6、面积oyx注1L2LyPxQQPyxGreen :.2公式的记法DCdxdyQPyxQdyPdx应用格林公式必须注意：应用格林公式必须注意： （1）Green公公式式的的条条件件是是：封封闭闭、正正向向、偏偏导导数数连连续续， 三三者者缺缺一一不不可可.（若若积积分分曲曲线线 C 不不封封闭闭，则则添添加加辅辅助助线线 使使之之封封闭闭；应应用用Green公公式式时时先先要要检检验验xQyPQP , , , 的的连连续续性性.） （2）Pdx 前前面面的的项项是是，Qdy 前前面面的的项项是是. （3）计计算算二二重重积积分分时时不不能能将将曲曲线线 C 的的方方 程程代代入入被被积积函函数数

7、. ydxxdyxyC22 22 yxyPxQ ， 解解：yxyxP2),( ，2),(xyyxQ ， 例例 1计计算算ydxxdyxyC22 ，其其中中 C 为为顺顺时时针针方方向向的的圆圆周周 222Ryx . yoxRC.242d)(42 0 0 4322RRddxdyyxRD 错错解解：4222)(RdRdxdyyxDD . 在这里，不能将曲线方程在这里，不能将曲线方程 代入被积函数代入被积函数.222Ryx ydxxdyxy22 C.) 1 , 0(),1 , 1 (),0 , 0(:,2为顶点的三角形区域以计算BAODdxdyeDy22 , 0yyeyPxQxeQP则令oyxAB)

8、1 (21 1102222edxxedyxedyxedxdyexAOyOBBAAOyDy例 2解 3( , )sinxP x yeyy， 解：添加辅助线解：添加辅助线OA，则，则OAC 是一条正向封闭曲线，是一条正向封闭曲线， 设其围成的区域设其围成的区域D 为为. 3( , )cos,xQ x yey例例 3计计算算曲曲线线积积分分33(sin)(cos)xxCeyy dxeydy， 其其中中 C 为为由由点点)0 ,(aA至至点点)0 , 0(O的的上上半半圆圆周周axyx 22 ) 0 ( a. yoxC)0 ,( aAD3QPxy， 33(sin)(cos)xxC OAeyy dxey

9、dy 22133228( ).aa 33(sin)(cos)xxCeyy dxeydy C OAOA223388 0 00 00 0aadxa . 3Dd3cos,xPeyy,cosyexQx yoxC)0 ,( aAD例例 5计计算算 Cyxxdyydx22，其其中中正正向向曲曲线线 C 为为： （1）不不包包围围原原点点 O 的的分分段段光光滑滑闭闭曲曲线线； （2）圆圆周周222ayx ； （3）包包围围原原点点 O 的的分分段段光光滑滑闭闭曲曲线线。 解解： （1）设设闭闭曲曲线线 C 所所围围的的区区域域为为 D， 当当)0 , 0(),( yx时时，22yxyP ，22yxxQ ，

10、 yPyxxyxQ 22222)( . （2）当当 C 为为圆圆周周222ayx 时时，D )0 , 0(， QP,在在原原点点不不连连续续， 不不能能直直接接用用Green公公式式。 方方法法 1：C 的的参参数数方方程程为为 20 : ,sin ,costtaytax， . 2cossin202222222 dtatatayxxdyydxC由由Green公公式式得得 0)(22 dxdyyPxQyxxdyydxDC。 CDyoxyoxaCD（3）当当 C 包包围围原原点点 O 时时，就就在在 C 内内“挖挖洞洞” ，即即 在在 C 所所围围成成的的区区域域内内作作逆逆时时针针向向小小圆圆2

11、221:Cxy， 方方法法 2 2：先先把把 C 的的方方程程222ayx 代代入入曲曲线线积积分分， 清清除除奇奇点点后后再再应应用用Green公公式式。 )(1222 CCxdyydxayxxdyydx.222222 aadxdyaD12222CCydxxdyydxxdyxyxy. yoxCDo C 则则在在1与与CC所所围围成成的的复复连连通通区区域域 D 上上，满满足足 公公式式 Green的的条条件件，得得 1220()C CDydxxdyQPdxdyxyxy11110而而CCCCCC121()Cydxxdy 222222 .Ddxdy注注： “挖挖洞洞”有有技技巧巧，要要看看被被积

12、积函函数数具具有有什什么么形形式式， 是是作作圆圆、椭椭圆圆，还还是是其其他他封封闭闭曲曲线线. . （1）2 R当当时时， DdxdyyPxQ0)(。 公式公式GreenI例例 计算计算 CyxydxxdyI229，其中，其中 C 是以点是以点)0 , 2(A 为圆心，半径为为圆心，半径为)2( RR的圆周，取逆时针方向。的圆周，取逆时针方向。 解解：229yxyP ，229yxxQ ， xQyxxyyP 22222)9(9，0 yPxQ（)0 , 0(),( yx）. )0 , 2(ACxyO229C CCCxdyydxIxy 公式公式Green2209()C CDxdyydxQPdxdy

13、xyxy Cydxxdy21清除奇点清除奇点.3232222 Ddxdy)0 , 2( AC CxyO（2）2 R当当时时， 在在 C 所所围围成成的的区区域域内内作作正正向向椭椭圆圆 2229: yxC，则则在在 CC与与所所围围成成的的复复连连通通区区域域 D 上上，满满足足公式公式 Green的的条条件件，得得 .)0 , 0()0 ,(sin:,)cos()sin(OAxyLdyyyedxyyeILxx到到由由点点计计算算 1,cos, 1coscos,sinyPxQyexQyeyPyyeQyyePxxxx例例 6解解 0:, 0:,xyOADOALOA围围成成区区域域和和线线段段补补

14、充充线线段段,2sin :0sin00OAL xdxdydxdxdyGreenxD公公式式得得由由oyxADOAOALLIL202 )cos()sin(20 dxdyyyedxyyexxOA解Myox,22122xyxyyxFyx例7.,2),4 , 3(21所作的功对质点求变力轴正向的夹角小于且与于线段点的距离，其方向垂直与原的大小等于点点）运动到，（半圆周从点为直径的，沿着以的作用下在变力质点MFyOMMFBAABFMABF,),(yxOMyxMLxdyydxW)(22)1()2(2121312dxxxBADxdyydxdxdy2三. 平面曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关是指：

15、对任意两条以A为起点, B为终点的曲线L1,L2,均有:平面单连通区域D：如果平面区域D内任一闭曲线所围部分都属于D.复连通区域：非单连通域,即指前面提到的“有洞”区域.21LLQdyPdxQdyPdx 设 P( x,y), Q(x,y) 在单连通域D上有一阶连续偏导,则以下四个命题等价:.) 1 (内成立在 DxQyP定理2., 0)2(的闭曲线或逐段光滑内任一光滑为 DLQdyPdxL.,)3(的起点终点有关内的只与位于与路径无关曲线积分LDQdyPdxLQdyPdxduyxuyxuQdyPdx使即存在的全微分为某个函数),( ,),()4(,),(,) 5(QPgraduyxuQP即即的

16、的梯梯度度为为某某个个函函数数证明,.: )2() 1 (xQyPDDDLD内成立在所包围的区域为设CDdxdyyPxQQdyPdx. 0)().,(,: )3()2(21内任二点为为终点的曲线为起点任取两条以DBALLBA:公式得由Green12. 0)2(LLQdyPdx.112LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxAB1L2L),(),(0000),(:,),(,),(.)4()3(yxyxoQdyPdxyxuyxyxM记为的函数曲线积分为终点后取定起点曲线积分与路径无关.,),(:,QdyPdxduQyuPxuyxu从而且可微可以证明利用微积分中值定理xyuxQyxuyPyuQxu

17、PQdyPdxdu22,)1 ()4(., 2内成立在有一阶连续偏导数DxQyxuyPQP3 3定定义义 1 1 若若函函数数),(yxu的的全全微微分分QdyPdxdu ，则则称称 ),(yxu是是表表达达式式QdyPdx 的的一一个个原原函函数数. . CdyyxQdxyxPyxuyxyx ),( ),( ),(),(),( 其其中中 C 为为任任意意常常数数，Dyx ),(. 若若),(),(yxQyxP在单连通域在单连通域 D 上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数， 则则QdyPdx 在在 D 内内存在原函数的充要条件是存在原函数的充要条件是 xQyP ， 且且QdyPdx 的的

18、所所有有原原函函数数为为 设设),(yxA为为 D 内内一一定定点点， 由由于于曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关，故故 取取 AMB 为为 积积 分分 路路 线线 ， 得得 ： ),( ),( ),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu.),(),( yyxxdyyxQdxyxP),(yxA),(yxM),(yxN),(yxByox xxyydxyxPdyyxQ ),(),( ),( ),( ),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu取取 ANB 为为积积分分路路线线，得得： 24)0 , 0()0 , 4(:)522(2)1 (xxyOALLdyyyexdxyxeI的

19、的上上半半圆圆周周到到从从计计算算例8yPyxexQyyexyxQyxeyxP22522),(,2),()1(解yxoL2A.,连续且在全平面成立yPxQ.路径无关曲线积分在全平面内与dyyyexdxAoyxeI)522(204.8xdx04:, 0:xyoA解).0,()0,(, 12222:,22)()()2(aBaAbyaxLLyxdyyxdxyxI到到从从计计算算22),(,22),(yxyxyxQyxyxyxP2)22(222yxxyxyxQyP.无关通域内曲线积分与路径在任何不含原点的单连. 0:,cossin,222:1tBAtaxtayayxL到取yxoL1LABLyxdyyx

20、dxyxI22)()(.0)cos(2sincos)sin(02sincosdtdttaatatadttaatataLadyyxdxyx2)()(,3)()3()3()3(LyxdyxydxxyI计算解02:,2:xxyAB取3)(3),(,3)(3),(yxxyyxQyxxyyxPyxoLAB).2,0()0,2(,cos2:BAxyL到从43)2()2(38023dxxxxxIAB,0yPxQyx时，4)(:2BAyxyxI或例 9).,(,),(22,:yxuyxudyyxdxyxxoy并求的全微分是某个函数平面内在验证CyxCxyydyxdxCdyyxdxxyCyxydyxdxxyyx

21、uABoA2221 0020)22)(),()0,0(22),(oyxB(x,y).22,2,2,2 微分是某个函数的全因此在全平面内在全平面成立dyyxdxyxxQxyyPyxQxyPA解.2,222:yxyuyxxudyyxdxyxdu故由于或yxyyxyuyyxyxu2)(2 )(2221),(于是.2221),(.)(,0)(cyxyxucyy全微分方程 此时，全微分方程的通解为：U（x, y)= C. 由曲线积分与路径无关的等价命题知：为全微分方程且此时有0),(),(dyyxQdxyxPxQyP若存在二元函数 U(x, y),使dyyxQdxyxPdU),(),(为全微分方程0),

22、(),(dyyxQdxyxP则称xxyyyxyxdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxU0000),(),(),(),(),(0),(),(故方程为全微分方程。于是方程通解为.0324223的通解求dyyxydxyx,63),(,2),(44223yxxQyPyxyyxQyxyxP113232),(3214220),()1 ,0(4223yxydyyxyxdxdyyxydxyxyxUyxyxCyxy321解例10例 11 已知曲线积分即解 由曲线积分与路径无关的等价条件可得：与路径无关，且Lxdyyxfdxyexfcos)(sin)(的曲线积分值。到点从点并计算求) 1 , 1 ()0

23、, 0(),(, 0)0(,)( AOxffCxfcos)(sin)(yxfxyexfyxxexfxf)()(21)(2CeeCdxeeexfxxdxxdx21)(210)0(xxfeexfC21sin)()(21sin1sin)(cos)0(1101010eedxeedxexfdyyfxxx)1 , 1()0,0(cos)(sin)(dyyxfdxyexfx业作975431)81(3 . 7)5)(3)(1()3)(1()4)(2()6)(4)(3)(2(P习题四.Gauss公式与散度取外侧其中，dxdydzzRyQxPdyRdxdxQdzdzPdy)( 则连续偏导数，上有一阶在函数；为边界

24、曲面的空间闭域是以分片光滑曲面）设（ ),(),(),(2) 1zyxRzyxQzyxP)GaussTh3 （定理1.Gauss公式.:2222333的内侧球面计算azyxdydxzdxdzydzdyxI)(3 ,222333zyxzRyQxPzRyQxPdxdydzzyxI)(3 Gauss222公式得由505002202051251)cos(6 sin3ardrrrddaa球坐例 12解dydxxyzzdxdzzxydzdyzyxVzyxaz)1 (.,:,0,2222222的体积为证明表面外侧空间区域围成的为由曲面设公式得由GaussxyzzRyQxP,21VxyzdxdydzVdxdy

25、dzxyzdydxxyzzdxdzzxydzdyyzx2 )21 ( )1 ( 2222例 13证.cos,cos,cos),0( ,: )coscoscos( )2(222222的外法线的方向余弦为计算前面例hzzyxdAzyxI.,:12221成为封闭曲面使上侧补hyxhzdydxzdxdzydzdyxdAzyxI222222 )coscoscos(oxyzh例 14解22222hyxdxdyhzdxdydz对称性44440321212 hhhhdzzh 2 220222hhdxdyzdzzyxh111222222)(2 )(dydxzdxdzydzdyxdxdydzzyxdydxzdxd

26、zydzdyxIdyyzdxdxdzydzdyyxI4)1 (2) 18(2计算右侧补上曲面,23:221zxyoxyz1.2,)31 (01:轴正向夹角大于其法向量与轴旋转所得的曲面绕曲线yyyxyz2) 1(4)1 (2) 18(3121dyydxdydzdyyzdxdxdzydzdyyxI例 15解32)2(162:16)91 (24)1 (2) 18(22221zxDdxdzdxdzdyyzdxdxdzydzdyyxxzDDxzxz又34322I:),( ,),(),(222222证明算子的外法线方向为的边界曲面为导数上具有一阶及二阶连续在设Laplacezyxnzyxvzyxu)(第

27、一公式GreenzgradvdxdydgradudAnvuvdxdydzu,cos,cos,coscoscoscos外法向的方向余弦为zvyvxvnv例 16证vdxdydzvdxdydzudxdydzzvuyvuxvuzvzuyvyuxvxugradgradu 222222dxdydzzvuzyvuyxvuxdAzvuyvuxvudAnvu)()()( )coscoscos(.1 ,222222位于第一卦限的流量）求通过球面（从内向外设有流速场zyxzyxv. 0, 0, 0, 1:222222zyxzyxdydxzdxdzydzdyx838)1 ()1 (102200,0122222 dd

28、dydzzydzdyxzyzy例 17解).(div,),(1lim1lim 00MFzyxMFdAFVdAnFVdd记作处的散度在点为向量场向量，则称外侧的单位法为的直径，为立体的体积，所围为的曲面为包围点设nVdVzyxM,),(2. 散度 根据Gauss公式，三重积分的积分中值定理及散度的定义可证得散度的计算公式：zRyQxPFdiv，则设),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFdvFdiv dAF于是，Gauss公式可表示为：)graddiv()2(),div(grad1vuu）求（222222)div(grad,grad1zuyuxuuzuyuxuu）（zvzuyvy

29、uxvxuzvyvxvuvuvuv)(gradgrad)div(grad)div(ugrad(2)222222例 18解1. Stokes 公式:, ),(),(),(, 则有一阶连续偏导数的空间域内具有含曲面在包函数光滑曲线的边界曲线为分段设分片光滑曲面zyxRzyxQzyxPdydxyPxQdxdzxRzPdzdyzQyRRdzQdyPdx)()()(五. Stokes公式与旋度,RQPzyxdydxdxdzdzdy记系。取侧的法向量构成右手所的方向与曲面其中曲线)StokesTh4 （定理公式的推广。公式是因此公式为公式即面上的一块区域时为当公式中的注GreenStokes,GreenS

30、tokes,. 1xydARQPzyxRdzQdyPdxcoscoscos公式也可以写成：Stokes. 2为逆时针。轴正向看过去从计算曲线积分,)0, 0( , 1,:)()()(222xhahzaxayxdzyxdyxzdxzy. 2, 2, 2,zQyRxRzPyPxQyxRxzQzyPoxyz.,1取上侧上的一椭圆为平面hzax:,知公式由Stokes例 19解)(2)()()(dydxdxdzdzdydzyxdyxzdxzy)(2)0(2 22haaaahdxdydxdzdydzxyxzyzDDD., 1)(: ,:2222222为一条直线其中xzyzxyDayhhzDayxDoxy

31、z.,1取取上上侧侧上上的的一一椭椭圆圆为为平平面面hzax:,知公式由Stokes)(2)()()(dydxdxdzdzdydzyxdyxzdxzydA)coscos(cos2 , 0 ,cos,cos,cos1, 0 ,112222haahahhahzax 单单位位向向量量为为的的法法向向量量为为平平面面)(2cos2222222haaahahadAhaha 故故原原式式另解另解为为逆逆时时针针。轴轴正正向向看看过过去去从从计计算算曲曲线线积积分分,)0,0( , 1,:)()()(222xhahzaxayxdzyxdyxzdxzy例 19再另解再另解)cos1 (,sin,cos:1,:

32、222thztaytaxhzaxayx的参数方程为的参数方程为tdthtatatdtatathhdttathhtadzyxdyxzdxzysin)sincos(cos)coscos()sin)(cossin()()()(20 则则)(2)sincos(20haadtththhaa 2. 旋度),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF设有向量场的环量。沿有向闭曲线为向量场LFLLRdzQdyPdxsdFLF的曲线积分沿有向闭曲线称则称手系构成右的边界，其方向与为的面积，为为法向量点以在，使点作一小块曲面，过处取定一个方向为场中一点，在点设,nLAnMMnMM称的平均环量面密度沿法向

33、量绕曲线在点为向量场,1 nLMFsdFAL定义LnnLsdFAMFrotMFrotnMFsdFA1 lim)( ),(,1 limMM即即记记为为的的环环量量面面密密度度沿沿方方向向在在点点为为向向量量场场称称000*11cos,cos,cos)(),(),(1cos)(cos)(cos)(1)()()(11 nAnAdAnAdAyPxQxRzPzQyRAdAyPxQxRzPzQyRAdydxyPxQdxdzxRzPdzdyzQyRAsdFAMML 00MM*lim1 lim)( nnsdFAMFrotMMLn 所所以以)(),(),()(),(,)(yPxQxRzPzQyRMFrotMFrotMFMFrotn 即即记记为为的的旋旋度度在在点点为为向向量量场场，则则称称的的模模且且最最大大值值为为取取最最大大值值同同方方向向时时，环环量量面面密密度度与与显显然然当当0)( nMFrotMn 即即)(),(),(yPxQxRzPzQyR 其其中中RQPzyxkji)()(maxMFrotMFrotn并并且且.2, 1 , 2)3(;,) 1 , 1 , 1 ()2(;) 1 (,32的的环环量量面面密密度