同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(38)_第1页
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文档简介

1、.习题 10-1 1. 设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L, 在点(x, y)处它的线密度为m(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标, . 解 在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds), 设(x, y)为小弧段ds上任一点. 曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2m(x, y)ds, dIy=x2m(x, y)ds . 曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为 , . 曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为 dMx=ym(x, y)ds, dMy=xm(x, y)ds . 曲

2、线L的重心坐标为 , . 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2, 则 . 证明 划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 . 令l=maxDsi®0, 上式两边同时取极限 , 即得 . 3. 计算下列对弧长的曲线积分: (1), 其中L为圆周x=acos t , y=asin t (0£t£2p); 解 = . (2), 其中L为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段; 解 L的方程为y=1-x (0£x£1); . (3), 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界

3、; 解 L1: y=x2(0£x£1), L2: y=x(0£x£1) . . (4), 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 解 L=L1+L2+L3, 其中 L1: x=x, y=0(0£x£a), L2: x=a cos t, y=a sin t , L3: x=x, y=x , 因而 , . (5), 其中G为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从0变到2的这段弧; 解 , . (6), 其中G为折线ABCD, 这里A、B、C、D依次为点(0,

4、0, 0)、(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 G=AB+BC+CD, 其中 AB: x=0, y=0, z=t (0£t£1), BC: x=t, y=0, z=2(0£t£3), CD: x=1, y=t, z=2(0£t£3), 故 . (7), 其中L为摆线的一拱x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)(0£t£2p); 解 . (8), 其中L为曲线x=a(cos t+t sin t), y=a(sin t-t cos t)(0£t£2p). 解 . 4. 求半径为a, 中心角为2j的均匀圆弧(线密度m=1)的重心. 解 建立坐标系如图10-4所示, 由对称性可知, 又 , 所以圆弧的重心为 5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中0£1£2p, 它的线密度r(x, y, z)

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