函数图像的切线问题

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.函数图像的切线问题要点梳理归纳1 .求曲线y = f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x0, f(x 0),求y=f(x)在点P处的切线方程：切线方程为y f(x 0)=f' (x0)(x xo).(2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程：设切点为P(xo, yo),通过方程k= f' (x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y=f(x)的切线方程：设切点为P(xo,yo)，利用导数将切线方程表示为y f(x o) = f ' (x o)

2、(x xo),再将A(s,t)代入求出xo.2 .两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x)存在公切线，若切点为同一点P(x0, y0),则有f'X0 = g ' X0 ,f X0 = g X0 .f(xi) g(x2)x1 x2若切点分别为(x 1 ,f(x i),(x 2,g(x 2),则有 f (x1)g (x2)题型分类解析题型一已知切线经过的点求切线方程例1.求过点P(2,2)与已知曲线S: y 3x x3相切的切线方程.解：点P不在曲线S上.设切点的坐标 xo,yo，则y0 3x0 x03,函数的导数为y' 3 3x2,切线的斜率为k y'

3、; 3 3x02,切线方程为y yo (3 3x02)(x x°),x x xo23.Q 点 P(2,2)在切线上， 2 yo (33x0 )(2x°),又y°3x° x0,二者联立可得x0 1,或 1 J3,相应的斜率为k0或k9 6J3切线方程为y 2或y 9 6J3 (x 2) 2.例2.设函数fx g xx2,曲线y g x在点1,g1 处的切线方程为y 2x 1,则曲线yf x在点1, f 1处的切线方程为 解析：由切线过一_一 .一2一、.1,g 1 可得：g 13,所以f 1 g 114 ,另一方面,2x,所以f 1 g 12 4,从而切线

4、方程为:y 4 4 x 1 y 4x例3.已知直线ykx 1与曲线yx3 ax b切于点（1,3）,则b的值为解析：代入（1,3）可得：k 2, f' xf 1所以有 ，f 1题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数f x lnx 2x,则：（1）在曲线f x上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x y 2 0平行（2）在曲线f x上是否存在一点，在该点处的切线与直线x y 3 0垂直解：设切点坐标为 x0,y0f x01，c c一 2 由切线与4x y 2 0平行可得: x。切线方程为：y1 ln2y 4x In 2 1（2）设切点坐标 x0,y01f

5、 x。 一 2 ,直线x y 3 0的斜率为1x。文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持f xo-121x2Ix0xo而Xo0,Xo不存在一点，使得该点处的切线与直线3 0垂直例5.函数f x aln x bx2上一点P2, f处的切线方程为 y 3x 2ln2 2,1 一、人，-不在7E乂域中，舍去 333上，y 3 2 2ln2 2 2ln2在从切线斜率中得到 x 2的导数值,解：QP 在 y 3x 2ln22上,21n22 21n2 4又因为P处的切线斜率为a2bx xa 1n 24b 21n 2f'224b3,I 4b 3例6.设函数f2 ax9x 1 a

6、 0 ,若曲线的斜率最小的切线与直求a,b的值思路：本题中求a,b的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P在直线y 3x 2ln2 2 4,即f 2 =2ln2 4,得到a,b的一个等量关系,进而得到 a,b的另一个等量关系，从而求出a,b12,进而可得导函数的线12x y 6平行，求a的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为 最小值为 12,便可求出a的值22 21 21 2斛：f x 3x 2ax 9 3 x a a a 393文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持，112f x . f -a -a2 9 Q直线12x y 6的斜率为 12,依题意可

7、得： min33题型三公切线问题3215例7.右存在过点（1,0）的直线与曲线 y x和y ax 一 x 9都相切，则a等于（）A. 1或豆 B.1 或 C.7或空 464D.415思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 x 9含有参数，所以考虑3先从常系数的曲线y x入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线2153 ,3y ax -x 9求出a的值.设过1,0的直线与曲线 y x切于点 x0,x3 ，切线万 程为y x03 3x2 x x0 ,即y 3x；x 2x3,因为1,0在切线上，所以解得： 033 27或x0 ,即切点坐标为 0,0或一，.当切点 0,0时，由y 0与

8、9相切可得215y ax - x41525一3 27,1.4a 90 a25,同理，切点为-27解得a14642 8答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系15- o 15.（2）在利用切线与 y ax 一x 9求a的过程中，由于曲线y ax 一x 9为抛物文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0来求解，减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系:方面，求有

9、关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线G：2 .x与曲线C2：y aex存在公切线，则a的最值情况为（A.最大值为-82 e解析：设公切线与曲线C1切于点2 Xi,Xi，与曲线C2切于点X2,aex22x可得: xae2x1 aex2x22ae一国，所以有2x12x1x2x1 2x224 x2ex2增，在题型四X2Xi1一 if2,单调递减，所以切线方程的应用2x1x2x2aex1,所以aex21,2单调递例9.已知直线ykx与曲线yamax4_ elnx有公共点，则解：根据题意画出右图

10、，由图可知，当直线和曲线相切时，1设切点坐标为 , y0 ,则y° ln X0, y 一 xk的最大值为k取得最大值.x xo1X0切线方程为ln xo1 , 、一一（x x°） , Q原点在切线上, X。ln x01斜率的最大值为10.曲线A.2B. 2e, 2C. 4eD.思路：f x ee在点2,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程与两坐标轴的交点坐标为1,0 0, e2例11. 一点P在曲线yx3 x 2上移动，设点P处切线的倾斜角为3,则角的取值2 2 2222f 2 e2所以切线方程为：ye

11、2 e2 x 2即e x y e 0,范围是（）33D.'- 2.y 3x 1 ,对于曲线上,所以倾斜角的范围A. 0, B. 0, U , C. 2244思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来任意一点P ,斜率的范围即为导函数的值域：y=3x2 11,曰3一是0, 一 U ,.答案：B24例12.已知函数f x 2x2以若存在3条切线，则等价于万程t 4x0 6x03有三个解，即y t与g x4x3 6x2 3有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标 x0,y0 ,切线斜率为k ,则有: 3x,若过点P 1,t存在3条直线与曲线y f x相切，求t的取值范围思路

12、：由于并不知道3条切线中是否存在以 P为切点的切线，所以考虑先设切点 x0,y0 ,，八，y。2x3 3x0 ，八、切线斜率为k ,则满足 2,所以切线方程为 y y0 k x x0 ,k f x06x0 3即3232y 2x03x06x03 x x0 ,代入 P 1,t 化简可得：t 4xO6x03,所yo 2xo 3xo切线方程为：y 2x3 3x06x0 3 x x0_ '_ 2yJ 八0 s00 一 八 八 0k f x06x2 3因为切线过P 1,t ,所以将P 1,t代入直线方程可得：所以问题等价于方程t4x3 6x2 3,令g x4x3 6x2 3即直线y t与g x4x

13、3 6x2 3有三个不同交点令g x 0解得0 x 1 所以g x在 ,0,1,单调递减，在 0,1单调递所以若有三个交点，则t 3, 1所以当t 3, 1时，过点P 1,t存在3条直线与曲线y f x相切例13.已知曲线C:x2=y, P为曲线C上横坐标为1的点，过P作斜率为k（kw。）的直线交C于另一点Q,交x轴于M过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实数k,使得直线MNf曲线C相切？若存在，求出 K的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点P 1,1 ,则可求出PQ: y kx k 1,从而与抛物线方程联立可解得Q k 1, k 1 ，以

14、及M点坐标,从而可写出QN的方程，再与抛物线联立得到 N点坐标.如果从M,N坐标入手得到 MN 方程，再根据相切0求k,方法可以但计算量较大 .此时可以着眼于 N为切点，考虑抛物线x2 y本身也可视为函数 y x2 ,从而可以N为入手点先求出切线，再利用切 线过M代入M点坐标求k ,计算量会相对小些.解：由P在抛物线上，且 P的横坐标为1可解得P 1,1k 1设 PQ: y 1 k x 1 化简可得：y kx k 1 M ,02y xy kx k 1消去 y ： x2 kx k 1 0设直线QN : y k 1r21k 1 即 y k 1- x k 1k2y x联立方程：2 1y k 1 x

15、k 1 kr2 一'由y x可得：y 2x-1切线MN的斜率kMN y |x闻 2 k 1 - k1 k 1 2k k2k2 k 1 0, k1 ，,52小炼有话说：(1)如果曲线的方程可以视为一个函数(比如开口向上或向下的抛物线, 椭圆双曲线的一部分)，则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要 比联立方程计算 0简便(2)本题在求N点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知 Q的横坐标求出N的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一 交点求另一交点的问题.例 14.设函数 f(x) =x3+2ax2 + bx+a, g(x) =x

16、23x+2,其中 xCR, a、b 为常数，已知曲线y = f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线1.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x) +g(x) = mx有三个互不相同的实根0、xi、x2,其中xi<X2,且对任意的xCxi, X2 , f(x) +g(x)<m(x 1)恒成立，求实数 m的取值范围.【解答】(1)f ' (x) = 3x2+4ax+b, g' (x) = 2x3.由于曲线y=f(x)与y = g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有 f(2) =g(2) =0, f ' (2) =g' (

17、2) = 1.由此得8 + 8a + 2b + a = 0,12+8a+b= 1,解得a= - 2,b= 5.所以a=2, b= 5,切线l的方程为xy 2=0.(2)由得 f(x) =x3-4x2+5x-2,所以 f(x) + g(x) = x3 3x2+ 2x.依题意，方程 x(x 23x+2m)= 0有三个互不相同的实根 0、xi、2，故xi、x2是方程x2-3x+2-m= 0的两相异的实根.1所以 A = 94(2 m)>0,即 m>-4.又对任意的 x x 1, x2 , f(x) +g(x)<m(x 1)恒成立.特别地，取 x=x1 时，f(x 1)+g(x 1)

18、 mx<m成立，得 m<0.由韦达定理，可得 X1+x2=3>0, x1x2=2 m>0 故 0<x1<x2.对任意的 xCX1, X2,有 x X2<0, x X1 >0, x>0,则 f(x) + g(x) mx= x(x X1)(x X2) < 0,又 f(x 1) + g(x 1) mx= 0,所以函数f(x) + g(x) mx在x x 1, X2的最大值为0.一，1于是当一4Vm<0时，对任息的 xCx1, X2 , f(x) +g(x)<m(x 1)恒成立.，一 1综上，m的取值范围是 一7 0 .例15.如

19、图31,有一正方形钢板 ABCW损一角(图中的阴影部分)，边缘线0加以直线AD为对称轴，以线段 AD的中点O为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米，问如何画切割线 EF,可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.解法一：以O为原点，直线 AM y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC勺方程为y= ax2(0 < x<2),点C的坐标为(2,1),1 2故边缘线 OC勺万程为y=-x(0<x<2), 4要使才形ABEF勺面积最大，则 EF所在的直线必与抛物线弧OCf切，设切点坐标为 Pt, ；t2 (0<t <2),11 2 t .- y = 2x, 直线 EF的方程可表本为 y 4t =2(xt),即 y=；tx -1t2.由此可求得 E 2, t -4-t2 , F 0, 32 .-12.1 2 .|AF=一3一一 , 21,2, I AF| = 1 4t , | BE = t +1 + 1,设梯形ABEF勺面积为S(t),则1 .S(t)=2|AB (I AF +|BE)=1 4t，1 2.1 2I be = t J -1= 4t+t + 1.设梯形ABEF勺面积为S(t),则1 ,2 5 5、“， 一5S(t)=-2(t-1) +/2,