[整理]九年级数学竞赛专题全套.

1、九年级数学竞赛专题第一讲因式分解一、选择题1 .下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是()A. (2a+3)()2a-3)=4a 2-9;B. 4m 2-9=(2m+3)(2m-3)C. m 2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m; D. 2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz - 3y - 3z2 .下面各式的因式分解中，正确的是()A . -7ab -14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y); B. -3xmyn + xm*yn，=-3xmyn,(y + 3x)2C. 6(a -b) -2(b -a) = 2(a -b)(3a -3b +1); D. x

2、y(x - y ) x (y x ) = x (x - y )(y - 1 )3 .下面各式的因式分解中，正确的是()322A. 18(a+b) =(12a+2b)(1+2a +2b + 4a +4ab+4b )22 2,2 22222B. (x +y ) -4x y =(x +y +2xy)(x +y -2xy)一2,、2C. 8a -4a -4 =4(a-1)D . a2(x y) +b2(yx) =(x y)(a +b)(ab)4 .下面各式的因式分解中，正确的是()A . ab - a + b + 1 = (a - 1)(b + 1)22B . 4xy + 1 - 4x - y = (

3、1+2x - y)(12x - y)C. 3a -3b + 3x - bx = (a - b )(3 - x )D . - 4xy+1-4x2 - y2 = (1 + 2x + y)(1-2x - y)5 .下列因式分解的变形中，正确的是()A . x2-(a+1)x+ a2 = (x-1)(x-a)251B . m + m+= (2m+1)(3m+1)6 62222 222C. y +(a +b ) -y +a b =(y+a )(y+b )222D. (x -3x) -2(x -3x) -8 =(x-1)(x-2)(x +4)(x-1)二、填空题 22221 .在代数式(1)4x 4x+1

4、,(2)m +mn + n，64n +1中是完全平方式的是 o3.在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是 Owe 11114乘积PR (1 一尸1 一源=5.已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数 整除。三、解答题1 .分解因式4_ 2_x2x -3;一 4 一 2 一(2)x 2x 9;_22(3)(1-a )(1-b ) -4ab，一 2(4) x -xy 2x y - 3 ；(5)a2 (a 1)2a2 (a 1)2 ；(6)( m n)3 2mn(1 -m-n) 1 ；(7)( a2a 1)(a2

5、a 2)-12；(8)12x4 -56x3 89x2 -56x 122 .已知三角形的三条边a,b,c适合等式：a3 b3 c3 3abc ,请确定三角形的形状。3 .已知：三个连续奇数，它们的平方和为251,求这三个奇数。324 .已知：2x - 3 和 3x + 1 是 f(x) = ax +bx +32x+15 的因式，求 a,b 的值。5 .证明：(1)若n为整数，则(2n +1)2 -(2n-1)2 一定是8的倍数;(2)若n为正整数时，n3- n的值必是6的倍数；(3)四个连续自然数的积加 1必为一完全平方数。答案一、选择题1. B2. C3. D4. D5. C提示：1 .依据因

6、式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。只有选 项B正确，其中选项 A、D均为整式乘法。2 .按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第 一项的系数为正、只有选项 C正确。3 .利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底。4 .利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D正确。5 .利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C正确，选项B非恒等变形。二、填空题：1. 1 ;2. X+4.5 ;3. 110平方厘米；114. ；205. 7、

7、 11、 13提示：1 .若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有(1)式= (2x-1)2是完全平方式。2 .根据题意，利用大除法：(a 3)x 222x -3 2x2 ax -92x2 -3x(a 3)x -9/ c、 3(a 3)(a 3)x-y3c r 3(a3), o-9 - - =3 a = 52，x+但上3) = x+4,即：商式为 x + 4,且a = 5.23.依题意，原正方形面积为 12.752厘米，挖去的正方形面积为 7.25平方厘米，利用平方差公式：乘下的面积就是12.752 - 7.25 2 =(12.75+7.25)(12.75 - 7.25) =

8、 110 平方厘米目-22 -1 32 -1 42 -14.原式= 2 - 2 - 22341 1 2 4 3 57亍万11-205.依题意，设所求的站位数为：92 - 1 102 -12- ,29108 10 9 1192102abcabc, a,b,c均为自然数，则abcabc =a 105b 104 c103 a102b10c= 103(a102 b 10c) (a102b10c)=(a 102 b 10 c)(103 1)= 1001(100a 10b c) -1001=7 X11X13,a,b,c为自然数， 100a + 10b + c 为自然数 .71 abcabc,111 abc

9、abc,131 abcabc三、解答题1.分解因式：(1)十字相乘法：原式 =(x2 +3)(x+1)(x1)(2)配方法：原式=(x2 -2x + 3)(x2 +2x+3)(3)配方法：原式=1 -a2 -b2 a2b2 -4ab2 2-22 一二(1 a b - 2ab) - (a b 2ab)=(1 -ab)2 - (a b)2=(1 - ab a b)(1 - ab - a - b)(4)原式=x2 +2x -3 -xy 十 y=(x 3)(x -1) -y(x -1)=(x -1)(x -y 3)法1：原式=a2 a2 2a 1 a4 2a3 a2=a4 2a3 3a2 2a 143

10、2322=a a a a a a a a 12,222=a (a a 1) a(a a 1) (a a 1)= (a2 a 1)2法2:2222原式=a a 2a 1 (aa)_222=1 2a(a a) (a a)二 (a2 a 1)2(6)法 1:原式=(m3 3m2n 2mn2 -n3) 2mn _2m2n _2mn2 _13223 c/二 m m n mnn2mn -132232222,=m m n - m n n m - n m nm-m-nm n -n m n-12，、2，、，八，、 ，八二m (m n -1) n (n m -1) m(m n -1) n(m n -1) (m n

11、 -1),22二(m , n -1)(m n m - n 1)法2:原式=(m n)3 -13 2mn(1 一m -n)=(m n 7)(m n)2 (m n) 1 -2mn(m n-1),、，22,、二(m n 7)(mn m n 1) 原式=(a2 +a)2 +3(a2 + a)+212=(a2 a 5)(a2 a - 2)2二 (a2 a 5)(a 2)(a -1)(8)反数法：原式=12(x4 1) 89x2 -56(x3 x)_ 2212_ 21= 12x (x 不)89 -56x (x -) xx2 _1 2_1二x 12(x) -24 89 -56(x)xx21 21=x 12(

12、x) -56(x) 65xx2-11=x 2(x ) -56(x - -) -13 xx= (2x2 -5x 2)(6x2-13x 6)二(x -2)(2x -1)(2x -3)(3x -2)2.解，依题意：a3 +b3 +c3 =3abc而 a3 +b3 +c3 -3abc a3 b3 c3 -3abc2. 2 、3=(a b)(a -ab b ) c -3abc-2_3=(a b)(a b) -3ab c -3abc.33二(a b) -3ab(a b) c -3abc2,. ,2 .二(abc)( ab)-(a b)c c -3ab(ab c)2. 22.、=(abc)(ab c aba

13、c bc)二0:a,b,c为三角形的三边长. .a + b + c > 02,22a b c -ab -ac-bc = 0_2_2_2_2a 2b 2c - 2ab - 2ac - 2bc = 0222_2.22一a -2ab b a -2ac c b -2bc c =0222(a -b) (a -c) (b -c) =0(a -b)2 _ 0,(a -c)2 _ 0, (b - c)2 _ 0. 只有(a -b)2 =0,(a -c)2 =0,(b -c)2 = 0 .a = b = c,即三角形为等边三角形注：a3 b3 c3 -3abc也可如下分解：原式=a3 3a2b 3ab2

14、b3 c3 -3a2b -3ab2 -3abe=(a b)3c3 - 3ab(a b c),.、，2. 22.、二(a b c)(a b c - ac - bc - ab)3 .解：设这三个奇数依次为n - 2 , n , n + 2 ,其中n为自然数，则n > 2,则依题意:(n - 2) 2 + n 2 + (n+2) 2 = 251 3n 2 =243 n2 =81n = 9 或-9当 n = 9 时，n 2 = 7, n + 2 = 11;当 n = - 9 时,n 2 = - 11, n + 2 = -7.所以，这三个连续奇数为7、9、11;或7、-9、-114 .解：若(2x

15、 - 3 )和(3* + 1)都是 f(x) = ax2+bx2+32x + 15 的因式，则(2x - 3 )(3x + 1 ) = 6x 2 -7x 3 能整除 f(x)。解法1:利用多项式与多项式的大除法：a 二x -5 66x2 -7x -3 ax3 bx2 32x 53 7a 2 a ax x x b 2 7a 2 a(b )x2 (32 -)x 152 _-30x35x 150b + 7a = 30 且 32 +- =35, b2a = 6 且 b = - 37即：f(x) =bx3 37x2 32x 15 =(2x-3)(3x 1)(x-5)解法2:f (x) =(2x -3)(

16、3x 1)(mx n)2二(6x -7x -3)(mx n)= 6mx3 (6n -7m)x2 -(3m 7n)x -3n=ax3 bx2 32x 15a =bmb =6n 7m一32 =-(3m 7n)15 = -3nn = -5, m = 1, b = -37, a = 6即 f (x) =(2x -3)(3x 1)(x -5) =6x3 -37x2 32x 155.证明：(1) (2n +1)2 (2n -1)2 = (2n +1 +2n -1)(2n +1 2n +1) = 8n.n 为整数，8 | 8n.即 8|(2n+1) 2 -(2n-1) 2 命题得证；(2) n3 n = n

17、(n2-1) = (n1)n(n+1); n为正整数，(n+1)和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，所以，2|n(n+1);而(n-1),n,(n+1) 是连续3个整数，必有一个是3的倍数，所以3|(n-1)n(n+1),即6(n-1)n(n+1)。命题得证。(3)设这四个连续自然数依次为n - 2, n T, n , n + 1 ,其中n>2且n为自然数，则依题(n - 2 )(n - 2 ) n (n + 1 ) + 1=(n - 2 ) (n + 1)(n T )n + 1=(n 2 - n 2 )(n 2 - n ) + 1=(n 2 - n ) 2 -2(n 2 -n )+1=

18、(n 2 - n -1 )2因为 n 为自然数，所以n2- n -1必为整数，即命题得证。九年级数学竞赛专题第二讲分式变形一、选择题3 2 1,.一.1. 等介于（）（其中XW18）x y 6x yA. 十上=6; B. 3y + 2x = 6;3 218yC. x = y -12D.12xx -18,ac一 2 .右一=一，且mwo,则下列比例式中成立的应是（）bdca - m c - m;B.d m b da m c m a bmC. =； D.b m d mbc dm3 .化肥厂原计划x天一产化肥120吨，由于采用新技术，每天增加生产 划提前2天完成原计划，则列出的方程应是（）3吨，因此

19、比原计120A .x -2120 120120120120 120-3; B.=-3; C.=-3; D.xx x 2x 2 xx120x - 2-3. a b c一, 2224 .右 y = 一,x= ,z = (abcw0),则 x + y +z =()x z y(a b c) ;abc2 U22a b cB.abc2(ab ac bc)C ;abcD.,2 22 2b c a babc5 .两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精的体积和水的积体比是p： 1,另一个瓶子中酒精的体积和水的体符号比是q： 1,如果这两瓶的全部溶液混合在一起，在这混合液中酒精的体积与水的体积之比是（）B p

20、 +q +2pqp q 2C.D.2 PqP q二、填空题2.比较大小:时，代式1 -2319992000,231有意义。2320002001,2313,若方程： x一1）一（m "）=-的根均相等，则只需 m的值是（x -1）（m -1）m一 , 11、 . ,11、, 116 .已知：a + b + c = 0 ,则 a(一斗)+ b( + ) +c( + )+3 的值是 b c c a a b5.2x2 -9x -32整数值时，分式的值为整数。x -7三、解答题1.化简：(1)x3 xy2 123x xy -x y - y2222x y - xyx y xy -3223 

21、9; -3223x xyxyy x x y xy yx2y y3 12332x y y x xy33x y3223x3 x2y xy2 y3(2 )1 1 1x(x a) (x a)(x 2a) (x 2a)(x 3a) (x 3a)(x 4a)2 22(a b c)b2 -bc c2 _oL _ 3 ) b c a b c 1 . 1111I' I ' I b c bc ca ab(4)(x-1)(x-2)2.证明以下各式:(1)若 abc=1,则(x-2)(x-3)+十(x - n)(x - n -1)+ab a 1 bc b 11ac c 1二1(2)若 a + b +

22、c = 0,贝U 1 + a2b2 -c2 b2122c -a12-=0 c a 。b（3）已知：x十工+_z =i且9十£ = o,求证:2 y_ b22 "1 c旦十上+-=11 a 1b 1c(4)若：x = by + cz, y = cz + ax, z = ax + by,求证:3. (1)将下列各题分解为部分分式：小 x -56x2 16x 18,(x 1)(2x -1) (x 1)(x 2)(x 3)(2)已知:x22(x-1)3A B C.+，求 A、B、C 的值。 (x1) (x1)2(x-1)3 2a4. (1)已知 a > 0, b > 0

23、, c > 0.求证：b c+-2b- 2- >3.c a a b(2)如果 a, b, 2a二1b2b -1 ，.都是整数，并且 a >1, b > 1 ,试求：a + 2b的值。a一一一 一 一 .一，一一一1 一5. 一件工程由甲、乙、丙、丁、戊五人工作，如果甲、乙、丙三人同时工作，需用7一天2完成；如果甲、丙、戊三人同时工作，需用5天完成；如果甲、丙、丁三人同时工作，需用6天完成，如果乙、丁、戊三人同时工作，需用4天完成，问五人同时工作，几天可以2完成工作的2?3答案一、选择题1. D2. D3. D4. D5. B提示：321. -x y(1)在（1）左右两边

24、分虽乘以6xy：则18y + 12x = xy18y -12x口 x=而丫= xw18 且 yw12y -12x-18，选项D正确2.不妨设23a = 2, b = 4, c = 3, d =6 ,则一=46工 23m = 1时，丰4 16 12 -13 -1丰462 1 _ 3 d4 16 1选项A错误,.选项B错误，.选项C错误,.a c a ca bm c dm一 =一一+m=+m =b d b db d选项D正确120120 3.若原计划x天生厂化肥120吨，则日广量为： 吨，而增广后的日广重为：（+3）xx吨（1）实际生产天数为（x 2 ）天；则增产后的日产量为 （3+3）吨（2）,

25、则依题x一,120120 .一 人意有：*匕=120+3,所以选项D正确。x -2xabc4.y= _ ,x= 一,z =一xzyxy = a (1)xz =b (2) yz =c (3)由(1) X ( 2) X ( 3)得：x2y2z2 = abc (4). abcw0，xyzw02o bc由（4） +可得：z2 = 一； a由（4） + （2）2 可得：y2 =变； b由（4） + （3）2可得：x2 =ab; c2 22 22 ,2222 bcacabbcac abx y z 二一 一 一二a b cabc，选项D正确5.酒精体积与水体积之比是P1p： 1的瓶子容积为1 ,其中所装纯酒

26、精为 ,水为；1P 1 p酒精体积与水体积之比是q：1的瓶子容积为1,其中所装纯酒精为 一q,水为。当1 q 1 q两瓶混合所含纯酒精为（一p+q）,水为（L+L）所以酒精和水的体积之比1 p 1 q1 p 1 q11 p q 2 pq+=1 p 1 q p q 2、填空题1. x w 0, xw ± 1;2. >3. m =-;24. 0;5. 4、 6、 8、 10提示：1.只有当:时，原分式才有意义;1Jx - 0 0x二01 x1x fxx =0，解得：x ¥ ±1时，原分式有意义。X 二-12.解法1:两数作差：23199912320001c-20

27、00-“2001-231231234000 - 231999 - 232001 1-(234000 2 2320001)一(232000 - 1)(232001 - 1)_ 231999 (1 232 一2 23)一 (232000 1)(232001 1)199923483-=> 0(23 00 1)(23 01 1)231999 1232000 12000200123123 01 , 1解法2:两数作商也可得：3.解:x(x -1) - (m 1) _ x (x -1)(m -1) mx m 1 x-=m -1 (x -1)(m -1) mx _ m 1(m -1)m (x -1)(

28、m -1)x m 12-. m T w0= x -x -m(m +1) = 0m x -12111 21x x 二 m(m 1) (x ) = m(m 1)44241_,原方程的根相等，则 m(m 1)041、2-1 .1 . ,一 (x十一)=0 m = 一一时，x =时，原方程只有一个根2224.若 a + b + c =0,贝U a + b = - c, b + c = - a, a + c = - b111111a(1 1) b(1 1) c(1)bccaabb c a c a b二 abcbc ac ab-a,-b-c=abcbcacab333a b c abca3 b3 c3 -3

29、abc2. 22.、二(a b c)(a b c - ab-ac - bc)，当 a + b + c = 0 时，a3+b3+c3 _3abc=oa3 b3 c3 = 3abc.,原式=-3 + 3=02x2 -9x -325.x -7_ 2,_ 2x -14x 5x -35 3x - 72x(x -7) 5(x -7) 3一x -7=2x 5 3x -7x为整数，所以2x + 5为整数3所以只要 为整数即可，所以 x - 7整除3即可。 x -7而 3=1 X 3= (-1) X ( -3) 所以 x - 7 = ±1 或 x - 7 = ±3.所以x = 8或x = 6

30、或x = 10或x = 4时原分式的值为整数。三、解答题1.化简(1)解： 32原式=x.xy-1xy(x - y)八x2(x -y) y2(x- y) x2(x-y) y2(x-y),、23/xy(x y)x y y 1-27'2-72-'2-Tx (x y) y (x y) y (y -x) x (y -x)22、(x y)(x -xy y )2 ,x (x y) y(x y),322322xy(x xy 1)xy(x y y 1) x xy y2272/222(x y )(x - y)(x y ) (x y )(x y )(y - x) x y2222xyx (x- y)

31、 y (x - y) x -xy y=22222(x-y)(x y )x yx2x(x a)a11(x a)(x 2a) x a x 2a，a11一 一,(x2a)(x3a)xax 2aa _11(x3a)(x4a)x3a x 4a，原式11111二一(一一)一(a x x a a x a-( -) 1(x 2a a x 2a x 3a a x 3ax 4a1 11一 (一a x x 4a4x(x a)b2 -bc c2 a2 - 3bc(3)原式=(+)ab c2(b c)bC (a b c)2 a b cabcb2 -bc c2=(aa2 -3bc, 2(b +c)aabc2(a b c)

32、_22_2_ 2(b c)(b - bc c ) , 2a(a -3bc)abcabc(a b c)23332b 2c 2a -6abc /,2=(a b c)a b c_ 2(a3 b3 c3 -3abc) (a b c)3a b c2.2232(a b c)(a b c - ab - ac - bc) (a b c)a b c_2_2_2_222_ (a b c)(2a 2b 2c - 2ab-2ac - 2bc a b ca b c22. 2 ,_ (a b c)(3a 3b 3c ) a b c= 3a2 3b2 3c22ab 2ac 2bc)(4)111(x-1)(x-2)x -2x

33、 -111_1(x -2)(x -3) - x 3 x -211(x -n)x -(n 1)x -(n 1),1.原式=x -2二 1 x -1 x -3 x -2 x - (n 1) x - n1 _ 1x - (n 1) x -1n(x -1)x-(n 1)2.证明以下各式(1)证法1:abc=1，左边abcab a abcbc b 1 ac c 1_ bc1abcb 1 bc bc b 1 ac c abc1 bcab1 b bc a 1 ab1 bc ab = r 1 b bc a abc ab1 bc b= r 1 b bc 1 bc b-1=右边所以等式成立。证法2:abc=111

34、,11- c =，ac = - ,bc = 一 ab b a,111，左边=- -ab a 1 bc b c ac c 1111+ ab a 1111db 11abab1ab a 1+1 ab aab+a 1 ab1 a ab1 a ab二1=右边等式成立。(2) a + b + c = 0a = - (b + c), b = -(a + c), c = - (a + b)，原式左边111222222222b a -c b c -a c a -b111二22222 '22(b a ) - (a b) (b c ) - (b c) c a - (a c)=112bc 2ac 2ab_ a

35、 b c 2abc=0=右边 即等式成立。(3) - +丫 +- =1 a b c. (1)2 得：(x+?+Z)2 =1； a b c又丁 a b c =0(2)x y z，由(2)式得：ayz bxz cxy =0xyz.等式左边=C r 二)2_2户型巧=1 .2 cxy bxzayza b c abacbcabc=1=右边所以等式成立。 =by +cz -(1)(4) y = cz +axi(2) z = ax + by -(3)(4)由(1) + (2) x ( 3)得：(x + y + z ) = 2ax + 2by + 2cz 由(4) - (1) X2 得：y + z i =

36、2ax;由(4) - (2) X2 得：x + z - y = 2by;由(4) - (2) X2 得：x + y - z = 2cz;x + y + z = 2(1+a)x =2(1 + b )y = 2(1 +c )z令x + y + z w 0,，(1 +a )x w 0, (1 + b )yw 0, (1 + c )z w 0.1 2x =1 a x y z _ 丫 z-x a -2x1 _ y z-x1 a x y z同理：=x-y,=x-z1 b x y z 1 c x y z1 b c yz-xxz-yxy-z +十=11 a 1 b 1 cx y z3. (1)将下列各题分解为

37、部分分式:x -5 A B (2A B)x-(A-B)设=+ =(x 1)(2x 7) x 1 2x-1 (x 1)(2x-1)1 .2A+B=1 且 B-A=5. .A=2, B=-3, x -5 2_ _ 3(x 1)(2x -1) x 1 2x -16x2 16x 18 A B C = r r (x 1)(x 2)(x 3) x 1 x 2 x 3A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3)_ 2(A B C) (5A 4B 3C)x 6A 3B 2c(x 1)(x 2)(x 3)，A+B+C=6 且 5A+4B+3c=16 且

38、6A+3B+2c=18。，A=4, B=-10 , C=12一， 41012.一，.,原式=0 + (当A、B、C的值也可用x的特殊值来求)x2 2(x-1)3x 1 x 2 x 3ABC2 3x -1 (x-1)2 (x-1)32_ A(x -1) B(x -1) C二 (x-1)3.2Ax - 2Ax Bx A - B C二(x-1)3_ Ax2 (B -2A)x A - B C一(x-1)32 .A=1 , B-2A=0 , A-B+C=2B=2 , C=34.(1)证明：: a2 -2ab +b2=(a-b)2 >0a2 +b2之2ab (当a=b时取等号)2c 3 a b. x

39、 > 0时，若a = x, b =工，则x + 1 >2 (当x = 1且x >0时取等号) xxx2a 2b+b c c a2a b e 2b a c 2c a bb c c a a bacbcabacbc+上一-+上一-+-一- +- +-l (1)bcacacababa b一bc,. a > 0, b > 0 ,c > 0,a-> 0 且c > 0b c a b,abbc 2 a bac?acbc ?bcaba cabbcac. ( 1) > 6 (当a = b = c时取等号)，原不等式：-2三- -2b- -c- 3 b c a

40、c a b 2a-1 2a -11(2)当a加时，有： =2 ./a > 1且a为整数baa1 2a -1，2-1即仝非整数，与已知矛盾a b所以a不等于b,不妨设a > b设 2a -1 =x, 2b -1 =y, 且 x,y 均为正整数且 x > y,2a -1 = bx, 2b T = ay(4 -xy )a = x + 2, a > 1 , x > 1 且 a,x 均为整数,.-4 - xy必是正整数，- xy = 3 或 xy = 2 或 xy =1当xy = 3时，解得:当xy = 2时，解得:a =23 (不合题意) b =一2当xy =1时，不合题

41、意舍-a + 2b = 115.解：设甲单独完成全部工程所需天数为 x天，乙单独完成全部工程所需天数为 y天，丙 单独完成全部工程所需天数为 z天，丁单独完成全部工程所需天数为 m天，戊单独完成全 部工程需n天，则依题意得：1+ y1-二(2)zn5111-二(3)zm6由(1) + (2)11_ 1(4)得：3() 2(-11+ +=14 (4)把（4）代入（5）得:11r 二z 122则31111.1 x y z m n=2即五人同时工作2天可以完成工作的九年级数学竞赛专题第六讲对称变换1 .如图， ABC中，AE平分/ BAC的外角,则m+n与b+c的大小关系是（）D 为 AE上一点，若

42、 AB=g AC=b DB=m DC=nA. m + n > b + c ; BC. m + n < b + c ; D,C砰分/ ACB P为AB中点，则下列各式中正2.如图， ABC中，/A=2/B, /Cw 72确的是（）A. AD=BC-CD; B . AD=BC-AC; C .二、解答题1.在定直线XY异侧有两点A、B,在直线AD=BC-AP; D . AD=BC-BDXY上求作一点P,使PA与PB之差最大。2 .如图，已知线段 AB的同侧有两点 C、D满足/ ACB=/ ADB=60 , / ABD=90 - ° / DBC2求证：AC=AD.4.如图，已知

43、P是4ABC边BC上一点，且 求证：/ ACB的大小。PC=2PB 若/ ABC=45 , / APC=60 ,3.如图，已知 ABC中，AB=AC Z A=10O° , B叶分/ ABC,求证：BC=BD+AD.5.如图，已知 ABC中，AB=AC D是 ABC外一点且/求证：AC=BD+CD.二 BPCABD=60 , / ADB=90 - - / BDC 2A ,A c6 . 4ABC中，已知/ BAC=15 , AD平分/ BAG过A作DA的垂线交直线 BC于 M若BM=AC+BA 求证：/ ABG / ACB的度数。7 .已知：等边凸六边形 ABGDE冲，顶角/ A、/ G

44、、/ E与/ B、/ D / F的和相等，即/ A+Z G+Z E=Z B+Z D+Z F。求证：/ A=Z D, / B=Z E, / G=Z F。8 .已知，如图，设/ MON=20 , A 为 OM上一点，OA=4，3 , D 为 ON上一点，OD=s/3 , G为A由任一点，B是OD上任意一点。求：折线 ABGD勺长度的最小值。答案1 . A2 . B 略解：1.在AM上截取 AC=AC,连结 DC,如图，易证 AD隼 AD C所以DC=D C因为 BA + A C '< BD+D C'所以 AB + AC < BD + DC即 m + n > b +

45、 c ,故选 A.2,因为/ A=2/ B所以/A> ZB所以BC > AC在BC上截取 CA=CA 连结 D A'（如图），易证 ACN AC' D所以 AD= A'D,且/ 1 = /A=2/ B又/ 1 = / B+/2所以/ B=/2所以 A'B= A ' D=AD所以 BC= A'C+ A'B = AC + AD所以AD = BC - AC符合（B）注意至U:若 AD=BC-CD 则 CD=BC-AD= Ac=AC此时/ CD A' =/ CDA=/ A=2/ B所以/ AD A'=4/ B又/ AD

46、 A+/2=4/B + Z B = 180所以/ B = 36 °所以/ C = 72 °与已知矛盾，故 A排除，易证 BD > B A = AD,所以PB < BD, PA > AD 所以 AD < BC - AP,排除 C, AD > BC - BD,排除 D1 .作法：作点B关于直线XY的对称点B ,作直线A B交XYB于p点，则点p为所求点（如图）若 b'a/ xy（即b'、a到L" /Pj*i直线XY的距离相等），则点P不存在。1一Y证明：连结BP,在XY上任意取点P',连结p'a、p'

47、;b,则PB=PB,；P' B= P'B因为 | P 'B - P 'A | = | P 'B'-P 'A| < AB '= | P 'B - PA| = |PB - PA| ,所以，此时点P使|PA - PB|最大2 .略证：以 AB 为轴作 ABC的对称 ABC ,贝U AC=A C' , / C=/ C=60° , Z ABC = Z ABC如图因为/ ABD=90 - 1 ZDBC所以 2/ ABD吆 DBC=180所以/ ABD吆 DBC吆 ABD=180即/ ABC吆 ABD=180所以

48、/ ABC + Z ABD=180所以口 R C共线工又因为/ D=60°所以/ DAC=180 - / C - / D=60° =/ D=Z C'所以 AD C'是等边三角形，所以 AD=A C' =AC3 .法 1 :DF （如图）在BC上截取 BE=BA BF=BD连结易证 AB¥ EBD所以 DE=DA 且 / DEBh A=100°所以/ 1=80°因为 AB=AC / A=100°所以/ ABC=z C=40°又BD平分/ ABC 所以/ 4= Z 3=20 由 BD=BF得：/ 2=/

49、BDF=80 所以/ 1 = /2,所以DE=DF 又因为/ BDC=A+/4=120°所以/ 5=40° =/C,所以 CF=DF 所以 CF=DE=DA 所以 BC=BF+FC=DB+AD法2:在BC上截取BE=BA延长BD到F使BF=BC连结 DE CF (如图) 易证 AB¥ EBD所以/ DEB=/ A=100° ,所以/ DEC=80易求/ 1 = 7 2=20° , / 3=40°因为 BC=BF / 2=20° ,所以/ F=/FCB=80 =/DEC所以/ 4=80° - / 3= 40 

50、6; =/ 3又 DC=DC 所HA DC监 DCF (AAS所以 DF=DE=AD所以 BC=BF=BD+DF=BD+AD法3:在BD上截取 BE=BA在BC上截取 BF=BD连结EF、DF （如图，相当于将 ABD绕B点旋转20° )易证 AB¥ EBF ( SAS所以 AD=EF / BEF=/ A=100°所以/ DEF=80 ,易求/ 2=20° , / C=40° , ZBDC=120因为 BD=BF 所以/ BDF=80° =/ DEF所以 DF=EF且/ 3=40° =/C所以DF=FC所以 BC=BF+FC=BD+DF=BD+EF=BD+AD4 .作C关于AP的对称点 C',连结 A C'、B C