不等式的证明2

1、历史文化名城历史文化名城 镇远 镇远中学数学组 任瀚 -4x2-8x-5=-4(x+ )2-x2-3x+3=(x- )2+2。aba-b 0 a 00填空：1。a3b2+a2b3 a5+b5 a3b2+a2b3即即 (a5+b5)(a3b2+a2b3） 0 (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) 0 (a-b)2 0 又又 a b a+b 0， a2+ab+b2 0 a，b R+ =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2） =(a2-b2)(a3-b3) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2) =(a5-a3b2)-(a2b3-b5)证明证明:(a5+b5)(a3b2+a2b3)1、作

2、差、作差3判判断断2、变形、变形课堂练习： 1。求证：(x-3)2 (x-2)(x-3) 2。已知：ab 求证：a2+3b2 2b(a+b） 3。已知：a，bR+，且ab 求证：a4+b4 a3b+ab3 证明： （a-2）2 0 即 -（a-2）2 0 a2例例3。已知：。已知：a 2，求证求证1442aa2222244444144aaaxaaa14401440422222aaaaaa即 练习1、证明：(x-3)2(x-2)(x-4) =(x2-6x+9)(x2-6x+8) =10 (x-3)2 (x-2)(x-3)练习2、证明: (a2+3b2)2b(a+b） =a2+3b2-2ab-2b

3、2 =a2-2ab+b2 =(a-b)2 ab （a-b)2 0 a2+3b2 2b(a+b） 练习3、证明:(a4+b4)-(a3b+ab3) =(a4-a3b)(ab3-b4) =a3(a-b)b3(a-b) =(a-b)(a3-b3) a4+b4 a3b+ab3 (a-b)2(a2+ab+b2） 0 a2+ab+b2 0又 a，bR+ （a-b）20 ab=(a-b)2(a2+ab+b2) 请思考请思考： “a，bR+” 这个条件能否去掉？解： 43422222bbabababa43222bbaa、b不同时为0004322222bababba 问题（1）：如果x2+a3x对于x取一切实数

4、 都成立，a的取值范围是什么？ 通过学习例1：对x2+33x。你会不会变其中的数字系数为字母，提出一个新的数学问题？问题（2）：如果x2+3ax对于x取一切实数 都成立，a的取值范围是什么？问题（3）：如果x2+abx对于x取一切实数 都成立，a、 b间的关系是什么？问题（4）：如果ax2+3bx对于x取一切实数 都成立， a、 b间的关系是什么？问题（1）解答 解法1：由例1可得 axxax493232204923, 0492axa则只要都成立对于取一切实数时当即xxaxaa3,49492 问题（2）解答 解法解法2：即即 x x2 2-ax+30-ax+30的解集为的解集为R R 0 0

5、=a=a2 2-4-4 3 03 0，即，即a a2 2-12-12 0 0 解这个不等式，得解这个不等式，得 3232a 问题（问题（3 3）解答）解答 解法解法1 1：由题得：由题得 b2-4a0的解集为：Ra=b=0；或a0时，b2-12a0；或a0问题4解法2 例3、若ab 0，比较aabb与abba的大小 解： 即 aabb abba 0 aabb abba解法2：01 baba 11baababbaababbababababababa由10, 10 bababababa01 baabbababaabbaabbabababa , 010, 10 bababababaabbaabbab

6、abababa 1即即小结比较法 证明方法 说明差比较法 欲证欲证AB，只要证，只要证A-B0即可；即可； 欲证欲证AB，只要证，只要证A-B 0，欲证欲证AB，只要，只要证证A/B 1； 欲证欲证AB，只要证，只要证A/B b，只要证，只要证a-b0即可；欲证即可；欲证ab，只要证只要证a-b 0，欲证欲证AB，只要证，只要证 欲证欲证AB，只要证，只要证基本步骤：基本步骤： 求商求商变形变形判断判断（大于或小于（大于或小于1） 一般而言，不等式两边是指数式或能使分子、分一般而言，不等式两边是指数式或能使分子、分母变形得到相同结果的不等式，母变形得到相同结果的不等式，用作商比较法用作商比较法较较为容易，某些三角不等式，用作商比较法来证显为容易，某些三角不等式，用作商比较法来证显得简单，得简单，1BA1BA 证明函数证明函数f f（x x）=3x+2=3x+2在在R R上是增函数上是增函数证明：设证明：设x x1 1，x x2 2是是R R上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x x1 1xx2 2，则则 f f（x x1 1）-f -f（x x2 2）= =（3x3x1 1+2+2）- -（3x3x2 2+2+2） =3=3（x x1 1-x-x2 2） 由由 x x1 1xx2 2，得得 x x1 1-x-x2 2 0 0， 于是于是 f f