第四构件基本变形的分析

1、 通过本单元的学习，了解有关构件基通过本单元的学习，了解有关构件基 本变形的概念及形式，明确求解构件在各本变形的概念及形式，明确求解构件在各 种基本变形状态下的内力和应力，掌握强种基本变形状态下的内力和应力，掌握强 度条件和刚度条件的公式，并能应用其解度条件和刚度条件的公式，并能应用其解 决简单的工程问题。决简单的工程问题。 学习目标学习目标 任何物体受载荷（外力）作用后其内部质任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都将产生相对运动，从而导致物体的形状和点都将产生相对运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为尺寸发生变化，称为变形变形。 例如，橡皮筋在两端受拉后就发生伸长变例如，橡皮筋在两端

2、受拉后就发生伸长变形；工厂车间中吊车梁在吊车工作时，梁轴线形；工厂车间中吊车梁在吊车工作时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。在外力的作用下会由直变弯，发生弯曲变形。在外力的作用下会产生变形的物体可统称为产生变形的物体可统称为变形固体变形固体。 变形固体在外力的作用下会产生两种不变形固体在外力的作用下会产生两种不同的变形：同的变形： 当外力消除后，变形也会随着消失，这当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为种变形称为弹性变形弹性变形； 外力消除后，变形不能完全消除并且具外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形，称为有残留的变形，称为塑性变形塑性变形。 当物体的外力在一定的范围时，塑性变当

3、物体的外力在一定的范围时，塑性变形很小，可以把构件当作只发生弹性变形的形很小，可以把构件当作只发生弹性变形的理想弹性变形体。理想弹性变形体。 假设弹性体内连续不断地充满着物质，各假设弹性体内连续不断地充满着物质，各点处的材料性质完全相同，且各方向上的性点处的材料性质完全相同，且各方向上的性质都相同。这就是变形固体的基本假设。质都相同。这就是变形固体的基本假设。即本单元研究的对象为构件本单元研究的对象为构件是均匀连续的、各向同性的是均匀连续的、各向同性的理想弹性体，限于小变形的理想弹性体，限于小变形的范围内。范围内。 杆件在各种不同方式的外力作用下产生杆件在各种不同方式的外力作用下产生不同形式的

4、变形。变形的基本形式有四种：不同形式的变形。变形的基本形式有四种： 轴向拉伸（压缩）变形轴向拉伸（压缩）变形 剪切（挤压）变形剪切（挤压）变形 扭转变形扭转变形 弯曲变形弯曲变形 工程实际中，机械设备在工作时，每个工程实际中，机械设备在工作时，每个构件都要承受一定的载荷（外力）作用，它构件都要承受一定的载荷（外力）作用，它们的尺寸和形状都会发生变化，并在载荷增们的尺寸和形状都会发生变化，并在载荷增加到一定程度时发生破坏。为了保证机械设加到一定程度时发生破坏。为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠地工作，必须要备在载荷作用下能安全可靠地工作，必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简求每个构件

5、具有足够的承受载荷的能力，简称称承载能力承载能力。 构件的承载能力分为：构件的承载能力分为： 强度、刚度、稳定性。强度、刚度、稳定性。 构件抵抗破坏的能力。构件抵抗破坏的能力。 构件在外力作用下不破坏必须具有足够构件在外力作用下不破坏必须具有足够的强度，例如房屋大梁、机器中的传动轴不的强度，例如房屋大梁、机器中的传动轴不能断裂，压力容器不能爆破等。能断裂，压力容器不能爆破等。强度要求是对构强度要求是对构件的最基本要求。件的最基本要求。 构件抵抗变形的能力。构件抵抗变形的能力。 在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若受力后变形过大，即刚度不够，也会影响正常工

6、受力后变形过大，即刚度不够，也会影响正常工作。例如机床主轴变形过大，将影响加工精度；作。例如机床主轴变形过大，将影响加工精度；吊车梁变形过大，吊车行驶时会产生较大振动，吊车梁变形过大，吊车行驶时会产生较大振动，使行驶不平稳，有时还会产生使行驶不平稳，有时还会产生“爬坡爬坡”现象，需要现象，需要更大的驱动力。因此对这类构件要保证有足够的更大的驱动力。因此对这类构件要保证有足够的刚度。刚度。 构件受载后保持原有平衡状态的能力。构件受载后保持原有平衡状态的能力。 例如千斤顶的螺杆，内燃机的连杆等。例如千斤顶的螺杆，内燃机的连杆等。本单元主要研究构件在载荷本单元主要研究构件在载荷（外力）作用下的变形、

7、受（外力）作用下的变形、受力与破坏的规律，在保证构力与破坏的规律，在保证构件既安全适用又尽可能经济件既安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件选择合理的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸提供必要的基面形状和尺寸提供必要的基础知识和实用的计算方法。础知识和实用的计算方法。 构件上的载荷和约束力统称为构件上的载荷和约束力统称为外力外力。 构件在外力作用下，由于变形引起的内部相构件在外力作用下，由于变形引起的内部相互作用力的改变量，称为附加力，简称内力。互作用力的改变量，称为附加力，简称内力。 根据材料的基本假设，内力在截面上连续分根据材料的基本假设，内力

8、在截面上连续分布，组成一个分布内力系，通常内力是指该分布布，组成一个分布内力系，通常内力是指该分布力系的合力或合力偶。构件的内力随外力增加而力系的合力或合力偶。构件的内力随外力增加而增大，当增大到某一限度时，构件将发生破坏。增大，当增大到某一限度时，构件将发生破坏。内力与构件的强度内力与构件的强度密切相关，内力分密切相关，内力分析和计算是本单元析和计算是本单元的重要内容。的重要内容。 求解内力的基本方法是截面法。求解内力的基本方法是截面法。 如图如图4-4a所示的杆在一对外力所示的杆在一对外力F的作用下的作用下处于平衡状态，外力处于平衡状态，外力F的作用线与杆的轴线重的作用线与杆的轴线重合，求

9、某一截面合，求某一截面nn上的内力。上的内力。图图4-4 假想用一平面在假想用一平面在n-nn-n处将杆截开，分成左右两处将杆截开，分成左右两段，取左（右）段为研究对象，用分布内力的合段，取左（右）段为研究对象，用分布内力的合力力F FN N来代替右（左）段对左（右）段的作用。来代替右（左）段对左（右）段的作用。 由于杆件原来处于平衡状态，故截开后的两段由于杆件原来处于平衡状态，故截开后的两段也应处于平衡状态。也应处于平衡状态。 由平衡方程由平衡方程左左右右FFFFFNNX001、截：在欲求处假想用截面将构件截成两段。、截：在欲求处假想用截面将构件截成两段。2、取：取其中任意一段为研究对象。、

10、取：取其中任意一段为研究对象。3、代：用作用于截面上的内力，代替切去部、代：用作用于截面上的内力，代替切去部 分对留下部分的作用力。分对留下部分的作用力。4、平：对研究对象列平衡方程，由外力确定、平：对研究对象列平衡方程，由外力确定 该截面的内力。该截面的内力。截面法求内力的步骤截面法求内力的步骤 知道内力还无法判断构件的强度。例如知道内力还无法判断构件的强度。例如用相同的力拉材料相同、粗细不等的杆，随着用相同的力拉材料相同、粗细不等的杆，随着拉力的增加，虽然两者的内力相同，但细杆首拉力的增加，虽然两者的内力相同，但细杆首先被拉断。先被拉断。 说明构件的强说明构件的强度不仅与内力有度不仅与内力

11、有关，而且与横截关，而且与横截面面积有关面面积有关 截面上某一点内力分布的集度称为应力。截面上某一点内力分布的集度称为应力。 应力是一个矢量。应力是一个矢量。 应力分为：应力分为： 正应力正应力（垂直于截面的应力）（垂直于截面的应力） 切应力切应力（切于截面的应力）（切于截面的应力） 应力的量纲应力的量纲 ： 力力/ 长度长度 2 单位：单位： N/m N/m 2 2 (Pa) (Pa) MN/mm MN/mm 2 2 (MPa)(MPa) 1MPa = 10 1MPa = 10 6 6 Pa Pa 1GPa = 10 1GPa = 10 3 3 MPaMPa 工程实际中，有许多杆件承受外力作

12、用工程实际中，有许多杆件承受外力作用而产生轴向拉伸或压缩变形。而产生轴向拉伸或压缩变形。 例如，图例如，图4-5a所示内燃机中的连杆、所示内燃机中的连杆、 图图4-5b所示托架的拉杆和压杆、所示托架的拉杆和压杆、 图图4-5c所示连接螺栓等均为二力杆。所示连接螺栓等均为二力杆。图图4-5 虽然这些杆件的结构形式各有差异、加虽然这些杆件的结构形式各有差异、加载方式各不相同，但它们都可看作是直杆，载方式各不相同，但它们都可看作是直杆，可简化成如图可简化成如图4-6所示的计算简图。所示的计算简图。图4-6 杆件的受力特点：杆件的受力特点： 作用于杆件两端的外力（或外力的合力）作用于杆件两端的外力（或

13、外力的合力）大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合。该作用力称为重合。该作用力称为“轴向力轴向力”。拉伸或压缩变形特点：拉伸或压缩变形特点： 杆件沿轴线方向伸长或缩短。杆件沿轴线方向伸长或缩短。 轴向拉（压）杆的内力称为轴向拉（压）杆的内力称为轴力轴力，用符号用符号FN表示，单位是表示，单位是N（牛顿），方（牛顿），方向与轴线重合。轴力的正负由杆件的变向与轴线重合。轴力的正负由杆件的变形确定。形确定。 求轴力时采用截面法。求轴力时采用截面法。 规定：当轴力方向背离截面时，杆受规定：当轴力方向背离截面时，杆受拉，轴力为正，如图拉，轴力为正，如图4-7a所示；

14、所示； 当轴力方向指向截面时，杆受压，轴当轴力方向指向截面时，杆受压，轴力为负，如图力为负，如图4-7b所示。所示。（a） （b） 图4-7 为了形象直观地表明各截面轴力的变化为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘制成轴力图。情况，通常将其绘制成轴力图。 作法是：以杆的左端为坐标原点，取平作法是：以杆的左端为坐标原点，取平行于轴线的行于轴线的轴为横坐标轴，其值表示各横轴为横坐标轴，其值表示各横截面位置，取垂直于截面位置，取垂直于轴的轴的FN为纵坐标轴，为纵坐标轴，其值表示对应截面的轴力值，正值画在其值表示对应截面的轴力值，正值画在轴轴上方，负值画在上方，负值画在轴下方。轴下方。例例

15、4-1 如图如图4-8a所示的等截面直杆，受轴所示的等截面直杆，受轴 向力向力F1=30KN F2=20KN F3=10KN 求杆件求杆件1-1、2-2、3-3截面的轴力，截面的轴力， 并画出轴力图。并画出轴力图。图图4-8112233解：（解：（1）外力分析）外力分析 解除约束，画杆的受力图，如图解除约束，画杆的受力图，如图b所所 示。求左段的约束力示。求左段的约束力FR。根据平衡方程。根据平衡方程 Fx = 0 FRF1F2F3 = 0 FR=F1F2F3 =（302010）KN = 40KN（2）内力分析）内力分析 应用截面法计算各应用截面法计算各截面上的轴力。截面上的轴力。1-1截面上

16、的轴力：截面上的轴力： 沿截面沿截面1-1将杆件截成将杆件截成两段，取左段为研究对两段，取左段为研究对象，用轴力象，用轴力FN1代替右代替右段对左段杆的作用。由段对左段杆的作用。由左段的平衡方程左段的平衡方程Fx = 0 FR F N1 = 0FN1 = FR = 40KN (杆受拉杆受拉)左段左段2-2截面上的轴力：沿截面上的轴力：沿截面截面2-2将杆件截成将杆件截成两段，求得轴力两段，求得轴力FN2 Fx = 0 FN2 - F2 + F3 = 0 FN2 = F2 - F3 = 20 - 10 = 10KN （杆受拉）（杆受拉）右段右段3-3截面上的轴力：截面上的轴力： 沿截面沿截面3-

17、3将杆将杆件截成两段，求得件截成两段，求得轴力轴力FN3 Fx = 0 FN3+ F3 = 0 FN3= - F3 = -10KN （杆受压）（杆受压）右段右段（3）画轴力图。）画轴力图。XY40KN10KN-10KN 研究拉（压）杆横截面上应力主要研究拉（压）杆横截面上应力主要从以下方面讨论从以下方面讨论 ：1、应力的类型、应力的类型2、应力的分布、应力的分布3、应力大小的计算、应力大小的计算研究应力的方法：观察拉（压）杆的变形研究应力的方法：观察拉（压）杆的变形变形前变形前变形后变形后 取一等截面直杆，试验前取一等截面直杆，试验前在杆件表面画上与杆轴线垂在杆件表面画上与杆轴线垂直的直线直的

18、直线ab、cd 杆的两端作用一对轴向拉力杆的两端作用一对轴向拉力F使杆件产生拉伸变形。此时使杆件产生拉伸变形。此时可以观察到直线可以观察到直线ab和和cd分别分别平移到平移到ab和和cd位置，且仍位置，且仍垂直于杆件的轴线。垂直于杆件的轴线。 拉（压）杆变形前后，其横截面始终保持平拉（压）杆变形前后，其横截面始终保持平面且与轴线垂直。面且与轴线垂直。 根据变形的现象可知，拉杆变形时两横截根据变形的现象可知，拉杆变形时两横截面面 做相对平移，其间的所有纵向线段的伸长变做相对平移，其间的所有纵向线段的伸长变形都相同。形都相同。平面假设平面假设提出提出 假设拉（压）杆的材料是均匀连续的，再由平假设拉

19、（压）杆的材料是均匀连续的，再由平面假设推出拉杆横截面上的应力是均匀分布的，面假设推出拉杆横截面上的应力是均匀分布的，且横截面上各点的应大小都是相等的，方向垂直且横截面上各点的应大小都是相等的，方向垂直于横截面。于横截面。拉（压）杆横截面上只存在正应力拉（压）杆横截面上只存在正应力结论结论拉（压）杆横截面上正应力分布图拉（压）杆横截面上正应力分布图FNF轴力轴力外力外力正应力正应力 正应力的方向与横截面上正应力的方向与横截面上 的内力（轴力）的方向相同的内力（轴力）的方向相同注意注意拉（压）杆横截面正应力的计算公式为：拉（压）杆横截面正应力的计算公式为： 式中：式中：为横截面上的正应力，单位是

20、为横截面上的正应力，单位是MPa FN 为横截面上的轴力，单位为是为横截面上的轴力，单位为是N A为横截面面积，单位是为横截面面积，单位是mm2 AFNAFN正应力正应力符号规定：符号规定： 拉应力为正拉应力为正 压应力为负。压应力为负。例例4-2 如图如图4-10所示杆件，在所示杆件，在A、B处分别受力处分别受力 F1=50KN，F2=140KN，其横截面面积分，其横截面面积分 别为别为A1=500mm2，A2=1000mm2，试求，试求 横截面上的最大正应力。横截面上的最大正应力。 图图4-10解：（解：（1）计算外力（设约束反力）计算外力（设约束反力FR）如图）如图Fx = 0 - FR

21、 - F1 +F2 = 0 FR = - F1 + F2 = - 50 + 140 = 90KN （FR方向是正确的）方向是正确的）FRX1-1截面上的轴力截面上的轴力 FN1= - F 1 = - 50KN （杆受压）（杆受压）2-2截面上的轴力截面上的轴力 FN2= FR = 90KN ( (杆受拉杆受拉) )XY90KN-50KN（2）计算各截面上的轴力并画出轴力图）计算各截面上的轴力并画出轴力图FR（3）计算正应力）计算正应力 aNMPmmNAF100500105023111aNMPmmNAF901000109023222(压应力压应力)(拉应力拉应力)拉（压）杆的强度条件为拉（压）杆

22、的强度条件为 为了保证拉（压）杆具有足够的强度，能够安全为了保证拉（压）杆具有足够的强度，能够安全耐久地工作，必须使杆件最大工作应力不超过材料耐久地工作，必须使杆件最大工作应力不超过材料的许用应力的许用应力 。F FN N 和和A A分别为危险截面的轴力和横截面积。分别为危险截面的轴力和横截面积。 材料的许用应力是构件在安全正常工作时所允许材料的许用应力是构件在安全正常工作时所允许 承受的最大应力。承受的最大应力。 AFN 变截面杆的危险截变截面杆的危险截面须综合考虑面须综合考虑FN 、A对工作应力的影响来对工作应力的影响来确定。确定。危险截面的确定危险截面的确定 等截面直杆的危等截面直杆的危

23、险截面位于轴力最险截面位于轴力最大处。大处。1、强度校核强度校核 已知构件所承担的载荷，构件已知构件所承担的载荷，构件 的截面尺寸和材料的许用应力。的截面尺寸和材料的许用应力。强度条件的应用强度条件的应用 强度足够强度足够 强度不够强度不够2、设计截面设计截面 已知构件所承担的载荷和材已知构件所承担的载荷和材 料的许用应力。料的许用应力。3、确定许可载荷确定许可载荷 已知构件截面尺寸和许用已知构件截面尺寸和许用 应力。应力。NFA AFN例例4-3 如图如图4-11a所示，三角所示，三角架由架由AB与与BC两根材料相同两根材料相同的圆形截面杆铰链连接成，的圆形截面杆铰链连接成，材料的许用应力材

24、料的许用应力 =100MPa。 作用于节点作用于节点B的载荷的载荷 F=40KN， AB杆的直径为杆的直径为 d AB=40mm， BC杆的直径为杆的直径为 d BC=20mm， 试校核试校核AB、BC杆的强度。杆的强度。图图4-11解：解：（1）确定）确定AB、BC杆的轴力。杆的轴力。 AB杆和杆和BC杆分别为轴杆分别为轴 向受拉和轴向受压的二力杆，向受拉和轴向受压的二力杆， 如图如图4-11b所示。所示。 图图4-11 用截面法截开用截面法截开AB杆及杆及BC杆，受力分析杆，受力分析如图如图4-11c所示。所示。 304-11CKNFFFFFNNy805.04030sin030sin011

25、KNFFFFFNNNNx28.69866.08030cos030cos02212AB杆强度：杆强度：BC杆强度：杆强度： 故故AB杆强度足够；杆强度足够；BC杆强度不够，需重新计。杆强度不够，需重新计。 MPaMPaFN6 .2202014. 31028.694d4AF232BC22N22max MPaMPaFN7 .634014.310804d4AF232AB11N11max（2）校核强度）校核强度（3）重新设计）重新设计BC杆的直径。由强度条件可知杆的直径。由强度条件可知 mmdddFABCBCBCN7.2910014.31028.6941001028.69432322 设直杆原长为设直杆

26、原长为l，直径为，直径为d。在轴向拉力。在轴向拉力（或压力）（或压力）F作用下，所产生的变形表现为轴作用下，所产生的变形表现为轴向尺寸的伸长（或缩短）以及径向尺寸的缩向尺寸的伸长（或缩短）以及径向尺寸的缩小（或增大）。变形后杆件的长度为小（或增大）。变形后杆件的长度为l1，直径，直径为为d1，如图，如图4-14所示。所示。图图4-14 轴向拉伸（或压缩）时，杆件长度的伸轴向拉伸（或压缩）时，杆件长度的伸长（或缩短）量，称为纵向绝对变形，以长（或缩短）量，称为纵向绝对变形，以l表示，即表示，即 l = l1l 拉伸时，拉伸时，l0；压缩时，；压缩时，l0。 绝对变形与杆件的原始长度有关，不能绝对

27、变形与杆件的原始长度有关，不能反映杆件的变形程度。为了度量杆件的变形反映杆件的变形程度。为了度量杆件的变形程度，需要计算单位长度内的变形量。单位程度，需要计算单位长度内的变形量。单位长度上的纵向变形称为长度上的纵向变形称为相对变形或线应变相对变形或线应变，以以表示，即表示，即ll 线应变是无量纲的量，其正负号规定线应变是无量纲的量，其正负号规定与绝对变形相同。与绝对变形相同。 实验表明，当杆的应力不超过某一限度实验表明，当杆的应力不超过某一限度时，杆件的绝对变形与轴向荷载成正比，与时，杆件的绝对变形与轴向荷载成正比，与杆件的长度成正比，与杆件横截面面积成反杆件的长度成正比，与杆件横截面面积成反

28、比。这一关系是英国科学家胡克在比。这一关系是英国科学家胡克在1678年发年发表的，故称为胡克定律，即表的，故称为胡克定律，即AFll 由于由于l还与材料的性能有关，引入与材还与材料的性能有关，引入与材料有关的比例常数料有关的比例常数E，则有，则有EAFll （4-3） 由于杆件只在两端受轴向荷载由于杆件只在两端受轴向荷载F，有，有FN=F，则，则 比例常数比例常数E称为称为弹性模量弹性模量。材料弹性模量越大，。材料弹性模量越大，则变形越小，所以则变形越小，所以E表示了材料抵抗拉伸或压缩变表示了材料抵抗拉伸或压缩变形的能力，是材料的刚度指标。对杆件来说，形的能力，是材料的刚度指标。对杆件来说，E

29、A值值越大，则杆件的绝对变形越大，则杆件的绝对变形l 越小，所以越小，所以EA称为杆称为杆件的件的抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度。EAlFlN 将将=FN/A，=l / l代入式（代入式（4-3）胡克定律又可表）胡克定律又可表示为示为 =E （4-4） 上式表明：当应力未超过某一极限时，应力与应上式表明：当应力未超过某一极限时，应力与应变成正比。由于变成正比。由于无量纲，故无量纲，故E的单位与的单位与的单位相同，的单位相同，常用常用GPa表示。表示。 1GPa = 101GPa = 103 3 MPaMPa = 10 = 109 9 PaPa。1、杆件的应力没有超过某一极限。、杆件的应力没有超过

30、某一极限。2、单向拉伸（或压缩）的情况。、单向拉伸（或压缩）的情况。3、在、在l长度内，长度内，FN、E、A均为常量。均为常量。胡克定律时适用范围：胡克定律时适用范围： 材料的拉伸和压缩试验是测定材料力学性能的基材料的拉伸和压缩试验是测定材料力学性能的基本试验，试验中的试件按国家标准（本试验，试验中的试件按国家标准（GB/T228-198）加工成如图加工成如图4-15所示的标准试件。所示的标准试件。 试验前，先在试件中间的等截面直杆部分取长试验前，先在试件中间的等截面直杆部分取长为为l的一段作为工作段，长度的一段作为工作段，长度l称为标距。对圆截面试称为标距。对圆截面试件，规定标距件，规定标距

31、l与横截面直径与横截面直径d的比例关系分别为：的比例关系分别为：l=10d和和l=5d。图图4-15 在常温静载下，把试在常温静载下，把试件安装在万能试验机上，件安装在万能试验机上，使它受到缓慢增加的拉力使它受到缓慢增加的拉力F的作用，直到试件被拉的作用，直到试件被拉断为止。断为止。低碳钢是在工程低碳钢是在工程中使用较广泛的中使用较广泛的一种塑性材料，一种塑性材料，在抗拉试验中表在抗拉试验中表现出来的力学性现出来的力学性能也最为典型。能也最为典型。 对应每一个拉力对应每一个拉力F试件试件l有一个伸长量有一个伸长量l。表示表示F和和L的关系的曲线称为拉伸图或的关系的曲线称为拉伸图或F-l线，线，

32、如图如图4-16所示。所示。图图4-16 为了消除试件尺寸的影响，将拉伸图的纵坐标为了消除试件尺寸的影响，将拉伸图的纵坐标F与横坐标与横坐标l分别除以试件原截面面积分别除以试件原截面面积A和原来的长度和原来的长度l，绘制出表示，绘制出表示与与的关系曲线称为应力应变图，如图的关系曲线称为应力应变图，如图4-17所示。所示。图图4-17 如图如图4-17所示，其中所示，其中oa段为斜直线，变形段为斜直线，变形为为弹性变形弹性变形，是胡克定律仅适用的一段。，是胡克定律仅适用的一段。E=/正是正是oa段的斜率。段的斜率。a点所对应的应力点所对应的应力用用p表示，称为比例极限。表示，称为比例极限。a到到

33、b之间不再是之间不再是直线关系，但解除拉力后变形可以完全消直线关系，但解除拉力后变形可以完全消失，还是弹性变形。失，还是弹性变形。b点所对应的应力点所对应的应力e表示表示材料只出现弹性变形的极限值，材料只出现弹性变形的极限值，e称为弹性称为弹性极限。极限。因为因为a点与点与b点的距离很近，工程上对点的距离很近，工程上对弹性极限与比例极限并不严格区分。弹性极限与比例极限并不严格区分。e eP P 当应力超过当应力超过b点时，材料产生点时，材料产生塑性变形塑性变形。应变有非常明显的增加，而应力有微小的应变有非常明显的增加，而应力有微小的波动。在波动。在-曲线上出现接近水平线的小曲线上出现接近水平线

34、的小锯齿形线段，如图锯齿形线段，如图4-17所示，这种应力基所示，这种应力基本保持不变，而应变显著增加的现象，称本保持不变，而应变显著增加的现象，称为材料的屈服。为材料的屈服。在屈服阶段内的最低应力在屈服阶段内的最低应力值值s，称为屈服点。，称为屈服点。由于材料在屈服阶段由于材料在屈服阶段产生产生塑性变形塑性变形，在机械工程中的大多数构，在机械工程中的大多数构件，发生塑性变形时，就丧失了正常工作件，发生塑性变形时，就丧失了正常工作的能力。所以屈服点的能力。所以屈服点s是衡量材料强度的是衡量材料强度的重要指标。对于低碳钢重要指标。对于低碳钢s=240MPa。s s 过屈服阶段后，材料又恢复过屈服

35、阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要继续变了抵抗变形的能力，要继续变形必须增加拉力，这种现象称形必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。为材料的强化。强化阶段中最强化阶段中最高点高点d所对应的应力所对应的应力b称为强称为强度极限，度极限，如图如图4-17所示。所示。它是材料所能承受的最高应它是材料所能承受的最高应力，是衡量材料强度的另一重力，是衡量材料强度的另一重要指标。要指标。C 当应力达到当应力达到b后，在试件的某一局部范围内，后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成缩颈现象，如图横向尺寸突然急剧缩小，形成缩颈现象，如图4-18所所示。由于缩颈部分横截面积迅速减小，拉力也随之

36、减示。由于缩颈部分横截面积迅速减小，拉力也随之减小，引起试件迅速伸长，到小，引起试件迅速伸长，到e点最后被拉断。点最后被拉断。 图图4-18 试件拉断后，弹性变形消失，保留了塑性变形。试件拉断后，弹性变形消失，保留了塑性变形。材料的塑性就可用试件断裂后遗留下来的塑性变形材料的塑性就可用试件断裂后遗留下来的塑性变形来表示。工程上常用试件的延伸率来表示。工程上常用试件的延伸率和断面收缩率和断面收缩率作为衡量材料塑性的指标。作为衡量材料塑性的指标。 延伸率延伸率 式中，式中，l为试件标距长度；为试件标距长度； l1为试件拉断后的标距长度。为试件拉断后的标距长度。 5%的材料称为塑性材料，如钢、铜、铝

37、等；的材料称为塑性材料，如钢、铜、铝等； 5%的材料称为脆性材料，如铸铁、石料等。的材料称为脆性材料，如铸铁、石料等。 低碳钢的延伸率平均值约为低碳钢的延伸率平均值约为2030%，说明低碳，说明低碳钢的塑性很好。钢的塑性很好。%1001lll断面收缩率断面收缩率 式中，式中，A为试验前试件的横截面面积；为试验前试件的横截面面积； A1为试件断口处的最小横截面面积。为试件断口处的最小横截面面积。%1001AAA 将试件预加载到强化阶段内的将试件预加载到强化阶段内的k点，然后缓慢点，然后缓慢卸载，卸载，曲线将沿着与曲线将沿着与Oa近似平行的直线近似平行的直线回到回到O1点，如图点，如图4-17所示

38、。所示。O1k1是消失了的弹性是消失了的弹性应变，而应变，而OO1是残留下来的塑性应变。若卸载后是残留下来的塑性应变。若卸载后重新加载，应力应变曲线将沿着重新加载，应力应变曲线将沿着O1kde变化。比较变化。比较O1kde和和Oabcde可知，重新加载时，材料的比例可知，重新加载时，材料的比例极限和屈服点得到提高，但塑性变形和延伸率有所极限和屈服点得到提高，但塑性变形和延伸率有所下降，这种现象称为冷作硬化，经退火后又可以下降，这种现象称为冷作硬化，经退火后又可以恢复。恢复。 铸铁是工程上广泛铸铁是工程上广泛应用的脆性材料，它应用的脆性材料，它在拉伸时的在拉伸时的-曲线曲线是一段微弯曲线，如是一

39、段微弯曲线，如图图4-19所示，没有明所示，没有明显的直线段。显的直线段。 图图4-19 它在较小的拉应力下就被突然拉断，没有屈服它在较小的拉应力下就被突然拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前应变很小，延伸率也很小。在和颈缩现象，拉断前应变很小，延伸率也很小。在工程上铸铁的拉应力不能很高，而在较低的拉应力工程上铸铁的拉应力不能很高，而在较低的拉应力下，则可近似地认为服从胡克定律。拉断时的强度下，则可近似地认为服从胡克定律。拉断时的强度极限极限b是衡量强度的唯一指标。一般说，脆性材是衡量强度的唯一指标。一般说，脆性材料的抗拉强度都比较低。料的抗拉强度都比较低。 低碳钢作为塑低碳钢作为塑性材料，其压缩

40、时性材料，其压缩时的的-图如图图如图4-20中的实线所示。中的实线所示。 图中虚线表示图中虚线表示低碳钢在拉伸时的低碳钢在拉伸时的-图。图。图图4-20 比较可知，在屈服以前，比例极限比较可知，在屈服以前，比例极限p、屈服点屈服点s和弹性模量和弹性模量E等参数在拉伸和压缩等参数在拉伸和压缩时是相同的。但在屈服后，试件越压越扁，时是相同的。但在屈服后，试件越压越扁，试件抵抗能力也继续增大，并不断裂。因试件抵抗能力也继续增大，并不断裂。因此，在压缩时的此，在压缩时的-图中，无强度极限。图中，无强度极限。 以铸铁作为脆性材料以铸铁作为脆性材料的代表，其压缩时的的代表，其压缩时的-图如图图如图4-21

41、中的实线所中的实线所示，它与拉伸时的示，它与拉伸时的-图图（虚线）相似。值得注意（虚线）相似。值得注意的是，压缩时强度极限比的是，压缩时强度极限比拉伸时的强度极限高拉伸时的强度极限高34倍，最后试件是沿与轴线倍，最后试件是沿与轴线成成4550角的斜面破角的斜面破坏的。坏的。 图图4-21 工程实际中常用的一些连接件，例如螺工程实际中常用的一些连接件，例如螺栓、螺钉、铆钉、销钉、键、剪板机中的板栓、螺钉、铆钉、销钉、键、剪板机中的板材、木榫接头、焊接接头等，在外力作用下材、木榫接头、焊接接头等，在外力作用下将主要产生剪切变形和挤压变形。将主要产生剪切变形和挤压变形。 用铆钉连接两块钢板如图用铆钉

42、连接两块钢板如图4-29a所示，铆所示，铆钉受到钢板传递来的两个横向力钉受到钢板传递来的两个横向力F（垂直于零（垂直于零件轴线方向作用的力）的作用如图件轴线方向作用的力）的作用如图4-29b所示。所示。图图4-29实例一实例一 用键连接轴和轴上的传动件（如齿轮、用键连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）如图皮带轮等）如图4-30a所示，使轴和传动件不所示，使轴和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。键的受力如图发生相对转动，以传递扭矩。键的受力如图4-30b 图图4-30实例二实例二 如果外力如果外力F不断增大，将使铆钉或键沿不断增大，将使铆钉或键沿截面截面mm剪断这种现象称为剪断这种现象称为剪

43、切破坏剪切破坏。mmmm剪切变形的受力特点：剪切变形的受力特点： 作用于构件两侧面的外力（或外力的合作用于构件两侧面的外力（或外力的合力）大小相等、方向相反、作用线与轴线力）大小相等、方向相反、作用线与轴线垂直且相距很近。垂直且相距很近。 剪切变形的特点是：两力之间的横截面发剪切变形的特点是：两力之间的横截面发生相对错动。发生相对错动的截面（被剪断生相对错动。发生相对错动的截面（被剪断的截面）称为的截面）称为剪切面剪切面，剪切面面积用，剪切面面积用Aj表示。表示。 切于剪切面的内力称为切于剪切面的内力称为剪力剪力，用，用FQ表示，表示，其大小和方向可用截面法确定。其大小和方向可用截面法确定。

44、铆钉的侧表面与铆钉的侧表面与钢板上的铆钉孔之间钢板上的铆钉孔之间相互传递压力，所以相互传递压力，所以铆钉在产生剪切变铆钉在产生剪切变形的同时，在与铆钉形的同时，在与铆钉孔接触的表面上还相孔接触的表面上还相互压紧，这种局部表互压紧，这种局部表面上受压的情况称为面上受压的情况称为挤压挤压，如图所示。，如图所示。 连接件与被连接件之间的接触面称为连接件与被连接件之间的接触面称为挤压面挤压面，挤压面面积用挤压面面积用Ajy表示。表示。 作用于挤压面的压力称为作用于挤压面的压力称为挤压力挤压力，用，用Fjy表示。表示。 如果相互挤压的力过大，就会使连接件接触处的局如果相互挤压的力过大，就会使连接件接触处

45、的局部区域发生塑性变形，这种变形称为部区域发生塑性变形，这种变形称为挤压变形。挤压变形。 产生挤压变形会使连接松动，导致构件的失效而产生挤压变形会使连接松动，导致构件的失效而不能正常工作，这种现象称为不能正常工作，这种现象称为挤压破坏挤压破坏。 以图以图4-30所示的键连接所示的键连接为例，取键为研究对象，其为例，取键为研究对象，其受力如图受力如图4-30b所示，应用所示，应用截面法，假象沿剪切面截面法，假象沿剪切面m-m将键切为两段，如图将键切为两段，如图4-30c所示。任取一段为研究对象，所示。任取一段为研究对象，由平衡条件可知，剪切面上由平衡条件可知，剪切面上的剪力的剪力FQ切于截面且与

46、外力切于截面且与外力F平行、大小相等、方向相平行、大小相等、方向相反。反。4-30（c） 剪力剪力FQ在剪切面上的实际分布规律比较在剪切面上的实际分布规律比较复杂，工程中通常采用复杂，工程中通常采用“实用计算法实用计算法”，即，即假假定剪力定剪力FQ在剪切面上是均匀分布的，其应力在剪切面上是均匀分布的，其应力称为称为切应力切应力。 剪切面上的切应力计算公式为剪切面上的切应力计算公式为 （4-5） 式中式中 为切应力，单位为切应力，单位 MPa FQ为剪力，为剪力， 单位单位 N A j为剪切面面积，单位为剪切面面积，单位 mm2。AFQ 为了保证剪切变形构件安全可靠的工为了保证剪切变形构件安全

47、可靠的工作，必须使剪切面上的应力不超过连接件作，必须使剪切面上的应力不超过连接件材料的许用应力材料的许用应力。即剪切强度条件为。即剪切强度条件为 （4-6） 式中式中 为构件材料的许用切应力。为构件材料的许用切应力。 单位单位 MPaMPa，可从有关手册中查得。，可从有关手册中查得。 AFQ 连接件与被连接件相接触的表面处会产连接件与被连接件相接触的表面处会产生挤压变形。在接触面的局部区域产生的接生挤压变形。在接触面的局部区域产生的接触应力，称为挤压应力。由于挤压力触应力，称为挤压应力。由于挤压力F jy与挤与挤压面相互垂直，挤压应力也与挤压面相互垂压面相互垂直，挤压应力也与挤压面相互垂直。挤

48、压应力在挤压面上的分布也比较复直。挤压应力在挤压面上的分布也比较复杂，同样采用杂，同样采用“实用计算法实用计算法”，即假定挤压，即假定挤压力力Fjy在挤压面上是均匀分布的。在挤压面上是均匀分布的。挤压应力为挤压应力为 （4-7）式中：式中：jy为挤压应力，单位为挤压应力，单位 MPa； Fjy为挤压面的挤压力，单位为挤压面的挤压力，单位 N； Ajy为挤压面的面积，单位为挤压面的面积，单位 mm2。jyjyAFjy 为了保证受剪构件有足够的挤压强度，为了保证受剪构件有足够的挤压强度，挤压强度条件为挤压强度条件为 （4-8） 式中式中 jy 为构件材料的许用挤压应力，为构件材料的许用挤压应力，

49、单位单位 MPaMPa，可从有关手册中查得。，可从有关手册中查得。jyjyjyAFjy 图图4-32所示的普通平键所示的普通平键挤压面面积挤压面面积 Ajy=hl/2剪切面面积剪切面面积 A j=bl图图4-32 侧面受挤压的圆柱形联接侧面受挤压的圆柱形联接件如销钉、螺钉、铆钉等。件如销钉、螺钉、铆钉等。 剪切面面积剪切面面积A=d2/4 受挤压的面为半圆柱形，其受挤压的面为半圆柱形，其挤压面面积为半圆柱面的正投挤压面面积为半圆柱面的正投影面面积，影面面积，Ajy=dt。 其中其中d为直径，为直径，t为圆柱形联为圆柱形联接件与孔的接触长度。接件与孔的接触长度。d剪切面剪切面挤压面挤压面 焊接也

50、是目前工程中焊接也是目前工程中钢结构最主要的连接方法，钢结构最主要的连接方法，它与其它连接相比有不削弱它与其它连接相比有不削弱构件截面，节省钢材，构造构件截面，节省钢材，构造简单，加工制造简便等优点。简单，加工制造简便等优点。 焊缝处的剪切变形强度焊缝处的剪切变形强度问题在工程中也很重要。问题在工程中也很重要。 在设计时，假设这种焊缝沿焊缝的最小在设计时，假设这种焊缝沿焊缝的最小纵截面处，即与板面成纵截面处，即与板面成45的斜面（图的斜面（图4-34b的的mm截面）发生剪切破坏，并假设切应力截面）发生剪切破坏，并假设切应力在剪切面上均匀分布。在剪切面上均匀分布。图图4-34b 如图如图4-34

51、c所示，焊缝的横截面一般视为等腰所示，焊缝的横截面一般视为等腰三角形，焊缝的最小厚度为三角形斜边的高三角形，焊缝的最小厚度为三角形斜边的高AB=tcos45=0.707t。则剪切面（焊缝的最小截面）。则剪切面（焊缝的最小截面）的面积为的面积为A=ABl=0.707tl。式中式中，l为焊缝的计算为焊缝的计算长度。由于焊缝两端焊接质量不够好，通常将焊缝长度。由于焊缝两端焊接质量不够好，通常将焊缝实际长度实际长度l减减10mm后作为计算长度后作为计算长度l。 剪切强度条件和挤压强度条件也可以解剪切强度条件和挤压强度条件也可以解决强度计算的三类问题。决强度计算的三类问题。 当连接件与被连接件的材料不同

52、时，应对当连接件与被连接件的材料不同时，应对许用挤压应力许用挤压应力 jy 值较小的构件进行强度计算。值较小的构件进行强度计算。说说 明明例例4-6 如图如图4-35a所示，带轮用普通平键与轴联接，所示，带轮用普通平键与轴联接， 已知轴的直径已知轴的直径d=70mm， 键的尺寸为键的尺寸为bhL=20mm12mm100mm， 传递的转矩传递的转矩T=2KNm， 键的材料许用切应力键的材料许用切应力=60MPa， 许用挤压应力许用挤压应力jy=150MPa， 带轮的许用挤压应力带轮的许用挤压应力jy=100Mpa，试校核键联接的强度。试校核键联接的强度。图图4-35解：（解：（1）计算作用于键上

53、的外力）计算作用于键上的外力FTdF2NNdTF5714370101022233剪切面上的剪力剪切面上的剪力键的剪切面面积键的剪切面面积 校核键的剪切强度校核键的剪切强度 故剪切强度足够。故剪切强度足够。NFFQ5714322200010020mmmmblAj MPaMPaAFj6 .28200057143Qlb2h（2 2）校核键的剪切强度）校核键的剪切强度（3）校核挤压强度）校核挤压强度 由于带轮的许用挤压应力比键的许用挤压应力由于带轮的许用挤压应力比键的许用挤压应力低，所以只需对带轮进行挤压强度校核。低，所以只需对带轮进行挤压强度校核。挤压面上的挤压力挤压面上的挤压力 挤压面面积挤压面面

54、积 校核挤压强度校核挤压强度 故挤压强度也足够。故挤压强度也足够。 因此整个键联接强度足够。因此整个键联接强度足够。NFFjy57143226002100122mmmmhlAjyjyjyjyMPaMPaAF2 .9560057143jylb2h 汽车操纵杆汽车操纵杆 机器中的转轴机器中的转轴工程中发生扭转变形的实例工程中发生扭转变形的实例拧螺钉的螺丝刀杆拧螺钉的螺丝刀杆 工程实际中，有许多杆件主要产生扭转工程实际中，有许多杆件主要产生扭转变形。它们的计算简图如图所示。变形。它们的计算简图如图所示。 受力特点：在杆件两端作用的力偶，大小受力特点：在杆件两端作用的力偶，大小相等、转向相反、作用面平

55、行。相等、转向相反、作用面平行。 计算轴的内力，必须首先计算出轴的外计算轴的内力，必须首先计算出轴的外力偶矩。工程实际中，根据轴所传递的功率力偶矩。工程实际中，根据轴所传递的功率和轴的转速，通过下列公式计算外力偶矩：和轴的转速，通过下列公式计算外力偶矩： Me为作用于轴上的外力偶矩（为作用于轴上的外力偶矩（Nm） P为轴所传递的功率（为轴所传递的功率（Kw） n为轴的转速（为轴的转速（r/min）nPMe9550 以传动轴为例（图以传动轴为例（图4-43）。已知圆轴在外力偶）。已知圆轴在外力偶矩矩Me的作用下，求出横截面上的内力。的作用下，求出横截面上的内力。 方法：截面法方法：截面法图图4-

56、43切：选任意截面切：选任意截面n-n截开。截开。图图4-43取：左段或右段。取：左段或右段。代：因为外力为力偶，所以内力也为内力偶。代：因为外力为力偶，所以内力也为内力偶。 此内力偶称为此内力偶称为“扭矩扭矩” 单位单位Nm。平：由平衡方程确定扭矩的转向及大小。平：由平衡方程确定扭矩的转向及大小。M=0 TMe=0 T=Me左段轴左段轴右段轴右段轴 为了使由左、右两段轴上求得的同一截面上的为了使由左、右两段轴上求得的同一截面上的扭矩符号一致，可按右手螺旋法则规定扭矩的符号：扭矩符号一致，可按右手螺旋法则规定扭矩的符号： 以右手四指握向表示扭矩的转向，则拇指的指以右手四指握向表示扭矩的转向，则

57、拇指的指向离开截面时扭矩为正，反之为负。向离开截面时扭矩为正，反之为负。扭矩符号的规定扭矩符号的规定 为了表明各横截面上扭矩沿轴线的变化情为了表明各横截面上扭矩沿轴线的变化情况，且便于确定最大扭矩所在截面的位置，以便况，且便于确定最大扭矩所在截面的位置，以便分析危险截面，常需画出轴的扭矩图。分析危险截面，常需画出轴的扭矩图。 作法：取平行于轴线的横坐标作法：取平行于轴线的横坐标表示各横表示各横截面的位置，取垂直于截面的位置，取垂直于轴的纵坐标轴的纵坐标T表示相应表示相应截面的扭矩，正扭矩画在截面的扭矩，正扭矩画在轴上方，负扭矩画在轴上方，负扭矩画在轴下方。轴下方。例例4-9 如图如图4-44所

58、示为一传动轴，轴的转速所示为一传动轴，轴的转速 n=500r/min，主动轮，主动轮B输入功输入功PB=60kW， 从动轮从动轮A、C、D输出功率分别为输出功率分别为PA=28kW， PC=20kW，PD=12kW。试绘制轴的转矩图，。试绘制轴的转矩图， 并指出最大扭矩并指出最大扭矩Tmax的值。的值。BACD图图4-44解：（解：（1）计算外力偶矩）计算外力偶矩mN 1461mN5006095509550BBnPMm534.8NmN5002895509550AAnPMmN 382mN5002095509550CCnPMmN 2 .229 mN5001295509550DDnPM（2）计算各截

59、面扭矩）计算各截面扭矩AB段：段： T1 = -MA= -534.8 Nm BC段段： T2 = MB - MA =1146 Nm - 534.8 Nm = 611.2 Nm CD段段： T3 = MD = 229.2Nm（3）画扭矩图）画扭矩图最大扭矩在最大扭矩在BCBC段内的各横截面上段内的各横截面上 Tmax = 611.2 NmTmax = 611.2 Nm 。（4）A、B两轮位置两轮位置 对调对调AB段：段： T1= MB = 1146 Nm BC段：段： T2= MBMA =1146 Nm - 534.8 Nm = 611.2 Nm CD段：段： T3= MD= 229.2 Nm

60、扭矩图最大扭矩在扭矩图最大扭矩在BA段内的各横截面上，其值为段内的各横截面上，其值为 T max=1146Nm 说明：前者的布置更为合理，有利于提高轴的强度。说明：前者的布置更为合理，有利于提高轴的强度。结结 论论（1）扭矩图与轴力图类似，也是矩形框图；）扭矩图与轴力图类似，也是矩形框图；（2）在外力偶作用的截面，扭矩发生突变，）在外力偶作用的截面，扭矩发生突变， 且该截面扭矩出现极值；且该截面扭矩出现极值；（3）当轴上作用三个或三个以上的外力偶矩）当轴上作用三个或三个以上的外力偶矩 而平衡时，轴上各段横截面的扭矩一般而平衡时，轴上各段横截面的扭矩一般 是不同的，任一截面上的扭矩等于该截是不同