测量误差及数据处理

1、第第2 2章章 测量误差及数据处理测量误差及数据处理 1 1 误差的基本概念误差的基本概念Axx1.2 1.2 误差的来源误差的来源 1.3 1.3 误差的表示方法误差的表示方法0AxxxxA（2 2）修正值）修正值xAxC2.2.相对误差相对误差100%mmmxx 0100%xA 100%AxA 100%xxx 一个量程范围内的最大绝对误差与该量程一个量程范围内的最大绝对误差与该量程值（上限值下限值）之比值（上限值下限值）之比mmmxx满度相对误差应用满度相对误差应用%mxxSx2100%1.5% 1.5%100mxxSx用用1.51.5级量程为级量程为0 0100mA100mA电流表测量电

2、流表测量100mA100mA时的最大相对时的最大相对误差为误差为1400%0.5%2%100mxxsx 解：用解：用0.50.5级量程为级量程为0 0400mA400mA电流表测电流表测100mA100mA时，最大相时，最大相对误差为对误差为分贝误差分贝误差相对误差的对数表示相对误差的对数表示oxiVAV 20lg()xxGA dB 020lg(1)dBxAAGGAAAx绝对误差？相对误差？绝对误差？相对误差？随机误差随机误差（续）（续）1211nniixxxxxnn u 随机误差大小：测量结果与在重复性条件下，对同一被随机误差大小：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结

3、果的平均值之差测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差iixx()n 2.2.系统误差系统误差0 xAu 系差和随差之间在一定条件下可以相互转化系差和随差之间在一定条件下可以相互转化3.3.粗大误差粗大误差1.5 1.5 测量结果的表征测量结果的表征射击误差射击误差示意图示意图 1.6 1.6 有效数字的处理有效数字的处理（自学）（自学）2 2 有效数字有效数字3.3.近似运算法则近似运算法则近似运算法则（续）近似运算法则（续）5 .3508.48804.14408.428.043.517 365 .3551.351 . 428. 052008. 428. 043.517 2 2 误差的估计和

4、处理误差的估计和处理 1.随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点随机误差的性质和特点正态分布正态分布( (a a) )随随 机机 误误 差差( (b b) ) 测测 量量 数数 据据0 )( p x xp p( (x x) )0 0图图 3 3 1 1 随随 机机 误误 差差 和和 测测 量量 数数 据据 的的 正正 态态 分分 布布 曲曲 线线)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp2.随机误差的数字特征随机误差的数字特征 1iipixE(X) dxxxpXE)()( 以正态分布为例以正态分布为例2)(exp21)(22 xxpdxxxxE2)(ex

5、p21)(22数学期望描述随机变量在数轴上的位置数学期望描述随机变量在数轴上的位置。随机变量的所有。随机变量的所有可能值都围绕数学期望摆动，当需要用一个数值来表征随可能值都围绕数学期望摆动，当需要用一个数值来表征随机变量大小时，该值就是数学期望！机变量大小时，该值就是数学期望！方差和标准偏差方差和标准偏差与随机变量有相同量纲。与随机变量有相同量纲。)( XD q方差是最小的二阶矩方差是最小的二阶矩 二阶矩：随机变量与任一二阶矩：随机变量与任一 常数常数A A的偏离程度。的偏离程度。iiipAx22)(随机变量关于其数学期望的偏离程度比其它任何值都小。随机变量关于其数学期望的偏离程度比其它任何值

6、都小。这说明数学期望是被测量的最可信赖的值（概然值）。这说明数学期望是被测量的最可信赖的值（概然值）。q 标准偏差的物理意义标准偏差的物理意义 0)(p1 2 3 222222)2exp(21)() 0()(ddpED以正态分布为例：以正态分布为例：3. 数学期望和标准偏差的估计数学期望和标准偏差的估计用事件发生的频度代替事件发生的概率，当用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则则nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n个不相同的测试数据个不相同的测试数据x xi i(i=1.2,n)(i=1.2,n) 次数都计为次数都计为1 ,1 ,当当 时，则时，则 niiniixnnxXE1

7、111)( n n（1 1）数学期望的估计）数学期望的估计算术平均值算术平均值被测量被测量X X的数学期望，的数学期望，就是当测量次数就是当测量次数 时，各次测量值的算时，各次测量值的算术平均值术平均值 n算术平均值算术平均值( (续）续）（）（iniixExExnx11（2 2）算术平均值的标准偏差）算术平均值的标准偏差*)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()( n用算术平均值作为估用算术平均值作为估计值的精度问题计值的精度问题!221()( )exp22xxxp x（3 3）标准偏差的估计）标准偏差

8、的估计q实验标准偏差实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：标准偏差的估计值），贝塞尔公式：q实验方差是标准方差的无偏估计！实验方差是标准方差的无偏估计！ 但实验标准偏差是标准偏差的有偏估计，其无偏估计要但实验标准偏差是标准偏差的有偏估计，其无偏估计要带一个修偏系数。带一个修偏系数。q算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标准偏差的估计值 ： niiniixxnnxs1212)(1111)( nxsxs)()( 标准偏差是以标准偏差是以“真误差真误差”来计算的。来计算的。有限次测量只能得到有限次测量只能得到“残差残差”,如何根据如何根据“残差残差”估计标准估计标准偏差偏差? 22( )E

9、sx平均值平均值 残差残差 用公式用公式 计算列于上表中计算列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(767.111)(12Cnxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso 数学期望和标准偏差计算举例数学期望和标准偏差计算举例用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测量值的序列个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。x4. 测量结果的置信度测量结果的置

10、信度 k kxEx )(置信概率置信概率（2 2）正态分布的置信概率）正态分布的置信概率 kkdpkPkxExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP 的意义：我们可以的意义：我们可以有有68.27%的把握认为的把握认为测量误差不超出测量误差不超出（3 3） t t分布的置信概率分布的置信概率- -( (+ +1 1) )2 2m m- -1 1- -t t2 20 0+ +1 1( () )t t2 2y y = = f f( (t t, , ) )= =( (1 1+ +) ) ( (m m) )= =t te e d dt t ( (m m 0 0) ) 伽

11、伽玛函函数数 ( () )2 2 2 22 2x xx x1 1( (x x - - ) )p p( (x x) ) = =e ex xp p - - 2 22 2u t t分布分布: :学生分布学生分布x x - -t t = = t t( (n n - - 1 1) )s s / /n nu 算术平均值的分布算术平均值的分布测量次数较小时测量次数较小时（4 4）非正态分布及其置信因子）非正态分布及其置信因子236k k a 3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0 c a 0 t 图3 7 多 种 系 统 误 差 的 特 征 其 中 ： a - - -

12、 - 不 变 系 差 b - - - - - 线 性 变 化 系 差 c - - - - - 周 期 性 系 差 d - - - - - 复 杂 规 律 变 化 系 差 d b 1. 1. 系统误差的特征系统误差的特征在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。 多次测量求平均不能减少系差。多次测量求平均不能减少系差。 2. 系统误差的发现方法系统误差的发现方法 ii0ii0 存在线性变化的系统误差存在线性变化的系统误差无明显系统误差无

13、明显系统误差系统误差的发现方法系统误差的发现方法 （续）（续）1121112111: (1 ()nnniiiiniiininnn ss 基本思想 通过的符号变化判定阿贝判据对于累进性误差，是一个很大的负值，失效问题：1到n个测量值不是周期的整数倍时，也可能是一个很大的负值阿贝赫梅特判据 2/112/ninniiiD 2/)1(12/)1(ninniiiD 排除累进性系差的前提下使用排除累进性系差的前提下使用3. 系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法系差忽略不计的准则：系差或残差代数和的绝对值不超过测量系差忽略不计的准则：系差或残差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有

14、效数字的一半。结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。减少系差的减少系差的测量方法（复合式比较）测量方法（复合式比较）微差法进行测量时，测量误差公式：微差法进行测量时，测量误差公式：测量仪器的误差测量仪器的误差 对测量的对测量的影响被大大地削弱影响被大大地削弱优点：测量速度快和测量准确度高。优点：测量速度快和测量准确度高。 xSxSx/ 0-v+vxs(2)(2)替代法替代法 替代法的测量原理 替代法的测量原理xs0 0-v-v+v+v2 2K KK K1 1（b) 零示法（b) 零示法(a) 偏转法(a) 偏转法xs0 0-v-v+v+v2 2K KK K1 1r r(3)(3)交换法交换

15、法12121()2xWW WWW11 2xW lW l 22 1xW lW l ( (a a) ) 天天 平平 称称 重重xWW1l1l2xWW2l1l212121()2xssssRRRRR消除不等臂误差！消除不等臂误差！消除消除R1，R2不准确带来的误差！不准确带来的误差！2. 粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则统计学方法的基本思想：给定置信概率，确定相应的置信区统计学方法的基本思想：给定置信概率，确定相应的置信区间，超过置信区间的误差就认为是粗大误差，间，超过置信区间的误差就认为是粗大误差，逐个逐个予以剔除。予以剔除。莱特准则：莱特准则：si3 莱特准则基于测量次数无穷大，测量测数较小时

16、不可靠。莱特准则基于测量次数无穷大，测量测数较小时不可靠。格拉布斯准则格拉布斯准则sG max 解：解： 计算得计算得 s=0.033s=0.033计算残差填入表计算残差填入表3 37 7， 最大，最大， 是可疑数据。是可疑数据。 用莱特检验法用莱特检验法 3 s=33 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判断故可判断 是粗大误差，应予剔除。是粗大误差，应予剔除。再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得 ：再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得 ： s = 0 . 0 1 6 s = 0 . 0 1 6 3s= 0.0483s= 0.048各测量值的残差各测量值的残差

17、V V填入表填入表3 37 7，残差均小于，残差均小于3 s3 s故故1414个数据都为正常数据。个数据都为正常数据。404.20 x104. 08 8x411.20 x【例】【例】 对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表37，试检查测量数据中有无粗大误差。 niixnx11xxii 01 nii niins1211 nssx xskxA 1205.300.090.099205.710.410.410.50.52204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.513205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.

18、44 -0.35-0.354205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.145206.651.351.3513205.21-0.09-0.09 06204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.02-0.027205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 08205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11残残 差差残残 差差测量值测量值序号序号残残 差差 残残 差差序号序号测量值测量值-0 .8-0 .6-0 .4-0

19、.200 .20 .40 .6图 3 9 残 差 图51 01 5ni2. 2. 非非等精度测量等精度测量数据的处理（不作要求）数据的处理（不作要求）iiW2 miimiiimiimiiiWxWxx1112121加权平均值：加权平均值：精度高的仪器测得的数据作为测量结果最佳么？精度高的仪器测得的数据作为测量结果最佳么？以多组重复测量为例说明以多组重复测量为例说明加权平均值的标准偏差：加权平均值的标准偏差：miimiixW112211miimiimiixiiiiixx112122122111221P222222P1)()()()(证明思路证明思路:误差合成原理误差合成原理nix22等精度测量为特

20、例等精度测量为特例3 3 测量不确定度测量不确定度 不确定度的分类不确定度的分类 测量不确定度不确定度扩展不确定度B 类类标标准准不不确确定定度度Bu标准不确定度A 类类标标准准不不确确定定度度Au合合成成标标准准不不确确定定度度CuU99U95U()3kU()2k相对不确定度不确定度与误差的关系不确定度与误差的关系3.2 3.2 不确定度的评定方法不确定度的评定方法niixnx11 1)()(12nxxXSniinXSxSuA)()( 自由度：数值越大，说明自由度：数值越大，说明测量不确定度越可信测量不确定度越可信。1n2. B2. B类评定（非统计方法）类评定（非统计方法）u 主要信息来源

21、是以前测量的数据、生产厂的技术证明书、主要信息来源是以前测量的数据、生产厂的技术证明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。仪器的鉴定证书或校准证书等。u 确定测量值的误差区间（确定测量值的误差区间（,-,-），并假设被测量的值的），并假设被测量的值的概率分布，由要求的置信水平估计包含因子概率分布，由要求的置信水平估计包含因子k k（），则，则B B类标准不确定度类标准不确定度u uB B为为kuB 分布分布三角三角梯形梯形均匀均匀反正弦反正弦 k (p=1)概率概率P%5068.27909595.459999.73置信因子置信因子0.67611.6451.96022.5763621/632表表3 3

22、1010几种非正态分布的置信因子几种非正态分布的置信因子k k 3.3 合成标准不确定度合成标准不确定度111212(,)nnnyf x xxfffdydxdxdxxxx, ,12121212lnlnlnnnnnfffyxxxxxxyfffxxxyxxx ix 较小时忽略高次项测量函数为和、差关系时，求绝对误差较方便测量函数为和、差关系时，求绝对误差较方便测量函数为积、商、开方、乘方关系时，求相对误差较方便测量函数为积、商、开方、乘方关系时，求相对误差较方便（2）标准偏差的合成）标准偏差的合成2221cov(,)()(2) )(iiijjijijiijjijNyxijxxxxxxiijiijx

23、 xExfffxxE xxxE x 相关系数、协方差相关系数、协方差221() iNyxiifx 各各随随机机误误差差相相互互独独立立时时均均方方根根合合成成2、标准不确定度的合成、标准不确定度的合成1/2212111( )()2(,) () ()NNNCiijijiijiiijfffuyuxr xxu x u xxxx 21NCiiuu各不确定度分量不相关，不能写出函数关系的：各不确定度分量不相关，不能写出函数关系的：不确定度传播律公式的几种简化公式不确定度传播律公式的几种简化公式1()()NCiiifuyuxx 1 / 2221()()NCiiiuyAuy 1212NpppNYXXX Ni

24、iiiCxxuPYyu12/)()(22()()VPIuuuPIV 22222222()()PIVIVPPuuuV uI uIV 3.4 3.4 扩展不确定度扩展不确定度u 包含因子包含因子k k选取方法选取方法: :(A)(A)无法得到合成标准不确定度的自无法得到合成标准不确定度的自由度，且测量值接近正态分布时，由度，且测量值接近正态分布时，则一般取则一般取的典型值为的典型值为2 2或或3 3。(B)(B)根据测量值分布规律和所要求的根据测量值分布规律和所要求的置信水平选取值。例如，假设置信水平选取值。例如，假设为均匀分布时，置信水平为均匀分布时，置信水平P P0.950.95，查表得，查表

25、得 k k1.651.65。Pk57.741951.65991.711001.73均匀分布时置信概率均匀分布时置信概率与置信因子与置信因子k k的关系的关系自由度：自由度：测量不确定度的不确定度测量不确定度的不确定度1 ni 萨特思韦特公式韦尔奇 - , )()(1444NiiiiCeffvxuCyuv度标准不确定度的不可信)()( , )()(212iiiiBxuxuxuxuCi灵敏度系数CiU(xi) =Ui (y)3.53.5应用实例应用实例【例】【例】RVP2 电压的电压的B类类不确定度不确定度电阻的电阻的B类类不确定度不确定度电压的电压的A类类不确定度不确定度RVP2 VVnVVni

26、i32. 255 . 22 . 24 . 23 . 22 . 2/1 WWRVP027. 099.199)32. 2()(22 （3 3）标准不确定度分量的评定）标准不确定度分量的评定电压测量引入的标准不确定度电压测量引入的标准不确定度电压表不准引入的标准不确定度分量电压表不准引入的标准不确定度分量u u1 1（V V），），B B类评定类评定 a a1 1=2.32V=2.32V1%=0.023V 1%=0.023V (a)(a)(b)(b)电压测量重复性引入的标准不确定度分量电压测量重复性引入的标准不确定度分量u u2 2（V V），），A A类类评定评定VkaVu013. 03023.

27、0)(111 VVxxSii13.0418.012.008.002.012.015)(22222512 VVnSxSVu058. 0513. 0)()(2 VVVuVuVu059. 0058. 0013. 0)()()(222221 3.44058.010013.00594.0)()()(4442421414)( vVuvVuVuvCVeff 01. 0202. 0)(22kUkaRu（5 5）计算合成标准不确定度）计算合成标准不确定度u uC C(P)(P)：V和R不相关)()()(222221RucVucPuC /023. 099.19932. 222VRVVP2222222(2.32)0.00013/(199.99)PVcVRR WPuC0014. 0)01. 0()00013. 0()059. 0()023. 0()(2