第二十六章 ﹡2615用待定系数法求二次函数的解析式

1、*26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式1.1.根据题目准确分析已知条件根据题目准确分析已知条件, ,确定二次函数的解析式确定二次函数的解析式.(.(重点重点) )2.2.利用待定系数法求二次函数的解析式利用待定系数法求二次函数的解析式.(.(重点重点) )一、二次函数的一般式一、二次函数的一般式y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)求解的关键是求出待定系数求解的关键是求出待定系数a,b,ca,b,c的值的值, ,方法是根据已知条件方法是根据已知条件, ,列出关于列出关于a,b,ca,b,c的的_,_,求出求出a,b,c,a,b,c,然后写出二次函数解析式然后写出二次函

2、数解析式. .方程组方程组二、二次函数的顶点式二、二次函数的顶点式抛物线抛物线顶点与对称轴的位置顶点与对称轴的位置y=axy=ax2 2顶点在顶点在_,_,对称轴为对称轴为_轴的抛物线轴的抛物线y=axy=ax2 2+k+k顶点在顶点在_轴轴, ,对称轴为对称轴为_轴的抛物线轴的抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2顶点在顶点在_轴轴, ,对称轴平行于对称轴平行于y y轴的抛物线轴的抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k 顶点为顶点为(_(_，_),_),对称轴平行于对称轴平行于y y轴的抛物线轴的抛物线原点原点y yy yy yx xh hk k ( (打打“”或或“”)

3、”)(1)(1)抛物线经过原点抛物线经过原点, ,则可设其解析式为则可设其解析式为y=axy=ax2 2. .( )( )(2)(2)用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式, ,只要知道图象上三个点的只要知道图象上三个点的坐标即可坐标即可. .( )( )(3)(3)抛物线抛物线y=a(x+h)y=a(x+h)2 2+k+k的顶点坐标为的顶点坐标为(h,k).(h,k).( )( )(4)(4)若抛物线的顶点在直线若抛物线的顶点在直线y=xy=x上上, ,则可以设其解析式为则可以设其解析式为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+h.+h.( )( )知识点知识点 1 1 利

4、用三点坐标确定二次函数的一般式利用三点坐标确定二次函数的一般式【例【例1 1】如图如图, ,抛物线抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c经过坐标原点经过坐标原点, ,并与并与x x轴交于点轴交于点A(2,0).A(2,0).(1)(1)求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式. .(2)(2)写出顶点坐标及对称轴写出顶点坐标及对称轴. .(3)(3)若抛物线上有一点若抛物线上有一点B,B,且且S SOABOAB=3,=3,求点求点B B的坐标的坐标. .【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)把把(0,0),(2,0)(0,0),(2,0)代入解析式代入解析式b,cb,c的值的值抛物抛物线解析式

5、线解析式. .(2)(2)配方成顶点式配方成顶点式顶点坐标、对称轴顶点坐标、对称轴. .(3)(3)OABOAB的面积的面积点点B B的纵坐标的纵坐标代入抛物线解析式代入抛物线解析式点点B B的横的横坐标坐标点点B B的坐标的坐标. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)把把(0,0),(2,0)(0,0),(2,0)代入代入y=xy=x2 2+bx+c,+bx+c,得得 解得解得解析式为解析式为y=xy=x2 2-2x.-2x.(2)y=x(2)y=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1,-1,顶点为顶点为(1,-1),(1,-1),对称轴为直线对称轴为直线x=1.x=1.c

6、042b0，b2c0 ，(3)(3)设点设点B B的坐标为的坐标为(a,b),(a,b),则则 2|b|=3,2|b|=3,b=3b=3或或b=-3.b=-3.顶点纵坐标为顶点纵坐标为-1,-3-1(-1,-3-1(或或x x2 2-2x=-3-2x=-3时时,x,x无解无解),b=3,),b=3,xx2 2-2x=3,-2x=3,解得解得x x1 1=3,x=3,x2 2=-1,=-1,点点B B的坐标为的坐标为(3,3)(3,3)或或(-1,3).(-1,3).12【总结提升】【总结提升】确定二次函数一般式的四步骤确定二次函数一般式的四步骤1.1.设设: :设二次函数解析式为设二次函数解析

7、式为y=axy=ax2 2+bx+c(a0).+bx+c(a0).2.2.列列: :根据题意列方程组根据题意列方程组. .3.3.解解: :解方程组解方程组. .4.4.定定: :确定二次函数解析式确定二次函数解析式. .知识点知识点 2 2 利用顶点式确定二次函数解析式利用顶点式确定二次函数解析式【例【例2 2】(2013(2013安徽中考安徽中考) )已知二次函数图象的顶点坐标为已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),(1,-1),且过原点且过原点(0,0),(0,0),求该函数的解析式求该函数的解析式. .【解题探究】【解题探究】1.1.二次函数顶点式的形式是什么二次函数顶点式的形式是

8、什么? ?请根据顶点坐标将题中二次请根据顶点坐标将题中二次函数写成顶点式的形式函数写成顶点式的形式. .提示提示: :二次函数顶点式的形式为二次函数顶点式的形式为y=y=_. .题中二次函数图象的顶点坐标是题中二次函数图象的顶点坐标是(1,-1),y(1,-1),y=_.=_.2.2.将原点的坐标代入上述解析式求得将原点的坐标代入上述解析式求得a a并写出解析式并写出解析式. .提示提示: :二次函数图象过原点二次函数图象过原点,_=0,=0,解得解得a=a=_. .二次函数的解析式为二次函数的解析式为y y=_.=_.a(x-h)a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)a(x-1)a(x-

9、1)2 2-1-1a-1a-11 1(x-1)(x-1)2 2-1-1【互动探究】【互动探究】还可以用什么方法求该二次函数的解析式还可以用什么方法求该二次函数的解析式? ?提示提示: :根据顶点及对称性根据顶点及对称性, ,与与x x轴的另一个交点的坐标为轴的另一个交点的坐标为(2,0),(2,0),把这三个点的坐标代入一般式求解把这三个点的坐标代入一般式求解. .【总结提升】【总结提升】用顶点式求解析式的三种情况用顶点式求解析式的三种情况1.1.已知顶点坐标已知顶点坐标. .2.2.已知对称轴或顶点的横坐标已知对称轴或顶点的横坐标. .3.3.已知二次函数的最大已知二次函数的最大( (小小)

10、 )值或顶点的纵坐标值或顶点的纵坐标. .题组一题组一: :利用三点坐标确定二次函数的一般式利用三点坐标确定二次函数的一般式1.1.若若y=axy=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),则由表格中信息可知则由表格中信息可知y y与与x x之间的函数之间的函数关系式是关系式是( () )A.y=xA.y=x2 2-4x+3-4x+3B.y=xB.y=x2 2-3x+4-3x+4C.y=xC.y=x2 2-3x+3-3x+3 D.y=x D.y=x2 2-4x+8-4x+8x x-1-10 01 1axax2 21 1axax2 2+bx+c+bx+c8 83 3【解析】【解析】选选A

11、.A.观察表格可得方程组观察表格可得方程组 解得解得即即y=xy=x2 2-4x+3.-4x+3.222a 11a1b1c8a 0b 0c3（）（），a1b4c3 2.2.已知二次函数已知二次函数y=-2xy=-2x2 2, ,怎样平移这个函数的图象怎样平移这个函数的图象, ,才能使它经才能使它经过过(0,1)(0,1)和和(1,6)(1,6)两点两点? ?写出平移后的函数解析式写出平移后的函数解析式. .【解析】【解析】设设y=-2xy=-2x2 2+bx+c,+bx+c,把把(0,1),(1,6)(0,1),(1,6)代入代入, ,得得c=1,-2+b+c=6,c=1,-2+b+c=6,解

12、得解得b=7.b=7.平移后的函数解析式为平移后的函数解析式为y=-2xy=-2x2 2+7x+1.+7x+1.原抛物线的顶点为原抛物线的顶点为(0,0),(0,0),新抛物线的顶点为新抛物线的顶点为将原二次函数将原二次函数y=-2xy=-2x2 2的图象先向右平移的图象先向右平移 个单位个单位, ,再向上平移再向上平移 个单位个单位, ,可得可得y=-2xy=-2x2 2+7x+1+7x+1的图象的图象. .7 57( ,).48578743.3.二次函数图象过二次函数图象过A,C,BA,C,B三点三点, ,点点A A的坐标为的坐标为(-1,0),(-1,0),点点B B的坐标的坐标为为(4

13、,0),(4,0),点点C C在在y y轴正半轴上轴正半轴上, ,且且AB=OC.AB=OC.(1)(1)求点求点C C的坐标的坐标. .(2)(2)求二次函数的解析式求二次函数的解析式. .【解析】【解析】（1 1）AA（-1-1，0 0），），B B（4 4，0 0）, ,AO=1AO=1，OB=4OB=4，AB=AO+OB=1+4=5AB=AO+OB=1+4=5，OC=5OC=5，即点，即点C C的坐标为（的坐标为（0 0，5 5）. .（2 2）设图象经过）设图象经过A A，C C，B B三点的二次函数的解析式为三点的二次函数的解析式为y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a

14、0），由于这个函数图象过点（），由于这个函数图象过点（0 0，5 5），），可以得到可以得到c=5c=5，又由于该图象过点（，又由于该图象过点（-1-1，0 0），（），（4 4，0 0），），则则 解方程组，得解方程组，得所求的函数解析式为所求的函数解析式为y=- xy=- x2 2+ x+5.+ x+5.ab50,16a4b50,5a,415b,4 541544.4.已知二次函数的图象经过点（已知二次函数的图象经过点（0,30,3）, ,（-3,0-3,0）, ,（2,-52,-5），），且与且与x x轴交于轴交于A,BA,B两点两点. .（1 1）试确定此二次函数的解析式）试确定此二次函

15、数的解析式. .（2 2）判断点）判断点P P（-2,3-2,3）是否在这个二次函数的图象上）是否在这个二次函数的图象上? ?如果在如果在, ,请求出请求出PABPAB的面积的面积; ;如果不在如果不在, ,试说明理由试说明理由. .【解析】【解析】（1 1）设二次函数的解析式为）设二次函数的解析式为y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）, ,二次函数的图象经过点（二次函数的图象经过点（0,30,3）, ,（-3,0-3,0）, ,（2,-52,-5）, , 解得解得所以所以y=-xy=-x2 2-2x+3.-2x+3.（2 2）- -（-2-2）2 2-2-2（-2-2）+3

16、=-4+4+3=3,+3=-4+4+3=3,点点P P（-2,3-2,3）在这个二次函数的图象上）在这个二次函数的图象上. .令令-x-x2 2-2x+3=0,-2x+3=0,得得x x1 1=-3,x=-3,x2 2=1,=1,与与x x轴的交点为（轴的交点为（-3,0-3,0）, ,（1,01,0）. .S SPABPAB = = 4 43=6.3=6.c3,9a3bc0,4a2bc5, a1,b2,c3, 12题组二题组二: :利用顶点式确定二次函数解析式利用顶点式确定二次函数解析式1.1.下列二次函数中下列二次函数中, ,图象以直线图象以直线x=2x=2为对称轴且经过点为对称轴且经过点

17、(0,1)(0,1)的的是是( () )A.y=(x-2)A.y=(x-2)2 2+1 B.y=(x+2)+1 B.y=(x+2)2 2+1+1C.y=(x-2)C.y=(x-2)2 2-3-3 D.y=(x+2) D.y=(x+2)2 2-3-3【解析】【解析】选选C.C.根据以直线根据以直线x=2x=2为对称轴可知选项为对称轴可知选项A,CA,C符合符合, ,再根再根据图象经过点据图象经过点(0,1)(0,1)知选项知选项C C符合符合. .2.2.将抛物线将抛物线y=2xy=2x2 2-12x+16-12x+16绕它的顶点旋转绕它的顶点旋转180180, ,所得抛物线所得抛物线的解析式是

18、的解析式是( () )A.y=-2xA.y=-2x2 2-12x+16-12x+16B.y=-2xB.y=-2x2 2+12x-16+12x-16C.y=-2xC.y=-2x2 2+12x-19+12x-19D.y=-2xD.y=-2x2 2+12x-20+12x-20【解析】【解析】选选D.y=2xD.y=2x2 2-12x+16=2(x-3)-12x+16=2(x-3)2 2-2,-2,所以其顶点坐标为所以其顶点坐标为(3,-2),(3,-2),旋转后顶点不变旋转后顶点不变, ,开口方向向下开口方向向下, ,所以其解析式为所以其解析式为y=y=-2(x-3)-2(x-3)2 2-2=-2x

19、-2=-2x2 2+12x-20.+12x-20.3.3.抛物线抛物线y = axy = ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴的交点为轴的交点为(-1,0),(3,0),(-1,0),(3,0),其形状与其形状与抛物线抛物线y=-2xy=-2x2 2相同相同, ,则抛物线的解析式为则抛物线的解析式为( () )A.y=-2xA.y=-2x2 2-x+3-x+3 B.y=-2x B.y=-2x2 2+4x+5+4x+5C.y=-2xC.y=-2x2 2+4x+8+4x+8 D.y=-2x D.y=-2x2 2+4x+6+4x+6【解析】【解析】选选D.D.由已知可设该抛物线的解析式为由已知

20、可设该抛物线的解析式为y=-2(x-h)y=-2(x-h)2 2+k,+k,当当x=-1x=-1时时,y=-2(h+1),y=-2(h+1)2 2+k=-2h+k=-2h2 2-4h-2+k=0;-4h-2+k=0;当当x=3x=3时时,y=-2(3-h),y=-2(3-h)2 2+k=-2h+k=-2h2 2+12h-18+k=0,+12h-18+k=0,可得可得16h-16=0,h=1,16h-16=0,h=1,即即-2-4-2+k=0,k=8,-2-4-2+k=0,k=8,因此有因此有y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+8,+8,即即y=-2xy=-2x2 2+4x+6.+4x+6.4.4.如图如图, ,已知抛物线的图象如图所示已知抛物线的图象如图所示, ,则该抛物线的解析式是