误差传播定律

1、误差传播定律 本单元阐述了观测值中误差与其函数中误差之间的关系，称作误差传播定律。它是求观测值函数中误差的理论根据，希望大家认真掌握。 本单元主要内容：观测值函数中误差推导。 知识考核:倍数函数，和、差函数，线性函数及一般函数中误差公式；算术平均值中误差公式。 第一单元介绍的是根据一组等精度观测值的真误差，求观测值的中误差问题。但是在实际测量工作中，有些未知量往往是由观测值，通过一定的函数关系间接计算出来的。例如，水准测量时，高差h=a（后视读数）-b（前视读数），h是a、b的函数。又如坐标增量x=Scos，y=Ssin，x及y是距离S和坐标方位角的函数。 由于直接观测值有误差，故它的函数也必

2、然会有误差。研究观测值函数的精度评定问题，实质上就是研究观测值函数的中误差与观测值中误差的关系问题。这种关系又称误差传播定律。 （一）倍数函数的中误差 设有函数 Z=KX 用X与Z分别表示X和Z的真误差，则 Z+Z=K（X+X） 即Z=KX 这就是函数真误差与观测值真误差的关系式 设对X进行了n次观测，则有 Z1=KX1 Z2= KX2 ZN= KXN 得 2Z1=K22X1 2Z2=K22X2 2ZN=K22XN 2Z=K22X 按中误差定义，上式可表示为 m2Z=K2m2X 或 mZ=KmX 可见，倍数函数的中误差等于倍数（常数）与观测值中误差的乘积。 用比例尺在1：1000的图上量得长度

3、L=168 mm，并已知其中误差mi=0.2 mm，求相应地面上的水平距离S及中误差mS。 解：相应地面上的水平距离 S=1000L=168 m 中误差 mS=1000mi=0.2 m 最后写成 S=1680.2 m（二）和、差函数的中误差 设有函数Z=X+Y和Z=Z-Y，即Z=XY X、Y为独立观测值，所谓“独立”，是指观测值之间相互无影响，即任何一个观测值产生的误差，都不影响其他观测值误差的大小。一般来说，直接观测的值就是独立观测值。 令函数Z及X、Y的真误差分别为Z、X、Y。显然 Z+Z=（XX）（Y+Y）函数的中误差 Z=XY 观测n次，则有 Z1=X1Y1 Z2=X2Y2 Zn=Xn

4、Yn 将上列各式两边平方并求和，得 2Z=2X+2Y 2XY 例题例题习题1： 如图所示的测站点O，观测了、三个角度，已知它们的中误差分别为 12、 24、 24秒，求由此而得圆周角不符值的中误差。如果用方向观测法观测了这三个角且测角中误差为12秒，请问计算角的中误差是多少？习题2： 在1：500的图上，量得某两点之间的距离为D=23.4毫米，D的测量中误差为 0.2毫米，求该两点实际距离和它的中误差。（五）若干独立误差综合影响的中误差 一个观测值的中误差，往往受许多独立误差的综合影响。例如，经纬仪观测一个方向时，就受目标偏心、仪器偏心（仪器未真正对中）、照准、读数等误差的综合影响。这些独立误差都属于偶然误差。可以认为各独立真误差1、2、n的代数和就是综合影响的真误差F， F=1+2+n 若干独立误差综合影响的中误差 这相当于和、差函数真误差的关系式，故可得 m2F=m21+m22+m2n （8-19） 即观测值受各独立误差综合影响所产生的中误差的平方