第5章 数字控制器的连续设计方法(改)

1、离散化设计方法（也称为离散化设计方法（也称为直接设计方法直接设计方法）：）：将被控将被控对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离散控制理论的方法进行分析和综合，设计出满足控散控制理论的方法进行分析和综合，设计出满足控制指标的离散控制器，由计算机实现。制指标的离散控制器，由计算机实现。连续化设计方法连续化设计方法( (也称也称模拟化设计方法模拟化设计方法) )：忽略控制忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在回路中所有的零阶保持器和采样器，在s s域中按连域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，再通过续系统进行初步设计，求出连续控制器，再通过

2、某某种近似种近似，将连续控制器变换为离散控制器，由计算，将连续控制器变换为离散控制器，由计算机去实现。机去实现。 将将D(s)离散成离散成D(z)的方法有多种，离散化的方法有多种，离散化的实质是求得一个等效的控制器脉冲传递函数，的实质是求得一个等效的控制器脉冲传递函数，使之与连续域的控制器传递函数在很多方面是使之与连续域的控制器传递函数在很多方面是相似的相似的 比如在脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、比如在脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、稳态增益和零、极点分布等方面稳态增益和零、极点分布等方面 6 6种常用的离散化方法种常用的离散化方法n一阶差分变换法（一阶差分变换法（后向差分、前向

3、差分后向差分、前向差分）n双线性变换法（双线性变换法（突斯汀变换法突斯汀变换法）n频率预畸变的双线性变换法频率预畸变的双线性变换法n脉冲响应不变法（脉冲响应不变法（即即Z变换法变换法）n加零阶保持器的脉冲响应不变法加零阶保持器的脉冲响应不变法n零极点对应法零极点对应法一阶一阶差分变换法差分变换法（后向差分）（后向差分）（1）离散化公式）离散化公式11( )( )szsTD zD sTs为采样周期为采样周期 后向差分的近似式是后向差分的近似式是： ( )( )(1)st kTsde te ke kdtT等式左边取拉氏变换为：等式左边取拉氏变换为： ( )sE s等式右边取等式右边取Z Z变换为：

4、变换为： 11( )(1)1( )ssE zE zzzE zTT 这样可以得到变换关系：这样可以得到变换关系：11szsT结论：结论：11( )( )szsTD zD sjs平面0z平面0ImRe01-1后向差分法的映射关系S平面的虚轴映射为Z平面半径为1/2的圆 22211Re( )Im ( )22zzS左半平面的映射 2211SszTT 特点：特点：02 2、后向差分变换在、后向差分变换在从从0 时，唯一映射到半径为时，唯一映射到半径为1/21/2的圆上，因此没的圆上，因此没有出现频率混叠现象，但是频率被严重压缩了，不能保证频率特性不变，变有出现频率混叠现象，但是频率被严重压缩了，不能保证

5、频率特性不变，变换精度低，工程应用上受限制。换精度低，工程应用上受限制。优点优点是简单易做。是简单易做。图5-10 后向差分法的映射关系 1 1、 ( (即表示即表示S S平面左半平面平面左半平面) )，|z|1,|z|1,说明映射到说明映射到Z Z平面的单位圆内，平面的单位圆内，因此因此D(s)D(s)是稳定的，经后向差分变换后，是稳定的，经后向差分变换后，D(z)D(z)也是稳定的。也是稳定的。前向差分的近似式是：前向差分的近似式是：( )(1)( )st kTsde te ke kdtT变换式为：变换式为：1szsT或者或者1szsT （前向差分）（前向差分）结论：结论：1( )( )s

6、zsTD zD s js平面0z平面0ImRe01-1前向差分法的映射关系图5-11前向差分变换法的映射关系 令sj则1szj T S平面的虚轴，映射到平面的虚轴，映射到Z Z平面是一平面是一条过实轴条过实轴1 1，平行于虚轴的直线，平行于虚轴的直线令sj221(1)()sssszTj TzTT 要使要使 除除 外，还要外，还要 较小时才行，较小时才行，可见这种变换会产生不稳定的可见这种变换会产生不稳定的1z 0sT( )D z则 显见，显见，前向差分变换法中稳定的前向差分变换法中稳定的D(s)不能保证变换成稳不能保证变换成稳定的定的D(z)，要稳定采样周期缩小，要稳定采样周期缩小，且不能保证

7、有相同的脉冲且不能保证有相同的脉冲响应和频率响应。响应和频率响应。用后向差分变换法离散用后向差分变换法离散21( )0.21D sss假设假设1sTs12111121( )( )110.210.455( )10.455( )szsTssD zD szzTTU zzzE z等效差分方程（控制算法）为：等效差分方程（控制算法）为：u(k)=0.455e(k)- u(k-1)+0.455u(k-2) 双线性变换法双线性变换法梯形面积公式逼近积分运算原理梯形面积公式逼近积分运算原理 定积分定积分 0( )( )tu te t dt两边求拉氏变换两边求拉氏变换 1( )( )U sE ss积分传递函数积

8、分传递函数 ( )1( )s)U sD sEs（ kK-1e(k-1)e(k)eu(k-1)梯形面积运算图5-12 梯形面积运算( )(1) ( )(1)2sTu ku ke ke k求求Z变换变换 -11sTU(z)=z U(z)+ ( )( )2E zz E z积分积分Z的传递函数的传递函数1111( )1z1( )2 1 z( )2 1 z1zssTU zD zE zT离散化方法是：离散化方法是： 1121 z1 z( )( )ssTD zD s *双线性变换的映射关系分析双线性变换的映射关系分析22ssTszTs变换式的另一种形式变换式的另一种形式设设sj则则222244()242sS

9、SsSjTjTTzTjT 说明说明:从从0 z 的相角单调的从的相角单调的从0变换到变换到sj 2222(2)(2)ssTzTs平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z z平面的单位圆内平面的单位圆内结论：结论：从这样的映射关系可以看出，如果从这样的映射关系可以看出，如果 是稳定的，是稳定的，双线性变换后双线性变换后 也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象( )D s( )D z设设则则 s平面的虚轴，唯一映射到平面的虚轴，唯一映射到z z平面的单位圆上平面的单位圆上0,1sz21( )0.21D sss111122 1 z21 z11121211( )11

10、0.21(2)0.2(2) 1110.185(12)(z)1 1.1110.852(z)ssTD zzzsszzzzUzzE等效差分方程（控制算法）为：等效差分方程（控制算法）为：u(k)=1.111u(k-1)-0.852u(k-2)+0.185e(k)+0.37e(k-1)+ 0.185e(k-2)结论：结论：连续控制器连续控制器 零点少于极点数，经双线性变换后，零点少于极点数，经双线性变换后，零、极点数相等，这点可以做如下解释：由于双线性变换将零、极点数相等，这点可以做如下解释：由于双线性变换将整个整个S S平面一一对应变换到平面一一对应变换到Z Z平面，因此平面，因此 在无穷远处的在无

11、穷远处的零点，经双线性变换后被变换到零点，经双线性变换后被变换到z=-1z=-1处。处。( )D s( )D s应用：应用：使用方便，有一定精度和好的特性，应用较为普遍。使用方便，有一定精度和好的特性，应用较为普遍。不需要校正稳态增益。不需要校正稳态增益。但高频特性严重失真，主要用于低通环节的离散化。但高频特性严重失真，主要用于低通环节的离散化。s 01( )( )zD sD zn1. 定义：定义： D(z)D(S)( ) t( ) th(t)th(kTs)t脉冲响应不变法图图5-8 5-8 脉冲响应不变法脉冲响应不变法()sh kT 所谓所谓脉冲响应不变脉冲响应不变是指所设计出的是指所设计出

12、的D(z)其单位脉冲响应其单位脉冲响应与与D(s)的单位脉冲响应的单位脉冲响应h(t)的采样值相等的采样值相等 n假设由连续设计求得假设由连续设计求得 （5-55-5）n 其脉冲响应为其脉冲响应为 （5-65-6） n单位脉冲的响应离散时间值为单位脉冲的响应离散时间值为 0( )1( )( )niiiU sD sAE ssa1111( )L inna tiiiiih tAAesa1()iSna kTsiih kTA e1101( )1iSiSnna kTkiia TikiAD zAezez ()sh kT对对D(z)求求Z Z反变换得到反变换得到 ，所以符合单位脉冲响应不变的，所以符合单位脉冲

13、响应不变的条件，条件，D(z)是是D(s)的离散化。这一方法实质上是由的离散化。这一方法实质上是由D(s)直接求直接求Z变换的方法，当变换的方法，当D(s)很简单时，可以直接查很简单时，可以直接查Z Z变换表，如果变换表，如果D(s)较复杂，则必须先用部分分式展开成可查表的形式较复杂，则必须先用部分分式展开成可查表的形式对上式求对上式求Z Z变换变换 （5-85-8）（5-75-7）用脉冲响应不变法将用脉冲响应不变法将 离散成离散成D(z)D(z)，假设采样周期，假设采样周期Ts=1sTs=1s21( )0.21D sss222111.005 0.995( )0.21(0.1 0.995 )(

14、0.1 0.995 )(0.1)0.995D ssssj sjs0.110.10.222121.005sin0.9950.760.76( )( )2cos0.9950.9850.81910.9850.819( )sssTsTTszeTzzU zD zzzeTezzzzE z查查Z变换表变换表等效差分方程（控制算法）：等效差分方程（控制算法）：u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.76e(k-1)22)(basbaTaTaTebTzezbTze22cos2sin已知模拟控制器已知模拟控制器求数字控制器求数字控制器asasD)(1( )( )( )1( )saTaU zD

15、zD sezE z ( )( )(1)saTu kae keu k脉冲响应不变法的特点是：脉冲响应不变法的特点是：(1) (1) D(z)与与D(s)的脉冲响应相同的脉冲响应相同(2) (2) 若若D(s)稳定，则稳定，则D(z)也稳定也稳定(3) (3) D(z)不能保持不能保持D(s)的频率响应的频率响应(4) (4) D(z)将将 的整数倍频率变换到的整数倍频率变换到Z Z平面上的同一平面上的同一个点的频率，因而出现了个点的频率，因而出现了频率混叠频率混叠现象。现象。注意！两种避免频率混叠现象发生的方法注意！两种避免频率混叠现象发生的方法 采样器前串联低通滤波器，以衰减高频分量 使用足够

16、高的采样频率 连续控制器连续控制器D(s)应具有部分分式结应具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构。构或能较容易地分解为并联结构。D(s)具有陡衰减具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频率足特性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率的频率特性接近原连续控制器特性接近原连续控制器D(s)。2 2特点及应用范围特点及应用范围s5.3.3 加零阶保持器的脉冲响应不变法加零阶保持器的脉冲响应不变法保持器保持器用于将用于将离散模拟信号离散模拟信号变换成变换成连续模拟信号连续模拟信号，当把，当把零阶保持器加

17、进零阶保持器加进D(s)再离散，虽然仍采用脉冲响应不变法，但等再离散，虽然仍采用脉冲响应不变法，但等效效D(s)输入的是连续的模拟信号，因此较单纯使用脉冲响应不变输入的是连续的模拟信号，因此较单纯使用脉冲响应不变法离散法离散D(s)更接近于连续系统。更接近于连续系统。D(S)1sT sesD(S)1( )( )sT seDzZD ss加零阶保持器的脉冲响应不变法2.2.特点：特点：(1) D(s)是稳定的，变换后D(z)也是稳定的。(2) 由于零阶保持器具有低通滤波特性，将使信号最大频率低些，因此频率混叠现象将比单纯采用脉冲响应不变法要有所改善。(3) 零阶保持器的引入将带来相位滞后，故稳定裕

18、度要差些。 图图5-9 加加零阶保持器的脉冲响应不变法零阶保持器的脉冲响应不变法用加零阶保持器的脉冲响应不变法离散用加零阶保持器的脉冲响应不变法离散离离 ，假定采样周期，假定采样周期Ts=1sTs=1s21( )0.21D sss1222221111121212121110.10.995(z) Z (1)Z0.10.21(0.1)0.995(0.1)0.99511 0.49230.763(1)11 0.9850.8191 0.9850.8190.4310.403(1 0.9850.819sTsesDzsssssszzzzzzzzzzUzz )( )zE z等效差分方程（控制算法）等效差分方程（

19、控制算法）: : u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.431e(k-1)+0.403e(k-2)经双线性变换后，模拟频率与离散频率两者之间存在着非线性关系sjSjTZe将将 带入双线性变换式：带入双线性变换式：22222222222222222 121222.2sin22cos2TTTTjjjjsssssTTTTjjjjsssssTTjjssTTjjssTTTTjjjjssssTjTjssssssseeeeejTeTeeeeeejeejTTeeeeTjTT22ssTjtgT与与之间的非线之间的非线性性关系式关系式22ssTtgT 2sT2sTsTw与w之间的非线性关系

20、图5-13 之间的非线性关系 在模拟频率和离散频率之间却存在非线在模拟频率和离散频率之间却存在非线性关系。性关系。22ssTtgTsT0sT假设假设0( )1sD s 当考虑频率响应时，将当考虑频率响应时，将sj代入代入0()1jD j在临界频率在临界频率0 处有处有()1D jj 将将( )D s中的中的0变换成变换成002*2SsTtgT则则0( )122SssD sTtgT再再实施实施双线双线性性变换，变换，代入代入112 1 z1zssT0012 1()1212121222SSSjTjTjTSssSSsseD eTTetgTTtgTTtgT当当00()1SjTD ej保证了临界频率保证

21、了临界频率0处处( )D s与与( )D z有相同的特性有相同的特性 1. 将所期望的极点和零点（将所期望的极点和零点（s+a）,以以a代替代替as0s2*2*TatgTsasa2. 2. 将将D(s, a)变换成变换成D(z,a)D(z,a)112 1 z1 z( , )( , *)ssTD z aD s a3. 3. 调整增益，因为频率预畸变之后。零极点挪动，直流调整增益，因为频率预畸变之后。零极点挪动，直流增益发生了变化，所以必须保证变化前后直流增益不变出增益发生了变化，所以必须保证变化前后直流增益不变出发，进行增益调整。发，进行增益调整。10( )( )zsD zD s例例4-5已知已

22、知21( )0.21D sssTs=1s( )D s的临界频率的临界频率1/nrad s用频率预畸变的双线性变换法变换成用频率预畸变的双线性变换法变换成D(z)D(z) 1）进行频率预畸变进行频率预畸变s2*1.0932nnsTtgT2222211( )( ,*)20.2*10.2191.195nnnnnD sD sssssss2 2） 对对 进行双线性变换进行双线性变换( ,*)nD s11112 121111212( ,)( ,*)114()0.21921.195110.178 (1)10.9960.827snnzsTzkD zD szzzzkzzz令令10( )( )zsD zD s20

23、.178 (1 1)11 0.9960.827k1.17k 等效差分方程等效差分方程( (控制算法控制算法) ): :( ) 0.996 (1) 0.827 (2) 0.208 ( ) 0.416 (1) 0.208 (2)u ku ku ke ke ke k 21212121827. 0996. 01208. 0416. 0208. 0827. 0996. 01)1 (178. 017. 1)(zzzzzzzkzD(1)将将S平面左半面映射到平面左半面映射到Z平面单位圆内平面单位圆内(2)稳定的稳定的D(s)变换成稳定的变换成稳定的D(z)(3)没有频率混叠现象没有频率混叠现象(4)D(z)

24、不能保持不能保持D(s)的脉冲响应和频率响的脉冲响应和频率响应。应。定义：定义：5.3.6 极点零点对应法极点零点对应法 将s平面的零点或极点用ssTze关系映射到Z平面上可以定义为下列变换关系：1s1( )( )aTs azeD z def D s 对于复数极点或零点ss212()()12cos()aTaTSSajb Sajbz ebTez 1 同一个同一个( )D s用极点零点对应法和脉冲响应不变法变换后的用极点零点对应法和脉冲响应不变法变换后的( )D z极点相同而零点不同。极点相同而零点不同。 2 2 通常通常D(s)D(s)的零点数小于极点数，的零点数小于极点数，D(s)的某些零点在

25、无穷远处的某些零点在无穷远处ssTze的映射关系，对于具有低通滤波特性的的映射关系，对于具有低通滤波特性的D(s)把无穷远处的零点映射到把无穷远处的零点映射到3 3 要保证直流增益不变要保证直流增益不变, ,即即: :10( )( )zsD zD s不存在频率混叠现象；不存在频率混叠现象；D(s)稳定，变换后稳定，变换后D(z)稳定稳定1z 零极点对应法特点：零极点对应法特点：(1)(1)从上述各方法的原理看，除了前向差分外，只从上述各方法的原理看，除了前向差分外，只要原有的连续系统是稳定的，则变换以后得到的要原有的连续系统是稳定的，则变换以后得到的离散系统也是稳定的。离散系统也是稳定的。(2

26、)(2)采样频率对设计结果有影响，当采样频率远远采样频率对设计结果有影响，当采样频率远远高于系统的截止频率时高于系统的截止频率时(100(100倍以上倍以上) )，用任何一，用任何一种设计方法所构成的系统特性与连续系统相差不种设计方法所构成的系统特性与连续系统相差不大。随着采样频率的降低，各种方法就有差别。大。随着采样频率的降低，各种方法就有差别。按设计结果的优劣进行排序，以双线性变换法为按设计结果的优劣进行排序，以双线性变换法为最好，即使在采样频率较低时，所得的结果还是最好，即使在采样频率较低时，所得的结果还是稳定的。其次是零极点匹配法和后向差分。再次稳定的。其次是零极点匹配法和后向差分。再次是脉冲响应不变法。是脉冲响应不变法。各种离散化方法的比较各种离散化方法的比较n(3)(3)上述各种设计方法都有自己的特