不等式的证明(一)

1、就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。1、作差比较法的依据：、作差比较法的依据： （实数的运算性质）（实数的运算性质）0aba b 0a ba b 作差比较法的步骤：作差比较法的步骤： 作差作差变形变形定号定号（差值差值 的符号的符号）结论结论 0a ba b 6.2 6.2 不等式的证明不等式的证明1、比较法、比较法就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。2、作商比较法的原理及步骤：111bRaabbaabbaabb若步骤：作商步骤：作商变形（化简）变形（化简）判断判断 （商值与实数商值

2、与实数1的大小关系的大小关系）得出结论得出结论就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。例1. 已知 都是正数，并且 ， , a bab求证： 552332aba ba b证明：证明：552332()()aba ba b532523()()aa bba b322322()()aabbab2233()()abab222()() ()ab abaabb , a b都是正数， 220,0abaabb又2,()0abab222()() ()0ab abaabb即：552332aba ba b就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又

3、怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。 1.综合法的定义：综合法的定义： 利用已知条件和某些已知证明过的不等式（例如平均值利用已知条件和某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质等推导出所要证明的不等式成立，这定理）和不等式的性质等推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法种证明方法通常叫做综合法 2.综合法证题方法：综合法证题方法： 由已知推出结论，证明思路是由已知推出结论，证明思路是“由因导果由因导果”这里已知这里已知可以是已知条件、已知的重要不等式，也可以是已知的不等可以是已知条件、已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质式性质.用综合法证明不等式的逻辑关系用综合法证明

4、不等式的逻辑关系用综合法证明不等式的逻辑关系是：用综合法证明不等式的逻辑关系是： AB1B2BnB (A为已知的为已知的或已经证明过的不等式，或已经证明过的不等式，B为要证的不等式为要证的不等式)即综合法是即综合法是“由因导果由因导果” 2.综合法综合法就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。3.用综合法证题过程中要适当将原不等式变用综合法证题过程中要适当将原不等式变形，使其转化为易证的不等式形，使其转化为易证的不等式. 4.运用不等式的性质和已证过的不等式时，要注运用不等式的性质和已证过的不等式时，要注意他们各自成立的条件，这样才能使推理正

5、确，意他们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误结论无误. 就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。)0(2);0(2;2)4(22;4)(;2)3(;0)2(;0)1(:,2222222 ababbaababbaabbababaabbaabbaaa它它的的变变形形形形式式又又有有它它的的变变形形形形式式又又有有常常用用的的不不等等式式有有不不等等式式的的使使用用应应注注意意对对已已证证时时利利用用综综合合法法证证明明不不等等式式就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。例例2.已知已知

6、a,b,c R+,求证：求证：222222a bb cc aabcabc2222242222222222222222a bb ca b cab cb cc aabcc aa ba bc证明：三式相加得三式相加得 2(a2b2+b2c2+c2a2)2(a2bc+ab2c+abc2 ) =2abc(a+b+c) 222222a bb cc aabcabc000a 、b、c就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。.1111.abcabcabcabc例3已知 、 、 为不相等正数，且，求证：1111abcabcbccaababc证法1:、 、 为不相

7、等正数，且，222bccacaababbc222abca bcab c.abcabc ca abcabc b 就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。1111abcabcabcbccaab证 法 2:、 为 不 相 等 正 数 ， 且，111111222bccaab111.abc.1111.abcabcabcabc例3已知 、 、 为不相等正数，且，求证：就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。用分析法证证明的格式是：用分析法证证明的格式是： 欲证命题欲证命题B B为真，为真， 只需证命题只

8、需证命题B B1 1为真，为真， 只需证命题只需证命题B B2 2为真，为真， 只需证命题只需证命题B Bn n为真，为真， 只需证命题只需证命题A A为真，为真， 已知命题已知命题A A为真，为真， 故命题故命题B B为真。为真。用简要的形式写为：用简要的形式写为：B B B B1 1 B B2 2 B Bn n A A 结论结论 （寻求不等式成立的充分条件）条件或已知的不等式（寻求不等式成立的充分条件）条件或已知的不等式 分析法的思路是分析法的思路是“执果索因执果索因”，即从，即从求证的不等式出发，求证的不等式出发，不断地充分条件来代不断地充分条件来代替前面的不等式，直替前面的不等式，直至

9、找到已知的不等式至找到已知的不等式为止。为止。3分析法分析法就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。例例4.已知已知abc，求证：，求证：0111 accbba只需要证明只需要证明cacbba 111abc a c0 ，a b0,b c0111abbcac证明一：为了证明证明一：为了证明0111 accbba0111 accbba1 ()()abbcab bcac即证1 ()()acab bcac即证2()()() acab bc只要证2222 aaccabacbbc即证2220 abcabbcac也即证2222(0 abcabbcac也即证

10、 ）222() +()()0abbcca即证222() +()()0abbcca就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。4、放缩法5、反证法、6、判别式法、7、构造法8、换元法、就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。利用均值不等式放缩利用均值不等式放缩 求证：lg8lg121 而而 lg96lg100=2 lg8lg121.放缩法放缩法证明：lg80，lg120说明：本题应用对数函数的单调性利说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使用不等式平均值，不等式两次放大，

11、使不等式获证。不等式获证。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。*22211112()23nNnL1、求证：)1(13212111131211222nnn提示：将分子分母放大或缩小将分子分母放大或缩小 放缩法放缩法. 212)111()3121()2111(1nnn就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。2223,1111?23nL探 索 第 1题 从 第项 起 放 大 后小 于 多 少.47147121411)111()3121(411)1(13212111413121122222nnn

12、nnnn提示：放缩法放缩法就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。通过配方放缩通过配方放缩 设0 x，0y，0z，求证：0z，求证：zyxzyzyyxyx2222 证明： 2222zyzyyxyx zyxzyyx)2()2( 放缩法放缩法222243)2(43)2(yzyyyx 就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。 4241(41) 112aaa 424122bb 424132cc4()64141412abcabc 4141415abc 5141414cba 例、设a+b+c=1,且a、

13、b、cR+,求证证明：（方法一） a、b、cR+得a+b+c=1就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。141414cba方法二、144144144222ccbbaa222) 12() 12() 12(cba3)(2121212cbacba5141414cbaa+b+c=15141414cba 例、设a+b+c=1,且a、b、cR+,求证就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。a+b+c=133222cbacba方法三：31414143141414cbacba5213343141414cba

14、33)(4cba 原式成立 5141414cba 例、设a+b+c=1,且a、b、cR+,求证就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。ba21 22221cbcb 32221acac322223accbba求证：已知求证：已知0a,b,c1,b(2-c)1,c(2-a)10a,b,c0,2-c0,2-a0+得：3a+b判别式法判别式法证明：记 f(a)=a2+b2+ab+1-(a+b)0383133231412222bbbbbb=a2-(1-b)a+b2-b+1 f(a)0 a2+b2+1+ab-a-b0a2+b2+ab+1a+b就算天再高，

15、那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。构造函数法构造函数法22101039xyx求证: 证：设) 3(92txt 则ttytf1)(2 用定义法可证：f (t)在 用定义法可证：f (t)在), 3 上单调递增 令：3t1t2 则Q 1103333f tf就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。换元法换元法211122xx求证: 11x 令 x = cos , 0, 则2sin21sincos12xx证明： 11x 令 x = cos , 0, 则2sin21sincos12xx 211212xx2sin21sincos12xx 211212xx 1sin 21 Q就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。就算天再高，那又怎样！踮起脚尖，就更靠近阳光。小小结结：若0 x1，则可令x = sin (20)或x = sin2 (22)。 若122 yx，则可令x = cos , y = sin (20)。 若122 yx，则可令x = sec, y = tan (20)。 若x1，则可令x = sec (20)。 若xR，则可令x = tan (22)。