第26章二次函数单元评价检测(含答案解析)

1、 第26章 二次函数单元评价检测(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.下列函数中,属于二次函数的是()A.y=B.y=2(x+1)(x3)C.y=3x2D.y=2.在二次函数y=x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<1D.x>13.已知b<0,二次函数y=ax2+bx+a21的图象为下列四个图象之一.试根据图象分析,a的值应等于()A.2B.1C.1D.24.将二次函数y=2x28x1化成y=a(xh)2+k的形式,结果为()A.y=2(x2)21B.y=2(x4)2+32C.y

2、=2(x2)29D.y=2(x4)2335.已知抛物线y=x2x1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2m+2014的值为()A.2 012B.2 013C.2 014D.20156.将抛物线y=x26x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线表达式是()A.y=(x4)26B.y=(x4)22C.y=(x2)22D.y=(x1)23【变式训练】抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数表达式为y=(x1)24,则b,c的值为()A.b=2,c=6B.b=2,c=0C.b=6,c=8D.b=6,c=27.已知二次函数y=ax

3、2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列说法:c=0;该抛物线的对称轴是直线x=1;当x=1时,y=2a;am2+bm+a>0(m1).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题5分,共25分)8.抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式+x2+1<0的解集是.9.如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=2,点C在抛物线上,且位于点A,B之间(C不与A,B重合).若ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为(用含a的式子表示).10.对于二次函数y=ax2(2a1)

4、x+a1(a0),有下列结论:其图象与x轴一定相交;若a<0,函数在x>1时,y随x的增大而减小;无论a取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线上;无论a取何值,函数图象都经过同一个点.其中所有正确的结论是.(填写正确结论的序号)11.某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为件(用含x的代数式表示).12.如果函数y=(a1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是.三、解答题(共47分)13.(10分)如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于A,B两

5、点,其中点A的坐标为(3,0). (1)求点B的坐标.(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.若点P在抛物线上,且SPOC=4SBOC.求点P的坐标.14.(12分)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C,D两点,点P是x轴上的一个动点.(1)求此抛物线的表达式.(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标.15.(12分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根.(2)写出满足不等式ax2+bx+c>0时,x的取值范围.(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范

6、围.(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.16.(13分)某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数表达式并直接写出自变量x的取值范围.(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?参考答案一、选择题(每小题4分,共

7、28分)1.(2014·虹口区一模)下列函数中,属于二次函数的是()A.y=B.y=2(x+1)(x3)C.y=3x2D.y=【解析】选B.y=是反比例函数;y=2(x+1)(x3)=2x24x6是二次函数;y=3x2是一次函数;y=中不是整式,不是二次函数.2.在二次函数y=x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<1D.x>1【解析】选A.a=1,抛物线开口向下又对称轴x=1,在对称轴左侧y随x的增大而增大,当x<1时,y随x的增大而增大.3.已知b<0,二次函数y=ax2+bx+a21的图象

8、为下列四个图象之一.试根据图象分析,a的值应等于()A.2B.1C.1D.2【解析】选C.b<0,抛物线对称轴x=0,排除前两个图象.从后两个图象上看,抛物线的对称轴在y轴所在直线的右侧,x=>0,a>0.抛物线经过原点,a21=0,a=1.4.(2014·石景山区一模)将二次函数y=2x28x1化成y=a(xh)2+k的形式,结果为()A.y=2(x2)21B.y=2(x4)2+32C.y=2(x2)29D.y=2(x4)233【解析】选C.y=2x28x1=2(x24x+4)81=2(x2)29.5.(2014·黔东南州中考)已知抛物线y=x2x1与x

9、轴的一个交点为(m,0),则代数式m2m+2014的值为()A.2 012B.2 013C.2 014D.2015【解析】选D.抛物线y=x2x1与x轴的一个交点为(m,0),m2m1=0,m2m=1.m2m+2014=2015.6.(2014·荆门中考)将抛物线y=x26x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线表达式是()A.y=(x4)26B.y=(x4)22C.y=(x2)22D.y=(x1)23【解析】选B.y=x26x+5=(x3)24,即抛物线的顶点坐标为(3,4),把点(3,4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,2

10、),所以平移后得到的抛物线表达式为y=(x4)22.故选B.【特别提醒】因为平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小,所以二次项系数相同的二次函数均能互相平移得到.【变式训练】(2013·衢州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数表达式为y=(x1)24,则b,c的值为()A.b=2,c=6B.b=2,c=0C.b=6,c=8D.b=6,c=2【解析】选B.函数y=(x1)24的顶点坐标为(1,4),是先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到,12=1,4+3=1,平移前的抛物线的顶点坐标为(1,1),平移前的抛物线的表达式

11、为y=(x+1)21,即y=x2+2x,b=2,c=0.7.(2014·威海中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列说法:c=0;该抛物线的对称轴是直线x=1;当x=1时,y=2a;am2+bm+a>0(m1).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点,c=0,故正确;二次函数与x轴的交点坐标是(2,0)和(0,0),对称轴是直线x=1,故正确;=1,b=2a,当x=1时,y=a+b+c=a+2a+c=3a,故不正确;b=2a,am2+bm+a=am2+2am+a=a(m+1)2,又m1,a

12、>0,a(m+1)2>0,故正确.二、填空题(每小题5分,共25分)8.抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式+x2+1<0的解集是.【解析】+x2+1<0,x2+1<,交点A的横坐标是1,不等式的解集是0<x<1.答案:0<x<19.(2014·长春中考)如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=2,点C在抛物线上,且位于点A,B之间(C不与A,B重合).若ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为(用含a的式子表示).【解析】对称轴

13、为直线x=2,抛物线经过原点、与x轴负半轴交于点B,OB=4,由抛物线的对称性知AB=AO,四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=ABC的周长+OB=a+4.答案:a+410.(2014·乌鲁木齐中考)对于二次函数y=ax2(2a1)x+a1(a0),有下列结论:其图象与x轴一定相交;若a<0,函数在x>1时,y随x的增大而减小;无论a取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线上;无论a取何值,函数图象都经过同一个点.其中所有正确的结论是.(填写正确结论的序号)【解析】因为=(2a1)24a(a1)=4a24a+14a2+4a=1>0,所以图象与x轴一定相交,所以

14、正确;若a<0,则抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,因为a<0,所以1>1,即对称轴直线x>1,所以函数在x>1时,不能判断y就一定随x增大而减小,故错误;抛物线的顶点坐标可表示为,x=1,y=,所以有得y=x,故无论a取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线y=x上,所以正确;观察表达式,发现当x=1时,函数值y=0,与a的取值无关,所以也正确,故正确的结论是.答案:11.(2014·玄武一模)某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为件(用含x的代数式表示).【解析】由函数的图

15、象可知点(30,2700)和点(60,0)满足表达式w=mx2+n,解得:w=x2+3600,设销售量为a,则a(60x)=w,即a(60x)=x2+3600,解得:a=60+x.答案:(60+x)12.(2014·株洲中考)如果函数y=(a1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是.【解析】y=(a1)x2+3x+经过平面直角坐标系的四个象限,y=(a1)x2+3x+需满足下列两个条件:(1)它与x轴有两个交点,即:324(a1)×>0,解之得:a<,由于a<,故抛物线的对称轴x=>0,给出草图.(2)抛物线与y轴的交点

16、纵坐标大于0,即:>0,解之得:a>1或a<5,综上可知:a<5.答案:a<5三、解答题(共47分)13.(10分)如图,对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于A,B两点,其中点A的坐标为(3,0).(1)求点B的坐标.(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.若点P在抛物线上,且SPOC=4SBOC.求点P的坐标.【解析】(1)对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于A,B两点,A,B两点关于直线x=1对称,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(1,0).(2)a=1时,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线

17、x=1,=1,解得b=2.将B(1,0)代入y=x2+2x+c,得1+2+c=0,解得c=3.则二次函数的表达式为y=x2+2x3,抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,3),OC=3.设P点坐标为(x,x2+2x3),SPOC=4SBOC,×3×|x|=4××3×1,|x|=4,x=±4.当x=4时,x2+2x3=16+83=21;当x=4时,x2+2x3=1683=5.点P的坐标为(4,21)或(4,5).14.(12分)(2014·齐齐哈尔中考)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交

18、于C,D两点,点P是x轴上的一个动点.(1)求此抛物线的表达式.(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标.【解析】(1)抛物线的顶点为A(1,4),设抛物线的表达式为y=a(x1)2+4(a0),把点B(0,3)代入得,a+4=3,解得a=1,抛物线的表达式为y=(x1)2+4.(2)点B关于x轴的对称点B'的坐标为(0,3),由轴对称确定最短路线问题,连结AB'与x轴的交点即为点P,设直线AB'的表达式为y=kx+b(k0),则解得直线AB'的表达式为y=7x3,令y=0,则7x3=0,解得x=,所以,当PA+PB的值最小时的点P的坐标为.15.(12分)二

19、次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根.(2)写出满足不等式ax2+bx+c>0时,x的取值范围.(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.【解析】(1)由抛物线与x轴两个交点的横坐标,可知方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1,x2=3.(2)依题意,因为ax2+bx+c>0,得出x的取值范围为1<x<3.(3)如题图可知,当y随x的增大而减小时,自变量x的取值范围为x>2.(4)由顶点(2,2)设方程为a(x2)2+2=0,二次函数与x轴的两个交点为(1,0),(3,0),代入a(x2)2+2=0得:a(12)2+2=0,a=2,抛物线方程为y=2(x2)2+2,y=2(x2)2+2k实际上是原抛物线下移或上移|k|个单位.可知,当2k>0时,抛物线与x轴有两个交点.故k<2.16.(13分)某商品的进价为每件4