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1、精选优质文档-倾情为你奉上第九节 在极坐标系下二重积分的计算根据微元法可得到极坐标系下的面积微元 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为 (9.1)分布图示 利用极坐标系计算二重积分 二重积分化为二次积分 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 内容小结 课堂练习 习题6-9内容提要： 一、二重积分的计算 1如果积分区域介于两条射线之间，而对内任一点，其极径总是介于曲线之间（图6-9-2），则区域的积分限于是(9.2) 具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间上任意作一条极角为的射线穿透区域（图6-9-2），

2、则进入点与穿出点的极径就分别为内层积分的下限与上限.2如果积分区域是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当的特例，此时，区域的积分限于是 (9.3)3如果积分区域如图6-9-4所示，极点位于的内部，则可以把它看作是第二种情形中当的特例，此时，区域的积分限于是(9.4) 注：根据二重积分的性质3，闭区域的面积在极坐标系下可表示为 (9.5)如果区域如图6-9-3所示，则有 (9.6)例题选讲： 例1（E01）计算，其中D是由所确定的圆域.解 如图，区域在极坐标下可表示为故例2（E02） 计算, 其中积分区域是由所确定的圆环域.解 由对称性，可只考虑第一象限部分,注意到被积函

3、数也有对称性,则有例3（E03）计算, 其中D是由曲线所围成的平面区域.解 积分区域是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为 于是区域的积分限为 所以 例4写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域解 利用极坐标变换易见直线方程的极坐标形式为故积分区域的积分限为所以例5 计算,其中为由圆及直线, 所围成的平面闭区域.解 所以 例6 将二重积分化为极坐标形式的二次积分,其中是曲线 及直线所围成上半平面的区域.解 如图，令则的边界的极坐标方程分别变为及例7（E04）求曲线和所围成区域的面积.解 根据对称性有在极坐标系下 由 得交点 故所求面积例8求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.解 如图，由对称性，有其中为半圆周及轴所围成的闭区域.在极坐标中，积分区域课堂练

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