高中数学导数知识点与习题(内附答案)

1、1/251/251.函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为旦f(x2)f(x)f(Xx)f(x)xxx2xx注1:其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limlimf(Xox)f(Xo),则称x0 xx0 x函数yf(x)在点xo处可导，并把这个极限叫做yf(x)在xo处的导数，记作f(xo)或ylxx。，即f(x)=lim旦limf(xox)f(xo).xOxxOx3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切

2、线的斜率。4导数的背景是什么？答：(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy0n*yxnN,n1ynxn1xndxn1yaxa0,a1yaxlnaxx.aadxlnaxye1_xye_xxedxeylogaxa0,a1,x0yxlnaylnx1y-x1.dxlnxx2/251/25ysinxycosxcosxdxsinxycosxysinxsinxdxcosx3/252/256、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx,gx均可导(可积),则有:和差的导数运算1-f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数运算1f(x)g(x

3、)f(x)g(x)f(x)g(x)特别地：CfxCfx商的导数运算wf(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x)g(x)特别地：4gxgx复合函数的导数yxyuUx微积分基本定理bfxdx(其中Fxfx)a和差的积分运算bbbf(x)f2(x)dxf(x)dxf2(x)dxaaabbkf(x)dxkf(x)dx(k 为吊数)积分的区间可加性bcbf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中 acb)acb)aac6.用导数求函数单调区间的步骤是什么?答：求函数f(x)的导数f(x)2令f(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间.3令f(x)0,解不

4、等式，得x的范围，就是递减区间;注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。求函数f(x)的导数f(x)(3)求方程f(x)=0的根用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区问分成若干小开区问，并列成表格，检查fx)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8利用导数求函数的最值的步骤是什么？4/252/25答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:求f(x)在a,b上的极值;将f(x)的各极

5、值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;9.求曲边梯形的思想和步骤是什么？10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:性质1idxaba性质5若f(x)b0,xa,b，贝Uf(x)dx0abbbb推广：f(x)f2(x)Lfm(x)dxf(x)dxf2(x)dxLfm(x)aaaabC1C2b推广：af(x)dxf(x)dxf(x)dxLf(x)dxaCIck11定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.11(l)当对应的曲边梯形位丁x轴上方时，定积分的

6、值取正值,且等丁x轴上方的图形面积;-1O、丁(2)当对应的曲边梯形位丁x轴下方时， 定积分的值取负值,且等丁x轴上方图形面积的相反数；(3)当位丁x轴上方的曲边梯形面积等丁位丁x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为Q,且等丁x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.12.物理中常用的微积分知识有哪些？1J答：(i)位移的导数为速虹速度的导数为加速度。一GW(2)力的积分为业、数学选修2-2推理与证明知识点必记13.归纳推理的定义是什么？答：从个别半实中推演出二跟件的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整作.，由个别到二股的推理。答：圈!反似代替|可|取极限(以直代曲”的思想)

7、5/252/2514.归纳推理的思维过程是什么？哭,+虱苗门囱.实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点有哪些？答：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚届未知的一般现象。2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。3归纳推理是一种具有创造性的推理， 通过归纳推理的猜想， 可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理c17

8、.类比推理的思维过程是什么？敖.观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般.到特殊的推理。19.演绎推理的主要形式是什么？答：三段论20.“三段论”可以表示为什么？答：大前题：M是P小前提：S是M结论：S是P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实

9、性。直接证明包括综合法和分析法。22.什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式： 要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24什么是间接证明？6/252/25答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤是什么？答：(1)假设命题结论不成立，即假设结论

10、的反面成立；(2)从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在x使不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在x使成立至少有n个至多有n-1个p或qp且q至多有n个至少有n+1个P且qp或q27.反证法的思维方法是什么？答：正段则反28.如何归缪矛盾？答：(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾.29.数学归纳法(只能证明与正瞥强.有关的数学命题)的步骤是什么？答：(1)证明：当n取第二个值nonoN时命题成立；(2)假

11、设当n=k(kN*,且k奇o)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由(1),(2)可知，命题对丁从no开始的所有正整数n都正确*注：常用丁证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记30.复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集Cabi|a,bR叫做复数集。规定：abicdia=c且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。实数(b0)32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.什么是复平面？答：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi,都可以由一个有

12、序实数对(a,b)唯一确定。由丁有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此31.数集的关系有哪些？答:复数Z虚数(b0)一般虚数(a0)纯虚数(a0)7/252/2511C.(2,8)D.(-2,-8)2.曲线132yxx5,过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，X轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。实轴上的点都表小实数,除了原点外，虚轴上的点都表小纯虚数。34.女复数的模（绝对值）？答：与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模（也叫绝对值）记作z或abi。由模的定义可知

13、：zabiJa2b235.复数的加、减法运算及几何意义是什么？答：复数的加、减法法则：ziabi与zcdi，贝U乙互ac（bd）i。注：复数的加、减法运算也可以按向JL的加、减法来进行。复数的乘法法则：（abi）（cdi）acbdadbci。abi(abi)(cdi)acbdbcad.cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d21其中cdi叫做实数化因子36.什么是共钥复数？、题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线yx3在P点处的切线斜率为k,若k=3,则P点为（复数的除法法则:两复数abi与abi互为共钥复数，当0时, 它们叫做共钥虚数。;zZ;(2)zz2a,zz2bi;(3)zzz2222

14、za2b2；(4)Zz；(5)zz4n1.4n24.4n3 4n4A(6)ii,i1,ii,1;21i1i1i1ii;(8)】.1i1i*而(9)设的立方虚根，则203n13n2一3n3常见的运算规z21、3i2是11A.(2,8)B.(-1,1)或(1,1)8/252/25C4、(2010年山东21)(本小题满分12分)1a.已知函数f(x)1nxaxa1(aR).x(i)(i)当a1a1时，求曲线yf(x)yf(x)在点(2,f(2)(2,f(2)处的切线方程;1 1(n)当 a2a100!10/252/25则实数m的取值范围为(3).函数y=f(x)=x+ax2+bx+a?，在x=1时，

15、有极值10,则a=,bo(4).已 知 函 数f(x)4x3bx2ax5在x-,x1处有极值，那么a;2b(5).已知函数f(x)x3ax在R上有两个极值点，贝U实数a的取值范围是*(6) .已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值乂有极小值，则实数a的取值范围是(7) .若函数f(x)x3x2mx1是R是的单调函数，则实数m的取值范围是-(8).设点P是曲线yx3必x2上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则3角的取值范围是。三.解答题1.已知函数f(x)x3成2axd的图象过点P(0,2)，且在点M(1,f(1)处的切线方程为6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式；(皿)求函数

16、y的单调区间.2.已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值.(I)讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(n)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程3.已知函数f(x)ax3-(a2)x26x32(9)曲线y1x33A.19二.填空题(1).垂直丁直线是x在点1,43B.-9处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(2x+6y+1=0且与曲线3x22x+5,当x2D.-3y=x3+3x5相切的直线方程1,2时，f(x)m包成立,f(x)11/252/25(1)当a2时，求函数f(x)极小值；(2)试讨论曲线yf(x)与x轴公共点的个数。4.已知x1是函数f(

17、x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中m,nR,m0,(I)求m与n的关系式；(II)求f(x)的单调区间；(III)当x1,1时，函数yf(x)的图象上任意一点的切线斜率包大丁3m,求m的取值范围.5.设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值.(I)求a、b的值；(皿)若对丁任意的x0,3,都有f(x)c2成立，求c的取值范围.6.已知f(x)ax3成2cx在区间0,1上是增函数，在区问(,0),(1,)上是减函数，乂f(1)-.22(I)求f(x)的解析式；(II)若在区间0,m(m0)上包有f(x)x成立，求m的取值范围.7.设函数f(x)ax3bxc(a0

18、)为奇函数，其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(I)求a,b,c的值；(皿)求函数f(x)的单调递增区问，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小12/2511/25高二数学理导数测试题2第 I I 卷(选择题，共60分)、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上1.设y1一，贝Uysinxx(sinxcosx)在区间0,圳的值域为(在每小题给出的四个选项中，只有13/2511/252时取得极值，则XIx2的值为(A.4B.5C.6D.不确定1312_6.在 R R 上的可导函数f(x)-x

19、-ax2bx32取得极小值，则 2 2的取值范围是().a12xsinx(1x2)cosxA.2sinxB.2xsinx(1x2)cosx_2sinxsinx2.设f(x)ln%x21,则f(2)(.4-2八A.B.C.55-,.2xx3A.4B.0C.4.曲线y815x3在点(2,8)处的切线方程为(2、C2xsinx(1x)2、2xsinx(1x)3D.-5业也的值为()x6x12B.C.8x10D.5.已知函数f(x)3,2axbxcxsinxD.不存在12x162x32d的图象与x轴有三个不同交点(0,0),(x1,0),(x2,0),11A(J)B.(；1)C.(11、2,4)D.7

20、.函数f(x)c，当x(0,1)取得极大值，当x(1,2)14/2512/2538B.311.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时，底面边长为（12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界纸花瓣的面积为（D.第口卷（非选择题，共90分）13.曲线yx3在点（a,a3）（a0）处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形的面积为14.一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移是S1t43t32t2,那么速度45112一,一e22 211B(,一e2 2)C1,灵D(1仍8.积分x2dxA.B.1a229.由双曲线2x-2ayb,yb围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为

21、（）8A.-3ab2a2b210.由抛物线y2x与直线yx4所围成的图形的面积是（A.3、.VB.32VC.34V16C.3由六段全等的正弦曲线弧ysinx（0 x）组成，其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点,则这个二、填空题（每小题4分，共16分。请将答案填在答题卷相应空格上。）15/2513/25为零的时刻是16/2513/2515-limj22nn21n222416-0(|x1|x3|)dx三、解答题：(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(17)(本小题满分10分)已知向量a(x2,x1),b(1x,t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增

22、函数,求t的取值范围。过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程(19)(本小题满分14分)设0 xa,求函数f(x)3x48x36x224x的最大值和最小值。(20)(本小题满分12分)用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为心角多大时，容器的容积最大？(18)(本小题满分12分)已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值.讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆17/2514/25(21)(本小题满分12分)直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分，求k的值.(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)

23、Inx,g(x)1ax2bx,a0。(1)若b2,且函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围。(2)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P,Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C、C2于点M,N。证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。一、选择题(本大题共有10小题，每小题5,共50分)1. f(x)=x3,f(x)=6,贝Uxo=()(A)龙(B)-扼(C)而(D)12.若函数f(x)=2x2+1,图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Ax,3+y),则旦=x()A4B4xC4+2xD2x3.若fxo2,则limfxofxo的值为()A.-2

24、B.2C.-1D.14.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行丁直线y=4x，则点Po的坐标是()18/2515/25A.(o,1)B.(1,o)C.(-1,-4)或(1,。)D.(-1,-4)19/2515/255.函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值与最小值分别是(A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-166.设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为()A.单调递增，B、有增有减C、单调递减，D、不确定7.已知f(x)=Vx-sinx，则f(1)=()A.-+cos1B.1sin1+cos1C.-sin1-cos1333D.sin1+cos18.若函数f

25、(x)在区间(a,b)内函数的导数为正，且f(b)0,则ln(1+x)xrx22/2517/25.BBDDDCDDA.1、y=3x-52、13,)7、(1)f(x).解：bx2cx6xy高二数学理导数测试题1参考解答m7(2,3、4-11418,35、(,0)6f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,所以2,f(x)3x22bxc.由在M(1,f(1)处的切线方程是f(1)70,即f(1)1,f(1)6.32b1c6,c2即2b1.b3.3解得bc0,3.故所求的解析式是f(x)3x23x2.(x)3x26x3.令3x26x3。，即x22x10.解得x111.2.12,或x1S2时,f(x)

26、0；当1、.2/2时,f(x)0.故f(x)x33x23x2在(,1V2)内是增函数,在(12,1*任)内是减函数，在(1巨,解：f(x)3ax22bx3,依题意，f(1)f(1)0,即3a2b3030,解得a1,b0.3a2b30.f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1).令f(x)0,得x1,x1.若x(,1)(1,)，则f(x)0,故f(x)在(，1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数)内是增函数.2.(I)若x(1,1),所以，f(1)(U)解：曲线方程为设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y则f(x)0,故f(x)在(1,1)上是减函数.2是极大值；f(1)2

27、是极小值.yx33x,点A(0,16)不在曲线上.3x0.因f(x)3(x21)，故切线的方程为yy3(x2注意到点A(0,16)在切线上，有16化简得x38，解得x2.所以，切点为M(2,2),切线方程为3x1)(xx)(x33x)9xy163(x21)(0 x)0.23/2517/2524/2518/253.解：(1)f(x)3ax23(a2)x63a(x-)(x1),f(x)极小值为f(1)|(2)若a0,则f(x)3(x1)2,f(x)的图像与x轴只有一个交点；2若a0,f(x)极大值为f(1)a0,Qf(x)的极小值为f(Z)0,2af(x)的图像与x轴有三个交点；3若0a2,f(x

28、)的图像与x轴只有一个交点；4若a2,则f(x)6(x1)20,f(x)的图像与x轴只有一个交点；5若a2,由(1)知f(x)的极大值为f(Z)4(1-)230,f(x)的图aa44像与x轴只有一个交点；综上知，若a0,f(x)的图像与x轴只有一个交点；若a0,f(x)的图像与x轴有三个交点。4.解(I)f(x)3mx26(m1)xn因为x1是函数f(x)的一个极值点，所以f(1)0,即3m6(m1)n0,所以n3m62一一-2(II)由(I)知，f(x)3mx6(m1)x3m6=3m(x1)x1一m2当m。时，有11-，当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表：x,1m12m1111,f(x)00000f(x)调调递减极小值单调递增极大值单调递减2故有上表知，当m。时，f(x)在,1-单调递减,25/2518/25m.2在(1一,1)单调递增，在(1,)上单调递减.(III)由已知得f(x)3m,即mx22(m1)x202