全等三角形的提高拓展训练经典题型50题(含答案)

1、全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的，公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角.(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等

2、三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS：三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AA§:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍

3、、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知 ABC中，A 60°, BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例2】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN 60 ,射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的MBEea. z里关系【变式拓展训练】如图，点 M为正方形 ABCD的边AB上任意一点, 于点N , MD与MN有怎样的数量关系MN DM且与/ABC外角的平分线交【例3】 已知：如图， ABCD是正方形，/

4、FAD=/FAE求证：BE+DF=AE.【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、 ACE ,连结CD、BE相交于点O .求证：OA平分 DOE .BC【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示， ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在AB、AC上，求 AMN的周长.【例 6】 五边形 ABCDE中，AB=AE, BC+DE=CD, / ABO/AED=180°, 求证：AD平分/CDE板块二、全等与角度 【例7】如图，在 ABC中, 求 ABC的度数.BAC 60 , AD 是 BAC 的

5、平分线，且 AC AB BD ,【例8在等月ABC中，AB AC,顶角 A 20 ,在边AB上取点D ,使AD BC , 求 BDC .A【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题M在AC上，N在BC上，且满足）如图所示，在 ABC中，AC BC,BAN 50 , ABM 60 ,求 NMB .C【例10】在四边形ABCD中，已知AB AC, 求 DBC的度数.ABD 60 , ADB 76 ,【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，CAB 36 , ABD48 , DBC 24 ,在四边形ABCD中求 ACD的度数.【例12】（河南省数学竞赛试题在ABC外取一点E ,）在正 ABC内取一点 D

6、,使DA DB , 使 DBE DBC，且 BE BA,求 BED.【例13（北京市数学竞赛试题）如图所示，在 ABC中，BAC BCA 44 , M为 ABC 内一点，使得MCA 30 , MAC 16 ,求 BMC的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1.已知：AB=4, AC=2, D是BC中点，AD是整数，求 ADBD延长 AD至ij E使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE/ 1 = / 2,求证:ZABE=Z FBE,BE=BEl以 ABE A FBE(SAS),EFB之 A;AB平行于

7、CD贝U：/A+C D=180°又/ EFB+Z EFC=180 则/ EFC4 D;又/ FCE4 DCE,CE=CEM FCE A DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.6 .已知，E是 AB 中点，AF=BD, BD=5, AC=7,求 DC作AG / BD交DE延长线于GAGE全等BDEAG=BD=5AGF CDFAF=AG=5所以 DC=CF=27 . (5 分)如图，在 ABC 中，BD=DC, AD± BC.延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/DBC=/ 角 DCB;/ 1 = / 2;/ DBC+/1 =/角 DCB+/2

8、;/ABC=/ ACB;所以：AB=AC;三角形ABD全等于三角形 ACD;/ BAD=Z CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线8. （5 分）如图，OM 平分/ POQ, MA±OP,MB±OQ, A 求证：/ OAB=Z OBAQ因为AOM与MOB都为直角三角形、共用b/所以 MA=MB/mab="所以 / MAB= / MBAM因为/ OAM=/ OBM=90 度O-P 所以/ OAB=90-Z MAB / OBA=90-/ MBA所以/ OAB=Z OBA、B为垂足，AB交OM于点N.OM,且/ MOA= Z MOB所以：AD垂直BC9. （5分）如图，已

9、知 AD/ BC, /PAB的平分线与/ AP于 D,求证：AD+BOAB.Pc 证明：Ee17做be的延长线，与 AP相交十DA FABc<CBA的平分线相交于 E, CE的连线交F点，PAA13、（ 10 分）AB=AC, DB=DG/ F是AD的延长线上的一点。求/J BF=CF证明：在g中/ DD Bb4-J-0WMC、aCAABDA ACD人EAB=AC/BD=DCAD=ADABDA ACD/ ADB=Z ADC/ BDF=Z FDC在 BDFA FDC中BD=DC/ BDF=Z FDCDF=DF . FBg FCD.BF=FC14、（12 分）如图：AB=CD, AE=DF,

10、 CE=FB 求证:B<>CFA -. bAF=DEMF因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE二 三角形CDF因为角DCB照ABFAB=DC BF=CE三角形人85三角形CDE所以AF=DE15.已知：如图所示， AB= AD, BC= DC, E、F分别是 DC BC的中点，求证：AE= AF。D连结BD,得到等腰二角形 ABD和等腰二角形 BDC,由等腰E两底角相等得：角 ABC照ADC在结合已知条件证得：/ 二AD叵 ABF 得 AE=AF16 .如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，/ 1 = /2,/3=/4,求证：/5=/6.

11、因为角1二角2/3=/4所以角ADC=1 ABC.又因为AC是公共边，所以AAS=*角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以/ 5=7 617 .已知：如图,AB=AC, BD AC, CE AB,垂足分另为 D、E,BE=CD.证明：因为AB=AC,所以/ EBC=Z DCB因为BD± AC, CE1 ABBD> CE相交于点F,求证:所以/ BEC=Z CDBBC=CB公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE= CD18 .如图，在 ABC中，AD为/ BAC的平分线，DEL AB于E, DF

12、77; AC于F。求证：DE=DF.AAS证AD EA ADF19 .在 ABC中， ACB 90 , AC BC,直线MN经过点BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证: DE AD BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗若成立，请给出证明; 若不成立，说明理由.图1图220.如图：BEX AC,CFL AB, BM=AC, CN=AR 求证:证明：(1)(1) AM=AN; (2) AM LAN。(1)证明：ACB=90 ,(2) .ACD+/ BCE=90,(3)而 ADL MN 于 D, BEX MN 于 E,(4) .ADC=/ CEB=90 , / BCE+Z CBE=90 , ./ ACD=/CBE(6)在 RtADC和 RtCEB中，/ADC=/ CEBZ ACD=Z CBE AC=CB RtAADC RtA CEB (AAS ,(8) AD=CE DC=BE(9) DE=DC+CE=BE+AD(2)不成立，证明：在 ADC和 CEB中，/ADC=/ CEB=90 / ACD=/ CBE AC=CB.AD8 CEB