Chap5-劳斯判据

1、1第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析稳定性的基本概念稳定性的基本概念系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件Routh稳定判据稳定判据Nyquist稳定判据稳定判据 Bode稳定判据稳定判据 系统的相对稳定性系统的相对稳定性2稳定性的基本概念稳定性的基本概念 稳定是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实稳定是控制系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界或内部一些因素的扰动，例际运行过程中，总会受到外界或内部一些因素的扰动，例如负载波动、系统参数的变化等。因此如负载波动、系统参数的变化等。因此,如何分析系统的稳如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施是

2、控制理论的基本任务之定性并提出保证系统稳定的措施是控制理论的基本任务之一。一。 定义定义 如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能恢复到初始平衡状态，则这种大，当扰动取消后，系统都能恢复到初始平衡状态，则这种系统称为系统称为大范围稳定大范围稳定的系统；的系统； 如果只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统如果只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为初始平衡状态，则这样的系统

3、称为小范围稳定小范围稳定的系统；的系统；3大范围稳定大范围稳定小范围稳定小范围稳定不稳定不稳定稳定性的基本概念稳定性的基本概念理解理解注意注意对于线性系统而言：对于线性系统而言：1 1、若稳定、若稳定, ,它必然在大范围内和小范围内都稳定。只有非它必然在大范围内和小范围内都稳定。只有非 线性系统才可能存在小范围稳定而大范围不稳定情况。线性系统才可能存在小范围稳定而大范围不稳定情况。 2 2、在有界输入作用下、在有界输入作用下, ,其输出响应也是有界的。其输出响应也是有界的。3 3、稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的、稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的结构和参数，而与

4、初始状态和外作用无关。结构和参数，而与初始状态和外作用无关。4 临界稳定：若系统在扰动消失后，输出临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。定状态。5系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件线性系统稳定性定义线性系统稳定性定义：线性控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离线性控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来了原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定

5、的平衡状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则，该系统就是不稳定的。的，否则，该系统就是不稳定的。 不稳定稳定6R(S)C(S)系统系统G(S)( )( )r tt 设系统的传递函数为 122112()miiqrkkkjkjKszsssp 1111011110.( )( )( ).mmmmnnnnb SbSbSbC sG sR sa SaSaSa 输入:( )( )r tt 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件则系统输出为 1221112()( )( )miiqrkkkjkjKszC sG ssssp 222111qrjkkkjjkkkkdb S cSpS 22211111( ) c

6、ossinjkkqrttkkkkkkkkkjkjkkpcbc tebttd e 则前一章分析可得 总结总结: 如果系统的闭环极点均位于左半如果系统的闭环极点均位于左半s平平面，则瞬态响应的暂态分量将随时间而面，则瞬态响应的暂态分量将随时间而衰减，系统是稳定的。只要有一个极点衰减，系统是稳定的。只要有一个极点位于右半位于右半s平面，则对应的响应将是发散平面，则对应的响应将是发散的，系统就不能正常稳定工作。的，系统就不能正常稳定工作。q系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）系统特征方程的根（即传递函数的极点）全部具有负实部。或者说，特征方程的全部具有负实部。或

7、者说，特征方程的根全部位于左半根全部位于左半s平面。平面。7n 特征根的三种情况及所对应时域解：特征根的三种情况及所对应时域解：sin,cos;sin,cosatatatsjttsajesaet et ; ; 深入理解深入理解系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件n s平面上实极点及稳定性平面上实极点及稳定性 j 0 j 0 j 0tc(t)0tc(t)0tc(t)08 j 0 j 0 j 0ty(t)0ty(t)0ty(t)0系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件n s平面上复极点及稳定性平面上复极点及稳定性9 j 0ty(t)0 j 0ty(t)0n S S平面虚轴上重极点及稳定性平面虚轴上重

8、极点及稳定性系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件10系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件19401940年年11 11月月7 7日，一阵风日，一阵风引起了桥的晃动，而且引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整晃动越来越大，直到整座桥断裂座桥断裂. 221s22s222sintts j 0共振现象的解释共振现象的解释ty(t)0跨越华盛顿州塔科马峡跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于谷的首座大桥，开通于19401940年年7 7月月1 1日。只要有风日。只要有风，这座大桥就会晃动。，这座大桥就会晃动。11Routh稳定判据根据稳定的充要条件根据稳定的充要条件, ,求得特征方程的根就可判定系统

9、求得特征方程的根就可判定系统的稳定性的稳定性. .但对于高阶系统求解方程的根比较困难。但对于高阶系统求解方程的根比较困难。希希望能够不求解系统特征方程，仅根据特征方程的系数得望能够不求解系统特征方程，仅根据特征方程的系数得到对系统稳定性的正确判断。到对系统稳定性的正确判断。RouthRouth稳定判据就是根据闭环传递函数特征方程式的各项稳定判据就是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数系数, ,按一定的规则排列成按一定的规则排列成RouthRouth表，根据表中第一列系表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。 11100nnnnD sa

10、 sasa sa 系统稳定（特征方程的根都位于复平面的左半平面）系统稳定（特征方程的根都位于复平面的左半平面）的的必要条件必要条件为：特征方程的系数不等于零且具有相同为：特征方程的系数不等于零且具有相同的符号。的符号。 闭环特征方程闭环特征方程12Routh稳定判据设系统的特征方程为设系统的特征方程为111100( ).nnnnD Sa SaSa Sa 根据特征方程的各项系数排列成根据特征方程的各项系数排列成RouthRouth判据表判据表(n=5 (n=5 为例为例) )：5531Saaa 4204Saaa 1320Sbb12Sc2 2c c 0S1 1 e e435412ba aa aa

11、415420ba aa aa 11Sd0 0 124112cbab ab 0214010baaabc 1 21112dc bc bc 2111210d cccde RouthRouth稳定判据：稳定判据：RouthRouth表第一列元素符号一致且不等于表第一列元素符号一致且不等于0 0。第一列元素第一列元素符号变化的次数就是正实部符号变化的次数就是正实部根的数目根的数目。13 低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：14q 三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列

12、为：s3a0a2s2a1a3s1 0s0a313021)(aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且： a1a2-a0a30 15Routh稳定判据例：已知系统的特征方程，试判断该系统稳定性。例：已知系统的特征方程，试判断该系统稳定性。解：解： D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0RouthRouth表如下：表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b1 b2 c1 d1 2 4 b1= 2*3 -1*4 2 =11 b2= 2*5 -1*0 2 = 55 c1= 1*4 -2*5 1 =-6-6 d1= -6*5 -1*0 -6 = 55特征方程

13、有两个正实部根，系统不稳定。特征方程有两个正实部根，系统不稳定。16例例: : 系统如图所示系统如图所示, ,试确定系统稳定时放大倍数试确定系统稳定时放大倍数K K的取值范围。的取值范围。闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程: :D(s)=s3+14s2+40s+40K=0解：解： Routh稳定判据)(sR)(sC( )E s0 11 0 251( .)( .)KSSS 011 0251( .( .)()BKSSGSKs RouthRouth表表: : 1 40 s3 s2 14 40K s1 b1 b1= 14*40 -1*40K 14 s0 c1 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件

14、: :0560-40K040K014K0试判断有几个特征方程根位于试判断有几个特征方程根位于S=-1S=-1之右？之右？令令 s=z-117例：单位反馈系统的开环传递函数为：求系统稳定时K和T的取值范围。) 15)(1() 1()(sTsssKsG解解：系统闭环特征方程为：0)1 ()5(523KsKsTTs05)1)(5(00TKKTKT系统稳定条件为：54500TTKT18Routh稳定判据1 1、首列中有首列中有1个元素为零，但所在行中存在非零元素。个元素为零，但所在行中存在非零元素。 如特征方程：如特征方程：前面分析的为首列中没有元素是零的情况。前面分析的为首列中没有元素是零的情况。

15、RouthRouth判据表判据表在分析中存在两种特殊情形。在分析中存在两种特殊情形。 54322241110D ssssss 542103121 12410060ssssss这时可以用这时可以用无穷小正数无穷小正数 代替代替0 0，继续运算。，继续运算。 RouthRouth表表: :4-12/ 10610 本例Routh表首列首列符号变化两次符号变化两次，表示系统中有2个带正实部的根,系统不稳定。 若用用 替代后符号没有变化表示替代后符号没有变化表示系统中有纯虚根存在。如特征方程：如特征方程：D(s)=s3+2s2+s+2=0321011202ssssRouthRouth表表: :用用无穷小

16、正数无穷小正数 代替代替0 0 2首列用首列用 替代后符号没有变化替代后符号没有变化表明表明系统中有一对纯虚根。系统中有一对纯虚根。 s1=-2s2.3=j192 2、首列中有零元素且所在行其他元素均为零首列中有零元素且所在行其他元素均为零。说明特。说明特征根中可能存在共轭虚根或共轭复根或符号相异的实根。征根中可能存在共轭虚根或共轭复根或符号相异的实根。如特征方程：如特征方程： 5432424363D ssssss 543210143124632060021630ssssss这时可以由上这时可以由上一行元素为系数一行元素为系数构成辅助构成辅助多项式多项式：RouthRouth表表: :42Routh表首列首列符号变化两次符号变化两次，表示系统中有2个带正实部的根,由辅助多项式可解得存在1对共轭虚根，系统不稳定。 Routh稳定判据 22163F ss 42Fss 63 5432232424363321D ssssssssss 多项式对多项式对s求导：求导：