直 线 与 圆 南京市第五

1、直 线 与 圆南京五中 张志超一.考试内容与要求内 容要 求 A B C直线的斜率和倾斜角直线的斜率和倾斜角 直线方程直线方程 直线的平行与垂直关系直线的平行与垂直关系 两直线的交点两直线的交点 两点间的距离，点线距离两点间的距离，点线距离 圆的标准方程和一般方程圆的标准方程和一般方程 直线与圆，圆与圆位置关系直线与圆，圆与圆位置关系 二.解题方法1.1.直线方程有五种形式，它含有两个基本量直线方程有五种形式，它含有两个基本量. .求直线方程的常用方法是待定系数法求直线方程的常用方法是待定系数法，求求直线方程的特殊方法主要是几何法直线方程的特殊方法主要是几何法. .2.2.圆的方程有标准方程和

2、一般方程两种形式，圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，它含有三个基本量它含有三个基本量. .求圆方程常用方法是待求圆方程常用方法是待定系数法定系数法. .求圆方程的特殊方法主要是几何求圆方程的特殊方法主要是几何法法 . 三.典型例题例题例题1.1.若直线与圆相交于若直线与圆相交于P P、Q Q两点，两点，POQPOQ120120（其中（其中O O为原点），则为原点），则k k的值为的值为_._.解：如图，因为解：如图，因为POQPOQ120120，由由OP=OQOP=OQ，得，得QPOQPO3030，所以所以PAOPAO6060, ,PBCPBC120120. . 33 3 3 3所以所以k

3、=tan60k=tan600 0 = ,k= tan120= ,k= tan1200 0= =3QABOPDC例题例题2.2.过点过点P P（1 1， ）的直线）的直线l l 将圆将圆( (x x2)2)2 2y y2 24 4分成两段弧，当劣弧所对的分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线圆心角最小时，直线l l 的斜率的斜率k k 解：如图，当劣弧所对的圆心角解：如图，当劣弧所对的圆心角最小时，得弦最小时，得弦ABAB最小最小. .因为因为 所以当直线与所以当直线与CPCP垂直时，满足条件垂直时，满足条件. .由由C(2,0), PC(2,0), P（1 1， ）, ,得得检验得检验得

4、符合条件符合条件. . 2222222ABrCDrCP2,CPk 22lk2BBCAPDA22lk例题例题3 3设直线过点设直线过点(1, (1, a) )其斜率为其斜率为1 1，且与，且与圆圆x x2 2+y+y2 2=2=2相切，则相切，则a的值为的值为_ ._ .分析：直线与圆相切问题，有两种解决方分析：直线与圆相切问题，有两种解决方法：一是通过方程组去求唯一解法：一是通过方程组去求唯一解; ;二是利用二是利用圆心到直线的距离等于半经去求解圆心到直线的距离等于半经去求解. .本题可本题可用方法二用方法二. .解：由题意可设直线方程为解：由题意可设直线方程为y=x+y=x+a, ,因为直线

5、因为直线与圆相切，得与圆相切，得 ， 解得解得a= =2,2,检验得检验得a= =2 2符合条件符合条件. .0022a例题例题4 4设直线设直线ax-y+3x-y+3=0=0与圆与圆( (x-1)x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4=4相切于相切于A A、B B两点，且弦两点，且弦ABAB的长为的长为2 2 ，则，则a = =_解：因为圆心坐标为（解：因为圆心坐标为（1 1，2 2），半经），半经=2=2， 所以圆心到直线所以圆心到直线d= d= ，即即 ， 解得解得a=0.=0.检验得检验得a=0=0符合条件符合条件. .2 3,32ABAB 所以43122311aa3例题例题

6、5. 5. 由直线由直线y=x+1y=x+1上的一点向圆上的一点向圆(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1引切线，则切线长的引切线，则切线长的最小值为最小值为_ ._ .解：设解：设P P为直线为直线y=x+1y=x+1上的一点，上的一点，A A为切点，为切点， 切线长为切线长为PA = , PA = , 圆心圆心C C为为 （3 3，0 0）, ,半径为半径为1.1. 所以当所以当PCPC取最小值取最小值 切线长切线长PAPA取最小值取最小值= =22rPC2221037例题例题6.6.已知圆的方程为已知圆的方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1，P P为圆为圆上

7、任意一点（不包括原点）上任意一点（不包括原点）, ,直线直线OPOP的倾斜的倾斜角为角为弧度，弧度， OPOP = =d d，则，则d=fd=f( () )的图象大的图象大致为致为_. _. 解：由题意得解：由题意得POD=, POD=, POE= , POE= , OP=OBcOP=OBcosos( )=2sin,( )=2sin,所以所以d=f()=2sin.图象大致为正弦函数图象大致为正弦函数. .22OBEPD例题例题7.在直角坐标系中，以在直角坐标系中，以O为圆心的圆与直为圆心的圆与直线线 相切相切.（1）求圆的方程；）求圆的方程；（2）圆）圆O与与x轴相交于轴相交于A,B两点，圆内

8、的动点两点，圆内的动点P使使 成等比数列，求成等比数列，求 的取值范围的取值范围043yxPBPAPBPOPA,解:（1）由题意,得 圆的方程为x2+y2=4. （2）设A(x1,0)，B(x2,0), x1x2由x2=4得 A(-2,0)，B (2,0),设P(x, y)，由 成等比数列，得 化简,得x2-y2=2. 故 =x2+y2-4= 2y2-2. 因为点P在圆内,故 得0y2 1， 所以 的范围是-2，0） . 231400rPBPOPA,222222)2()2(yxyxyxPBPA242222yxyxPBPA例题8. 已知圆C过定点A(0,p)(p0),圆心C在抛物线x2=2py上

9、运动.M，N为圆C与x轴的交点.（1）当C点运动时，MN是否变化？请证明你的结论.（2 ）设AM=l1 ,AN=l2 ,求 的最大值，并求此时圆C的方程.1221llll解：(1)因为点C在抛物线上，故设C( ), 所以 圆的方程为： 当y=0时，得 ， 所以 当C点运动时，MN的长为定值2p.paa2,222222)2(ppaaACr222)2()(payax222)2(ppaa2222paaxxpaxpax21,pxxMN221所以22,2paxxaxxNMNM)0 ,(),0 ,(NMxNxM解（2）设2222paaxx由得222212,MNlAMxp lANxp 2122211221lllllllly42222222)()(2pxxpxxpxxNMNMNM4422442papa442224)42(papa24414422papa224412222papa=2=2。=当且仅当 时取等号.所以 的最大值为 .