理想流体动力学

1、第三章 理想流体动力学3-1 描述流体运动的两种方法3-2 流线和流管3-3 连续性方程 控制体的概念3-4 动量方程和运动方程3-5 伯努利方程3-6 压强沿流线法向的变化3-7 总流伯努利方程3-8 伯努利方程应用举例3-11 动量方程和动量矩方程及其应用1 描述流体运动的两种方法一、拉格朗日方法 以流场中个别质点的运动为出发点，研究所有质点的流动。( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t空间坐标任何质点在空间的位置（x，y，z）都可看作是（a，b，c）和时间 t 的函数。（a，b，c）=const , t为变数，可

2、以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （a，b，c）为变数, t =const ，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。注意：系统：由确定的流体质点组成的流体团，以流体团作为研究对象。其特点：1.边界随流团一起运动，其形状、大小随时间变化。2.边界上无质量交换，即无流入也无流出。3.在系统边界上，受到外界作用在系统边界上的力。V系统系统边界二、欧拉法 以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象，研究流动的方法。 它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。( , , , )( , , , )( , , , )uu x

3、 y z tvv x y z tww x y z t( , , , )( , , , )x y z tpp x y z t 流场运动参数是坐标和时间（x，y，z，t）的连续函数。速度：压力、密度： 控制体：空间某一确定的区域。其特点：1.控制体的体积、形状、大小不随时间变化。2.控制面上有质量交换，即有流入也有流出。3.在控制面上，受到外界物体给控制体的力。F定义：流体质点的物理量对时间的变化率称为该物理量的质点导数。三.质点导数 ( , , , )( , , , )( , , , )uu x y z tvv x y z tww x y z t质点导数:速度xduuu xu yu zdttxt

4、ytztuuuuuvwatxyz xduuuuuauvwdttxyzydvvvvvauvwdttxyzzdwwwwwauvwdttxyz 局部加速度对流加速度同理 时变加速度（当地加速度）： 流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度； 位变加速度（迁移加速度） 流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。由此可知：质点的加速度有两部分组成 对任意物理量其质点导数：dNNNNNuvwdttxyzN可是矢量也可是标量。Nt当地变化率（局部变化率）NNNuvwxyz迁移变化率四.流动的分类定常流：是指流场中流体参数不随时间而变化，局部变化率为零。非定常流：是指流场中流体参数随时间变化，局部

5、变化率不为零。0Vt0t0pt0Vt0t0pt均匀流：各过水断面上的流速分布图沿程不变，过水断面是平面，沿程各过水断面的形状和大小都保持一样。非均匀流：流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流程方向速度分布不均。（非均匀流又可分为急变流和渐变流）一元流：流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。二元流：流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标的函数。三元流：流动流体的运动要素是三个空间坐标函数。工程上可将问题简化：将翼展z方向看成无限长，三维问题简化成二维处理。2 流线

6、和流管一、迹线定义：流体质点运动的轨迹线。二、流线定义： 是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。流线是欧拉法分析流动的重要概念。几种情况流线流线的性质： 同一时刻的不同流线，不能相交。 流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 流线簇的疏密反映了速度的大小。（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小） 定常流时，流线形状及位置不随时间变化。几种情况流线可相交：驻点切点奇点流线方程根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：设ds为流线上A处的一微元弧dsdxidyjdzkxyzuu iu ju ku为流体质点在A点的流速流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流

7、速分量，u和ds重合。 0dsuxyzdydxdzuuu有例：已知流速场为 22ycyuxy22xcxuxy0zu 其中C为常数，求流线方程 。三、流管和流束由流线组成的管状形体称为流管。在流管内的流体称为流束。 四、流量体积流量：单位时间内，流过某一曲面的流体体积称为该曲面的体积流量。dAvnvndt实际计算流量时，常取横截面与流线垂直，这样的面称为过流断面。如图，取微元面积dA，其上速度VnnnV dtdAdQV dAdt由定义对面积A积分：3/nAQV dAmsdAvnVndt平均速度 V:工程上常采用此速度QVA质量流量：/mQQkg s重量流量：/GQgQN s3 连续性方程 连续性

8、方程：就是将连续介质模型和质量守恒的结合。一.积分形式的连续性方程取系统如图：t时刻系统与控制体重合。t+t时刻，系统运动变形，控制体不变，与系统不重合。M(t)M(t)A(t)A(t)(t)(t)M(tM(tt)t)A(tA(tt)t)(t(tt)t)dVnA由质量守恒定理：系统内的质量对时间的变化率为零。0()( )lim0tdMM ttM tdtt ( )()( )( )()()tttM tt dM tttt d式中：t时刻系统质量也是控制体质量tt时刻系统质量()( )( )()()( )()( )()( )()tttttM ttM ttt dt dtttdtt d体积不变，时间变体积

9、不变，时间变化引起密度化引起密度 改变使改变使质量发生变化。质量发生变化。由于体积变化引由于体积变化引起质量的变化起质量的变化。或故质量守恒可表示为：0nAdMdddv dAdtdtt nAdv dAt此式即是积分形式的连续性方程。 物理意义：控制体单位时间内由于密度变化引起的质量的增加量等于单位时间内通过控制体表面净流出的质量。nAdddv dAdtt 此式也可应用与其它物理量，写成通式是单位体积的物理量，可是矢量，也可是标量。mmVV 单位体积的质量单位体积的动量1. 定常流2.流体不可压缩将积分形式连续性方程简化：从控制面上流出的质量和为零const从控制面上流出的流量和为零0nAV d

10、A0nAV dA3 3.对于一元管流1122控制面上只有两个端面有流入和流出121212nnAAV dAV dA即1122V AV A或12QQ二.微分形式的连续性方程()()22dxu dxudyxxx在x方向流入控制体的质量为：取一控制体，其在平面上的投影如图，2u dxux2u dxuxydydx. u v2dxx2dxxX方向流出的质量：()()22dxu dxudyxxX方向净流出质量：()()(22()()2)2dxu dxudyxxdxu dxudyudxdxxxy同理可得y方向的净流出质量密度变化引起的质量变化量根据质量守恒：()vdxdyydxdyt()()uvdxdydxd

11、yxyt 对于定常流：()()0uvxy对于不可压缩流体：0uvxy对于三维流体：()()()0uvwtxyz例： 有两种二元液流，其流速可表示为： （1）（2） 试问这两种液流是不可压缩流吗？2 ,3uyvx 0,3uvx y注意：若流动存在，一定要满足微分形式的连续性方程例：已知二元流试求 x=1m，y=2m 点上的速度和加速度32515uxvx y 例：有两个串联油缸，工作流量为Q,活塞面积为A1、A2，求两个活塞的运动速度比。Q Q3 3V1V2Q Q124 动量方程和运动方程流体的动量定理：系统的动量对于时间的变化率等于作用在系统上的外力和。 动量定理是牛顿第二定律在流体力学中的表现

12、形式。 牛顿第二定律：质点的动量 对于时间的变化率等于作用在质点上的外力的和。mV 一、积分形式动量定理 积分形式的动量定理 动量方程在流场中任取一有限体积 作为控制体。作用于控制体上的外力： 质量力表面力fdApndA单位时间内净流入控制体的动量 nAv dAV单位时间内控制体中流体动量的增量 根据动量定理得:Vdt ()nAAVdVv dAfdpndAt对于定常流动: 二、微分形式的动量定理微分形式的动量定理 运动方程 nAAVv dAfdpndA取一微元控制体如图，讨论在x方向的运动，此方向流体受到的质量力fx，表面力如图：ydydx, p a()2p dxpdyx()2p dxpdyx

13、()2p dypdxy()2p dypdxyX由 在x方向：Fma()()22xxp dxp dxf dxdypdypdyxxdxdya化简：1xxpafx同理：1yypafy1zzpafz欧拉运动微分方程1afp用矢量表示：5 5 伯努利方程 将运动方程应用于流线，可以得到沿流线的伯努利方程。sugodsdzdzdrr如图，在流线s上任取微元段ds，其上速度u,沿流线应用运动方程有：1sspafs而suuauts局部加速度和迁移加速度定常流suaus作用在微元线段上的质量力为：cosszfggs 1uzpugsss 故2()02pugzs或积分22pugzc或22puzcgg应用条件：沿流线

14、Br.eq定常流;理想流体;不可压流体;质量力只有重力;方程沿流线成立。 单位重量流体的动能；速度头伯努利方程的物理意义和几何意义：22ugpg单位重量流体的总机械能：总水头 z 单位重量流体的位能：位头单位重量流体的压能；压力水头pzg单位总量流体的势能：测压管水头22puzgg流线上任意两点间总机械能关系212ug222ug1pg2pg1z2z122211221222pupuzzgggg2211221222pupuzzgggg0nAdMdddv dAdtdtt 1122V AV A0uvxy ()nAAVfdpndAdVv dAt1afp连续性方程：动量方程： 6 6 压强沿流线法向的变化

15、缓变流概念：缓变流流线之间的夹角很小，流线趋于平行的流动。特点：1.由于流线曲率半径很大，故流体的向心加速度很小，由此引起的惯性力可忽略，质量力只有重力。2.在缓变流断面上（流线的法向），各点的 为常数，不同截面常数不同。pzg1122111pzcg222pzcg证明：如图:垂直与流线取一微元柱体，在半径r方向应用运动方程dldzrrFma忽略惯性力，有：()cos0pdP dApdAgdAdl其中cosdldz0dpgdz对不可压流体积分pzcg有即在流线的法向，压强满足静压分布7 7 总流的伯努利方程在流管中取一微小流束，其上任两点有：一.总流的伯努利方程：2211221222pupuzz

16、gggg式中各项表示各点单位总量流体的能量，分别乘上微元重量再对总流积分，然后再用流管的总重量除之，得总流平均单位重量流体的能量：21()2Apug zdQgQgg对于缓变流断面const.pzg分别讨论各项积分：1()()Appg zdQzgQgg注意：积分结果形式上和积分前相同但含义不同，这里表示的是平均单位重量流体的势能。在截面上各点的速度不同，用平均速度1122211222AAuVgdQgdQgQggQgVg动能修正系数31AudAAV乘以一修正系数来表示速度水头：平均单位重量流体的动能故总流的伯努利方程：2211 122 21222pVpVzzgggg使用条件：定常流动： 理想流体：

17、流体不可压： 质量力为重力： 两截面处为缓变流。一般工程应用：当层流2，紊流1如不特别指出取1。二.伯努利方程的推广：1.有分叉流的情况Q Q1 1Q Q2 2Q Q3 32211221222pVpVzzgggg2233111322pVpVzzgggg或方程两边是单位重量流体能量守恒：222331122123()()()222pVpVpVzzzgggggg？总重量流体能量守恒：221122112223333()()22()2pVpVgQ zgQ zggggpVgQ zggQ Q2 2Q Q1 1Q Q3 3汇流情况也如此2.有能量输入和输出 1122在工程上有许多有能量输入输出的情况，在应用伯

18、努利方程时应考虑外加的机械能。如图一水泵00取基准在00线上：写1 2的Br.eq221122121222wpVpVzzhHgggg式中H为单位重量流体获得（失去）的能量，由机械能转化而来。在风机中称风压;在水泵中称扬程。流体获得能量取“”，失去能量取“”。例1 毕托管测速原理： 8 8 伯努利方程应用举例HAHBhA B如图，沿中心流线写伯努利方程，此时2222AABBpupuggggABzz0Bu 驻点22ABAuppggAABBpgHpgH 称为静压强22BAAppugghgApg22AApugg称为全压或总压工程上把总压管和静压管作成一体，用U形管来测压：0、1两点相距很近，可认为在一

19、根流线上h12 0121111211222ppggugghgggh其中012111pphg由等压面概念求出。 例2 文丘里流量计 为了测量管道中的流量，可以将收缩扩张管(文丘利管)接到管道中去，如图示。通过测量颈部及来流段的压力差以确定流体平均速度及流量。 其中 为已知，求流量Q。取基准00，写缓变流断面1 2的伯努利方程12.d d h 00z1z2h例：关于饱和蒸汽压 容器内盛有液体，有一虹吸管如图示，液体由虹吸管流出，但当虹吸管的最高点离液面足够高时，流动会中断。试问中断的原因。若已知液体的饱和蒸汽压力为 ，试确定保持流动的最高可能位置h。 vp 例：已知虹吸管的直径 d=150mm，喷

20、嘴出口直径 d2=50mm，不计损失，求虹吸管的输水流量及管中A、B、C、D各点的压强值。2m3m4mABCD112d2pa 例：简单化油器原理如图，已知喉部压力（真空） ，求此时喉部速度 V=? (液油、气流）31.16/,0.7,2kg m Shcm空油421.14 10/pN mht汽油汽油空气空气混合气MHspa12z例：水泵的进口管径d1=100mm，断面1的真空计读数为300mm汞柱，出口管径 d2=50mm，端面2的压力计读数为29.42/kN m两仪表高差Z=0.3m，管内流量10 /Ql s不计水头损失，求水泵所能提供的扬程和功率及水泵的安装高度Hs.扬程单位总量流体从泵中所

21、获的能量安装高度水泵进口轴线距液面的距离d1d2d3M12h基准例：泻水管路d1=125mm， d2=100mm d3=75mm,汞压差计读数 h=175mm ，不计阻力，求流量Q和压力计读数。11动量方程和动量矩方程及其应用一.动量方程：nAdddv dAdtt 由前面导出的流体的物理量对时间的变化率公式：在此用单位体积的动量表示：muu()nAduudduv dAdtt 由理论力学知识：系统的动量对时间的变化率等于作用在系统上的外力和。有dudFdt ()nAuFduv dAt 即瞬态力稳态力F包括压力、重力等，为控制体上的合力 简化：取管内流体为控制体1.定常流， 只有稳态力nAFuv

22、dA2.一元管流,不计质量力22211121nAAAFuv dAu dQu dQ 3.流体不可压，并用断面平均速度代入 212122211122221111AAAAFu dQu dQV dQVdQ 密度在各断面上均布，积分上式：22221111FV QVQ 1212QQ动量修正系数21AudAAV不可压：且取121在定常流动中，单位时间内，从控制面流出、流入的动量差，等于作用在控制体上的和外力。21()FQ VV 有：应用时，采用分量形式：2121()()xxxyyyFQ VVFQ VV方程的物理意义：2.在计算过程中所涉及的压力项要用相对压力。应用动量方程时要注意：1. 为和外力，在计算时要

23、分别写出各项力。F二.动量矩方程可采用推导动量方程的方法导出动量矩方程。 ()()nAurFRTdur v dAt 进行化简，得到适用式子。也可利用动量方程，直接导出结果。1221()FRQ VRVR 标量形式：2211()uuTQ V RV RV1V2R1R221.uuV V分别与 R2、R1垂直。v2uv1u例1. 水流对弯管的作用力 密度为 的不可压流体定常地在图示水平安装的收缩弯管中流动，流体出口速度方向与进口速度方向夹角为 。 已知进口物理量为 出口物理量为求流体对弯管在水平面内的作用力。111,VpA22,VA 解：首先取控制体兰色虚线所示，求出控制体上受到管壁的作用力，管壁受力与此大小相等，方向相反。1122p1p2RRxRy控制体例2. 水流对于喷嘴的作用力 如图，消防管路直径 D=200mm，末端喷嘴的出口直径 d=50mm，喷嘴和管路用法兰盘连接，其上装有四个螺栓，求当流量 时，螺栓上所受到的拉力。30.1/Qmsp1RRyRx取喷嘴内流体为控制体例3. 射流对平板和叶片的作用力Q.a，垂直与纸面方向厚度取1求：1）分流量Q1和Q2;2)射流对平板的