初等矩阵(简)

1、2.5初初 等等 矩矩 阵阵.阵阵称称为为初初等等矩矩阵阵的的矩矩经经过过一一次次初初等等变变换换得得到到由由单单位位阵阵 E1. 1. 对调两行或对调两列对调两行或对调两列定义定义1 1.种种初初等等矩矩阵阵三三种种初初等等变变换换对对应应着着三三得得初初等等矩矩阵阵两两列列对对调调或或第第两两行行对对调调把把单单位位阵阵中中第第),(,jiji 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 j得得左左乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵用用,)(),(nmijmaAjiEm mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第i行行第第 j:施

2、行第一种初等行变换其结果相当对矩阵 A. )(jirrjiA行对调行与第的第把,),(,AjiEnn右乘矩阵阶初等矩阵以类似地. )(jiccjiA列对调列与第的第把:施行第一种初等列变换其结果相当于对矩阵 A,)(),(nmijmaAjiEm左乘矩阵阶初等矩阵用乘某行或某列乘某行或某列以数以数0.2 k矩矩阵阵得得初初等等列列或或第第行行乘乘单单位位阵阵的的第第以以数数,)(0iik ,1111)( kkiE行行第第i:可以验证可以验证,)(AkiEm左左乘乘矩矩阵阵以以,)(AkiEn右乘矩阵以;)(kriAi 行行乘的第乘的第其结果相当于以数其结果相当于以数. )(kciAki 列列的第

3、的第乘乘其结果相当于以数其结果相当于以数行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以数数 k. 3得初等矩阵得初等矩阵列上列上列加到第列加到第第第的的乘乘行上或以行上或以行加到第行加到第的第的第乘乘以以,jiEkijEk1111)(,(kkjiE行行第第i行行第第 j., 可得下述定理可得下述定理综上所述综上所述:可以验知可以验知,)(,(AkjiEm左乘矩阵以,)(,(AkjiEn右乘矩阵以, )(jikrrikjA 行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第其结果相当于把其结果相当于把. )(ijkccjkiA 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第其结果相当于把其结果相当于把定理

4、定理1 1.,;,阶初等矩阵阶初等矩阵右边乘以相应的右边乘以相应的的的相当于在相当于在施行一次初等列变换施行一次初等列变换对对矩阵矩阵阶初等阶初等的左边乘以相应的的左边乘以相应的相当于在相当于在行变换行变换施行一次初等施行一次初等对对矩阵矩阵是一个是一个设设nAAmAAnmA :,初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵也就对应此也就对应此且此初等变换的逆变换且此初等变换的逆变换初等矩阵可逆初等矩阵可逆可知可知由初等变换可逆由初等变换可逆初等变换对应初等矩阵初等变换对应初等矩阵,的的逆逆变变换换就就是是其其本本身身由由变变换换jirr ,1krkrii 的的逆逆变变换换为为由由变变换换,)(jijir

5、krkrr 的的逆逆变变换换为为由由变变换换;),(),(1jiEjiE 知知;1)(1 kiEkiE知知.)(,()(,(1kjiEkjiE知.,2121llPPPAPPPA 使使矩矩阵阵存存在在有有限限个个初初等等可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是方方阵阵证证定理定理 2 2.先证充分性先证充分性,21lPPPA设,E,的标准形矩阵为则可逆阶方阵设AAn.再证必要性再证必要性.11lssPEPPPA,因初等矩阵可逆因初等矩阵可逆.可逆可逆仍可逆故仍可逆故有限个可逆矩阵的乘积有限个可逆矩阵的乘积A,EA由于,EA为经有限次初等变换可化知使即有初等矩阵,21lPPP.21lPPPA从而证

6、毕证毕.,BPAQQnPmBAnm使阶可逆矩阵及阶可逆矩阵存在等价的充分必要条件是与矩阵定理定理3 3定理定理4 4），使得阶可逆方阵和阶可逆方阵则存在矩阵，是设000E(PAQQnPm, r)A( rnmAr, ),(),(,:51AEEAAAr可逆，则若对于方阵提出上节例,下面来证明.11AEQQl,1EAQQl .A,1求矩阵可逆阶矩阵设有An,可逆时当 A,22121llPPPAPPP使有初等矩阵据定理.1111PPAl从而.,1也是初等矩阵则记kkkQQP于是.,1AEEA换化为经一系列相同初等行变明式表为经一系列初等行变换化式表明两式可合并为, ),(),(11AEEAQQl),(

7、),(1AEEA初等行变换或.,),(1AEEAEA就化成时化成当把作初等行变换即对矩阵.1A可用这种方法求, ),(),(1BAEBAA初等行变换可逆时，有类似有：思考：如何利用初等思考：如何利用初等列列变换求矩阵的逆？变换求矩阵的逆？注意注意:用用初等行变换初等行变换求逆矩阵时，必须求逆矩阵时，必须始终用行变换始终用行变换，其间不能作任何列变换其间不能作任何列变换同样地，用同样地，用初等列变换初等列变换求逆矩阵时，必须求逆矩阵时，必须始终用始终用列变换列变换，其间不能作任何行变换，其间不能作任何行变换例例1求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵111211120A解解.),(施行初等行变换作

8、分块矩阵EA100111010211001120)|(EA 10011100112001021121rr110100001120010211113rr110100111020010211132rr11010021212101025232100121) 1(rr.1102121212523211A11010011102021001131)2(rr110100212121010210011212r110100111020010211.010312022 A解解 把所给方程的变形为把所给方程的变形为.)(AXEA 010110312302022021),(AEA例例2 2 其中其中求解矩阵方程式求解矩阵方程式,XAAX 33234001011002202131210001011002202131210030201062200132rr 122rr )1(3 r234rr 212rr 321 rr.3123026