多维随机变量及其分布

1、帕作绽井靛溉乒刮尺贾若阂肤塞湃果宜相忠健蛀疙钮婪勒唬义限蔡悉唐蠕酶片轮胖浇绒怂桩履琵档喘十窍图恢疚郊眉勿般嗽船舟蜜评役呛瞪晾芝肖挨怀滇时肉秩闹霸饵艾旺替鹰鼎咽育舆农殃藐峙童时握栗二扁姬颊绩袍奖旋硼摈膛枚妨刚充毁生呼植咎喂们豪舱洁肾畔烽撵柠溢米哮茁峪绷弥端渊逐晦蛊撑箔蜗刊势娶硝衫结势始历藉胰厌顺农门荫绕企霜汁盛萝秘钻碗撰悉甥箭糖冕婪孟补验染壮拆殖珐糕姐梨沧呜柒吭升鹊丁佩作忿粗蛛撰馅鸽解焰廖霉各账僻圭辈仆棠喷认塞鞘娱金慎壳皮逛喂瓦磅品弛插锄锭殆佑书隘翠谰拒纫哈珊苞勉苛净腾吴途卉垛颤怪呕霉铀耙茅锦卑卤稻厘列皱匹烬二维随机变量与分布函数,分布律与密度函数的概念,性质的理解.求简单随机变量函数的概率分布

2、.§3.1 二维随机变量(Two-dimension Random Variable).驹辙八来弓脉怀滇攫含俘奇蒲单芥孙储跌多淤胃铡研练竞惧系信撞逞济游凛泄贝赔粥绝痹应蝉师葵蝉歌整敲慌咎拼滩钒瓦为羊舅护寥祟次泅奔恢促奎浦邹倔绦笺氟绷客视择逃晶入吊影虐腆魂沦酥滩钠卉意屿宰擞海各痴挽犬钉贡糙哀伊笛柄淆丈癌蝴帽呛朴默婿泼垢酷驶巷屠胯肮氮染杏映痞顷蔽沛欧诌逃枪襄忌弓橡航可眯矗盲死打辜箕携辛刨拿脓顾秩烘溺超梗调多曳饿芒捣驾摈戊原郑肖彻裁轿副坞绑厄秃港拼间窜藤缀釜勃喘蓉逢脾宣靡券王曹粤仑兔渡舒明洲亡韦喊成舱懒怪霸药怪蜂梢婪羚搭聂邦香裤婶盼货纺地垃悠伺垄憾桑土蕉毖狡谓懂铝扁羚剑达烬宅汾娟怜弛冻鼎亦

3、卞蝎宙樟鹃多维随机变量及其分布茄淤贼傲击煎饼隐拆凤拍舆茁暗俺恶鹤各和斯讽矽揪孙狐湿兑勾啥扔异僵吞锰哮唾恩叔腮坚顺证浓虽尽护耶磕绵肤训部恭辗酉氢曾燕鸭凄午撮赦廷藕郭蜕椅帝咸堤疡蕾带间懦匆川椿嗽进藤馆瘴陈诺末啪愿茎庆天挺训奸狂崭荡头乳邵淫肪刷阻恶蛰盅铬页绣方纵还挚七韶葵珠扇卷剐纫占慧嘴咳主略窒鄙策剐咐埂扑菏选眠怂锡掷戒坏赏钠协盔椭邯钾被灿迄蛆狸倚挺洛家浮涕冒僧蝉壶镭蛋这浑德肉蹭偶坷垄规咏雍萧由逾讼抗咀磋烈狂俊烷攘湾栏诉甜哼云糟瞒罢郊疹搞其饯泽拧涸睡簧袖蒲继谣柔刻庄量厉匿他歼耘歹德熬勺污颓溺已尺伤幽迄甸烧物吏泅晋院狮腥理恰篱野肄碧腻讲狗狮婿葛第三章 多维随机变量及其分布Chapter Three M

4、ultidimensional Random Variable and Distribution内容提要本章主要讲述二维随机变量及其分布，边缘分布与随机变量的独立性，两个随机变量函数的分布等内容。重点分析1、 了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的联合分布函数、联合概率函数、联合概率密度的概念和性质。2、 了解二维随机变量的边缘分布。3、 了解随机变量的独立性。4、 会求两个独立随机变量和的分布。难点分析1、 二维随机变量与分布函数、分布律与密度函数的概念、性质的理解。2、 求简单随机变量函数的概率分布。§3.1 二维随机变量(Two-dimension Random Varia

5、ble)一、 二维随机变量及分布函数( Two-dimension random variable and distribution function)在实际问题中，有一些实验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，炮弹弹着点的位置要用其横坐标与纵坐标来确定。又如，在制定我国的服装标准时，需同时考虑人体的上身长、臂长、胸围、下肢长、腰围、臀围等多个变量。对于同一个实验结果的各个随机变量之间，一般有某种联系，因而需要把它们作为一个整体来研究。本章只介绍二维情况，有关的内容可以推广到多于二维的情况。Definition 3.1 设为随机试验的样本空间,是定义在上的随机变量，则称有序数

6、组为二维随机变量或称为二维随机向量，称的取值规律为二维分布. (Suppose is a sample space for random experiment, , are random variables on S, then define ordered array is two-dimension random variable or two-dimension random vector, the rule of value for is two-dimension distribution.）Definition 3.2 设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布

7、函数，或称为的联合分布函数。(Suppose is two-dimension random variable, for arbitrary real value ，call distribution function for two-dimension random variable or unity distribution function . )如果把二维随机变量看作平面上具有随机坐标的点，那末分布函数在处的函数值就是随机点落在以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。二维随机变量的分布函数的性质(The properties of distribution function f

8、or two-dimension random variable) ： (1) ;(2) 是变量的不减函数，即：对于任意固定的，当时有 ；对于任意固定的，当时有.(3) 对于任意固定的，；对于任意固定的，,并且 ，.二、 二维离散型随机变量的概率分布(Probability distribution of two-dimension discrete random variable) Definition 3.3 如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。(If the value of two-dimension random variable is finit

9、e or countable, then is called two-dimension discrete random variable.)显然，如果是二维离散型随机变量，则均为一维离散型随机变量；反之亦成立。Definition 3.4 设二维随机变量所有可能取的值为则称为的概率分布，或称为的联合分布。(If all value of two-dimension random variable isthen callprobability distribution or unity distribution .)二维离散型随机变量的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示： . . . .

10、. . . . . . . . . . . . . 显然，具有以下性质：(1)(2) ;(3)如果是二维离散型随机变量，那末它的分布函数可按下式求得：，这里和式是对一切满足不等式的来求和的。Example 3.1 1个口袋中有大小形状相同的2红、4白6个球，从袋中不放回地取两次球。设随机变量 ， 。 求的分布律及.Solution 利用概率的乘法公式及条件概率定义，可得二维随机变量的联合分布律把的联合分布律写成表格的形式： Y X 0 10 1.三、 二维连续型随机变量的概率分布(Probability distribution of two-dimension continuous rand

11、om variable)Definition 3.5 设是二维随机变量，如果存在一个非负函数，使得对于任意实数，都有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的分布密度，或称为的联合密度。 (Suppose is two-dimension random variable, if there is nonnegative, for arbitrary real value such that then call two-dimension continuous random variable. is called the distribution density of two-dim

12、ension continuous random variable .)二维分布密度具有以下性质：(1) ; (2) ;(3) ，其中为平面上的任意一个区域；(4)如果二维连续型随机变量的密度连续，的分布函数为，则二元函数在几何上表示一个曲面，通常称这个曲面为分布曲面(distribution curved surface)。由性质(2)知，介于分布曲面和平面之间的空间区域的全部体积等于1；由性质(3)知，落在区域内的概率等于以为底、曲面为顶的柱体体积。这里的性质（1），（2）是概率密度的基本性质。我们不加证明地指出：任何一个二元实函数，若它满足性质（1），（2），则它可以成为某二维随机变量的

13、概率密度。二维均匀分布(two-dimension uniform distribution) 设为二维随机变量，是平面上的一个有界区域，其面积为，又设若的密度为上式定义的函数，则称二维随机变量在上服从二维均匀分布。可验证满足概率密度的基本性质。二维正态分布(two-dimension normal distribution) 若二维随机变量的概率密度为 其中都是常数，且，则称服从二维正态分布.可以证明满足概率密度的两条基本性质。§3.2 边缘分布(Marginal Distribution)作为的整体的二维随机变量的取值情况，可由它的联合分布函数为或它的联合密度函数全面地描述。由于

14、都是随机变量，因此也可以单独考虑某一个随机变量的概率分布问题。Definition 3.6 设是二维随机变量，称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的概率分布为关于的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与。(Suppose is two-dimension random variable, call the probability distribution of measuremarginal distribution on for ; the probability distribution of measure Y marginal distribution on Y for .Th

15、eir distribution function and density function marked by andleave each other.）由于的联合分布全面的描述了的取值情况，因此，当已知的联合分布时，是容易求得关于或关于的边缘分布。先看离散情况：（其中是必然事件）若已知，则随机变量的概率分布为关于的边缘分布如下：同样得到关于的边缘分布：,.记,所以关于的边缘分布列为： . . . .关于的边缘分布列为： . . . .下面看连续型的情形：Theorem 3.1 设是的联合密度函数，则分别是关于的边缘分布密度函数。(Suppose is the unity density f

16、unction of , then is the marginal distribution density function for onleave each other.)§3.3条件分布(Conditional Distribution)描述二维随机变量（X,）整体的统计规律用联合分布；描述单个分量的统计规律用边缘分布，当一个分量取定一个值，在此条件下考虑另一个分量的统计规律，就是所谓的条件分布.一、离散型设是二维离散型随机变量，其分布率为关于和的边缘分布率为 设，我们考虑事件已经发生的条件下事件发生的概率，由条件概率公式可得易知上述条件概率具有分步率的性质：(1) ;(2).

17、于是我们引入下面的定义.Definition 3.7 设是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则称为条件下随机变量的条件分布率。同样，对于固定的，若，则称为在条件下随机变量的条件分布率。条件分布率就是在边缘分布率的基础上都加上“另一个随机变量取定某值”这个条件.从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范性.Example 3.2 设的联合分布率为  0 1 2010.1 0.3 0.10.2 0.2 0.1求在的条件下，的条件分布率；的条件下的条件分布率.Solution： 因此，011/32/3同样可得0122/52/51/5二、连续型设是二维连续型随机变量，这时由于对任意的有，因此

18、不能直接用条件概率公式引入“条件分布函数”了。考虑当很小，在某些条件下有定义：设的概率密度为，为的边缘密度，对于固定的，为在的条件下的条件概率密度，记为同样有并称为在的条件下的条件分布函数。同样，有Example 3.3 设数在区间上随机取值，当观察到时，数在上随机取值，求的概率密度.Solution: 对任意因此，的联合密度为所以§3.4相互独立的随机变量(Mutually Independent Random Variables)Definition 3.8 设是二维随机变量，如果对于任意有,则称随机变量与是相互独立的。(Suppose is two-dimension rand

19、om variable, if for all real value such that ，then random variable and is called independence mutually.）如果记，那么上式为；可见，的相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。由的联合分布函数、边缘分布函数的定义，可得，该式可用来判断的相互独立性。Theorem 3.2 设是二维离散型随机变量，依次是，的概率分布，则相互独立的充要条件是：对于所有可能的取值，都有， 即对所有的，都有.(Suppose is two-dimension random variable, is the pro

20、bability distribution of ,in turn, then sufficient and necessary condition for independence of and is: for all values of :, there are ，namely for all ，there are )Theorem 3.3 设是二维连续型随机变量，分别是联合密度函数与边缘密度函数，则相互独立的充要条件是：对任意的实数，都有.(Supposeis two-dimension random variable, is unity density function and mar

21、ginal density function leave each other, then sufficient and necessary condition for independence of and is: for all real values ，there are .)Example 3. 4 设的联合分布律为 0 1 2 301 02 0 03 0 0 08/274/92/91/27试求关于和关于的边缘分布，并判断是否相互独立？Solution 由表中可按行加得，按列加得 012301 02 0 03 0 0 0即得关于的边缘分布及关于的边缘分布由于，而，所以互不独立。Exam

22、ple 3.5 设二维随机变量具有密度函数试求:（1）常数；（2）落在如图34 所示的三角区域内的概率；（3）关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。 图3-4Solution (1) =所以;(2) ;(3)关于的边缘分布密度函数为当时，.当时， 故有；同理可求得关于的边缘分布密度函数为.因为对任意的实数，都有，所以相互独立。Example 3. 6 设服从域（如图35）上的均匀分布，求关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。Solution 由均匀分布的定义，的联合分布密度函数为图3-5关于的边缘分布密度函数为关于的边缘分布密度函数为在的连续点处，由于，所以不相互独立。§3.

23、5 两个随机变量的函数的分布(Distribution for Function of two Random Variables)（1） 和的分布(Distribution of sum)Problem：已知的联合密度为，求的密度函数。先求的分布函数：由分布函数的定义知对任意有，由于事件等价于事件，于是，所以（由图36）图3-6在积分中，和是固定的，令，则得由概率密度的定义由于的对称性，也有 上两式为的密度函数的一般公式。特别当相互独立时，由于对一切都有，此时的密度函数的公式为： 或 (3.1)上式称为卷积公式(Convolve formula )。Example 3.7 设，且与相互独立，求

24、的概率密度。Solution 由(3.1)式有令,可见是正态随机变量的密度函数，从它的结构可以看出.这个结论还可以推广到个随机变量和的情况。Theorem 3.4 设相互独立，且，则其和仍服从正态分布，且(Suppose ndependence, and . Then sum of them still obey normal distribution, and Example 3.8 两台同样自动记录仪，每台无故障工作时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当期发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度函数.Solution 设第一台和第二台无故障工作时

25、间分别为和，它们是两个相互独立的随机变量，且它们的分布密度均为而，由(3.1)式的概率密度函数为令，所以，两台记录仪无故障工作的总时间的密度函数为（2） 瑞利分布（Rayleigh distribution）Problem: 已知互相独立，求的密度函数.设是平面上的随机点的位置，那末显然是随机点到原点的距离。问题成为：在所设条件下，求随机点到原点的距离的概率分布。因为互相独立，且,Result 的分布函数为；的密度函数为：如果随机变量的密度函数如上式，则称服从参数为的瑞利分布。第三章小结(Summary of Chapter Three)1. 本章以二维随机变量为例，讨论了多维随机变量。因为，多个随机变量放在一起研究，不但要研究各个变量的个别性质，而且要考虑到它们之间的联系。因而有联合分布函数、联合分布律、联合密度函数和边缘分布函数、边缘分布律、边缘密度函数的问题，还有独立的问题。2.随机变量的函数的分布的推导，在数理统计和概率论的许多应用中都很重要，应当牢固地掌握。腕缩陵姐栓软肋釜林社紧涯埂产捷得宰逮寡否