测量学 第六章

1、在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量误差，即:测量误差 = 真值 - 观测值测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差1.粗差(错误)超限的误差2.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)3.偶然误差误差出现的

2、大小、符号各不相同表面看无规律性。 例：例： 误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 ld 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 lt 计算改正计算改正 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距) 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均) 误差的处理原则 1.避免错误 2.多余观测：为了防止错误和提高观测精度，在测量工作中一般需要进行多余必要的观测（距离、角度） 3.系统误差应当近可能的按照其产生的原因和规律加以改正偶然误差特性举例:在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到35

3、8个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计： 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率频率k/n，而所有条形的，而所有条形的总面积等于总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于于y轴。轴。各条形顶边中点连线经光各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现

4、出滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律偶然误差的普遍规律 偶然误差的特性从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特四个特性性：(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值值(有界性有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性趋势性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数

5、无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性抵偿性)： 0limlim21nnnnn特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。 偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n无限增多无限增多(n)、误差区间误差区间d 无限缩小无限缩小(d 0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线正态分布曲线”，又称为又称为“高斯误差分布曲线高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有所以偶然误差具有正态分布正态分布的特性。的特性。正态分布曲线 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15

6、+21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y几个概念准确度 (测量成果与真值的差异）精（密）度（观测值之间的离散程度）最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）测量平差（求解最或是值并评定精度）一、平均误差在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值来求得算术平均值，即：nn1i二、中误差测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准。观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形nnlim观测次数观测次数n有限有限时，用时，用中误差中误差m表示偶然误差的离散情形表示偶然误差的离散情形上式中，偶然误差为观测值与真值

7、X之差：nnmn22221i=i - Xm1=2.7是第一组观测值的中误差；m2=3.6是第二组观测值的中误差。 m1小于小于m2,说明第一组说明第一组观测值的误差分布比较观测值的误差分布比较集中集中，其，其精度较高精度较高；相；相对地，第二组观测值的对地，第二组观测值的误差分布比误差分布比 较较离散离散，其，其精度较低：精度较低：三、允许误差 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概 率为： demdfPm22221)()(误差出现在K倍中误差区间内的概率为：kmkmmdemkmP22221)( 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概

8、率： P(| m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m| 三、相对误差三、相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 例例2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米米,m1=0.02m； S2=200米米,m2=0.02m。计算。计算S1、S2的相对误差。的相对误差。K2K1，所以距离，所以距离S2精度较高。精度较

9、高。K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000 0.02 1 0.02 1 在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。观测值的函数观测值的函数例：例：高差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数一、线性函数中误差线性函数一般表达式

10、式中式中x1、x2.xn分别为独立观测值分别为独立观测值式中k1、k2.kn分别为x的常系数1.倍函数nnxkxkxkF2211xxZKmmKmKdxdZKxZ22 例一例一:在在1：500比例尺地形图上，量得比例尺地形图上，量得A、B两点间的距离两点间的距离S=163.6mm，其中误差，其中误差ms=0.2mm。求。求A、B两点实地距离两点实地距离D及其及其中误差中误差mD。 D = 81. 80.1(m)mD=MmS = 5000.2(mm) =0.1(m)解解：D = MS = 500163.6(mm) = 81.8(m) (M为比例尺分母为比例尺分母)2.和差函数nxxxZ212222

11、1nZmmmm 例二例二 某水准路线某水准路线各测段各测段高差的高差的 观测值中误差分别为观测值中误差分别为 h1=18.316m5mm，h2=8.171m4mm， h3=6.625m3mm，试求试求该该水准路线高差水准路线高差及其及其中误差中误差。 h=16.882m7.1mm解解 h = h1+h2+h3=16.862() m 2h= m21+ m 22m 23 =52+42+32 m h=7.1(mm)3.一般线性函数中误差二、非线性函数中误差nnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkm设有函数),(21nxxxFZ为独立独立观测值 (a)ix对(a)全微分nndx

12、xFdxxFdxxFdZ2211(b)用偶然误差 、 代替微量元素 、 得：ixidxdznnxxFxxFxxFZ2211(c)转换成中误差关系式即误差传播定律误差传播定律：2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-5)二、非线性函数中误差二、非线性函数中误差例：例：已知直线MP的坐标方位角=722000， 水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ， 求由此引起的P点的坐标中误差 、 ， 以及P点的点位中误差 。20m 40Dmmm xmymPMXYOxycossinxDyDDMPcossinsincosdDdddDddDyDx解：解：180206265由误差传播定律

13、：2222222220cossincos72 20 40240sin72 2025.3206.320sincossin72 20 40240cos72 2038.8206.3xDyDmmmDmmmmmDmmP点的点位中误差：222225.338.346.3PxyMmmmm 通过以上误差传播定律的推导，我们可以通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函数中误差的步骤总结求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式；列出函数式； 2.对函数式求全微分；对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为

14、x的系数) 全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函数式 求全微分 中误差式三三.几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中

15、误差分 别为别为 求Z的中误差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：对上式全微分：由中误差式得：2.线性函数的中误差线性函数的中误差 函数式 全微分 中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm由于等精度观测时， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。 对某观测量进行多

16、次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差当等精度观测时： 上式可写成：mmmmmn321nmmZ例例： 测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ， 求总高差 的中误差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 函数式： 全微分： 中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmx

17、FmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX例：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解:(1)测量水平距离的精度 基本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2其中： )206265( 水平距离中误差： 222l22DmKlsin2l(m)(Kcosm 例例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解: (2)测量高差的精度 基本公式： 2sin21Klh 求全微分： dKldlKdDdll

18、DdD)cossin2(cos2其中： )206265( 高差中误差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.lml (2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且解: (1)周长 , lS4lmdS4全微分:周长的中误差为 lSmm4 面积 , 2lA全微分:ldldA2面积的中误差为 lAlmm2 (2)周长 ;周长的中误差为 lllllS44321lllllmmmmmlllll43213321且 面积22

19、43214LllllA全微分:LdLdA2 但由于432141414141dldldldldL 得周长的中误差为 llllllAlmmLmLmLmLmLm22222222224422224321lSmm2二、算术平均值中误差 x是根据观测值所能求得的是根据观测值所能求得的最可靠的结果最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。，称为最或是值或算术平均值。nLx n1i一、算术平均值 在实际工作中，采用对某量在实际工作中，采用对某量有限次数有限次数的观测值来求得算术平均值，即：的观测值来求得算术平均值，即： 函数式 全微分 中误差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx121112

20、1221211222nnnnxmmmm算术平均值的中误差式由于等精度观测时， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。 对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。例：例：要求三角形最大闭合差m15 ，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5每个角的测角中误差：3 . 435 . 7m测回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均

21、值的中误差公式：5 . 826m 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数用观测值的改正数v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即:白塞尔公式)观测值的观测值的算术平均值算术平均值(最或是值、最可靠值) 对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1= 1- X 2= 2- X n= n- X上式等号两边分别相加得和： nXl x= =1+2+nn两边除以

22、n：由 lnX nlXn当观测无限多次时：nlXnnnlimlim得Xnlnlim当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。观测值的改正数v ： Vi = L - i (i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零：对上式取和：以 代入：通常用于计算检核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n 以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数

23、 v ，符合vv=min 的“最小二乘原则”。精度评定用观测值的改正数v计算中误差1nvvm一.计算公式(即白塞尔公式)： 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 与 中：1nvvn证明如下证明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真误差：真误差：改正数：改正数：由上两式得iiiivXLv对上式取n项的平方和 vvvn22其中: 0lnLv vvnvvvn222 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nnnvvnn21nvvnnm1nvvm中误差定义:白塞尔公式:算例 例

24、：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表， 求其算术平均值及观测值的中误差。 解：解：该水平角该水平角真值未知真值未知，可用，可用算术平均值的改正数算术平均值的改正数V计计 算其中误差：算其中误差：98315601 .nVVm4715983 .nmM7642451.74 算例：算例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离该距离的算术平均值的算术平均值 ； 观测值的中误差观测值的中误差 ； 算术平均值的算术平均值的中误中误 差差 ； 算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。 一、权的概念一、权的概念

25、权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。 1 权的定义： 设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为2iimP称Pi为观测值l i 的权。2iimP对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2222122221211:1:1:nnimmmmmmPPP2 权的性质（1 1）权表示观测值的相对精度；）权表示观测值的相对精度；（2 2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高

26、；度高；（3 3）权的大小由选定的）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个关系不变，同一问题仅能选定一个值。值。二、测量中常用的定权方法二、测量中常用的定权方法1 同精度观测值的权对于一组同精度观测值l i ，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定= m2，则一次观测值的权为：1222mmmPn次同精度观测值的算术平均值的中误差为：) 1( nnvvnmM同精度观测值算术平均值的权为：nmmnMPL222 2 单位权与单位权中误差单位权与单位权中误差 对于一组不同精度的观测值l i ，一次观测的中误差为mi ，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定= m2，则有：数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差为mi的观测值，其权为：1220mmP22iimP相应中误差的另一表示方法为iiPm1 3 水准测量的水准测量的权与测站数成反比权与测站数成反比，或者，或者与路线长度成反比与路线长度成反比。iiNcmPi122iiLcmPi2224 4 角度测量的角度测量的权与测回数成正比权与测回数成正比。iiiLcnm