非线性海洋大气

1、同学们好！院暑期讲座 非线性大气海洋动力学中国湍流、混沌、分形、复杂性胡非中国大气物理大气边界层物理和大气化学2012.6胡 非 研究员（中国大气物理大气边界层物理和大气化学）：，：huf；复杂的天气 -气候系统驻波超长波东台风飑线锋面粗糙度湍流龙卷城市热岛效应温带气旋反气旋副热带反气旋小时10千米天102千米月104千米103千米我们生活的地球被大气所包围，广义地讲，整个地球大气系统都可以看作是处在具有宽广尺度湍流运动的状态。小到毫米尺度的旋涡，大到百米甚至千公里尺度的旋涡均可能存在。O.Reynolds 传统观点：无论园管湍流的产生过程是渐变还是突变，当湍流发展到稳定状态后，就再发生变化，

2、即一直保持湍流状态。最近的研究表明（Nature,Vol.443，No.7 , 2006）：只要管子足够长，无论Re数有多高，均可使湍流衰减到层流， 与其它外部条件无关，所需要的时间称为转捩期。左图：实验装置右图：不同Re所对应的转捩期的概率分布右图左上角：以往的理论认为，有一个临界Re 值，超过此值，湍流不能转捩为层流；右图右下角，实验证明转捩时间的概率分布与以往的理论不同，没有临界Re值的限制，任何湍流都存在转捩期，只是对于大Re所需的时间非常 长。当 Re=2400 时，转捩所需要的管子约 40,000km，时间大约需要 5 年！湍流场 - 变化剧烈、快速涨落232120181715Cv

3、20x42d0.000.040.080.120.160.20TIME(s)V(m/s)在湍流信号的连续小波变换图中，看不到明显的简单分布（周期函数），也看不到毫无规则的随机分布，而是具有一定层次结构的自相似性图案，说明被变换的资料所代表的动力系统是混沌的。wt03速度高低周期混沌平衡秩序混沌秩序（对称破缺）鲨鱼的皮肤能减缓湍流的发生烟头燃烧，没有任何外力的情况下，为什么烟也会自动分解？在什么时候分解？什么分解？分解时刻是否可以？无序系统©位置无序(a)晶态(b)成分无序(d)拓扑无序湍流发生机制 - 朗道理论郎道(1941)了著名假说:“ On the problem of turb

4、ulence”当流体受到扰动时，一定数目的模态就被激发出来模态（modes） 周期运动没有模态被激发，流体就处于定常状态；如果单一模态被激发，就是周期振荡；如果几个模态被激发，周期增多，变得不规则；许多模态被激发时，周期无穷多，就变成湍流。例如，周期 2、3、5、7、11、13的公共周期是 30030！论湍流的本质重新认识湍流经过一次或多次突然转变而形成的，而在紊乱无规则的背景上往往又会出现大尺度、颇为规则的结构和纹样，出现协调一致的运动。钱学森论湍流海森堡：“去见上帝时要问两个问题：一是相对论；二是湍流。第一个问题看来已有了结果，第二个问题还看不到希望。”比一千个太阳还亮物理学群星灿烂非线性

5、与线性的差别非线性与线性存在着本质的差别:对于线性系统输入有小的变化必定引起输出小的变化，大的输出变化对应于大的输入变化。而非线性系统则不然。小的输入变化可引起大的输出变化，大的输入变化倒不一定引起大的输出变化。例如作长途旅行：先乘公共汽车到地铁站，然后乘地铁到飞机场，最后乘飞机到达目的地。整个系统是非线性的，几分钟的初始误差逐渐放大，最后到达目的地可能相差一天，小的输入变化会引出大的输出变化。差之毫厘，失之千里！人口模型马尔萨斯（T.R.Malthas）在其论人口原理一书中，根据19世纪欧洲、美洲一些地区的人口发展状况，得出了人口增长的如下结论：“在不加控制的条件下，人口每年增长一倍，即按几

6、何级数增长。”目前世界人口约60亿，按上式，25年后为120亿，50年后为240亿，100年后为960亿，200年后为15360亿Yn+1 = 2Yn虫口模型设虫口的繁殖率为。只考虑两两咬斗或接触传染，而不考虑三个以上同时咬斗等状况，则咬斗组合数，设每一咬斗或接触传染导致数为：的几率为，那么显然下一代虫口选取合适的虫口数作为，上式最终可写成上式也叫做Logisticn )Y= AY - BY (Y - 1) / 2 = ( A + B)Y - BY 2n+1nnn2nn倍周期分岔那么当 增大以后，情形如何呢？如=2，则可得 X 0 = 0.02 X 1 = 0.0392 X 2= 0.0753

7、= 0.2398 = 0.5000 X 4 X 9 X 3 = 0.1393 X 8 = 0.5000 X ¥= 0.5000 m = 2.7 X 0 = 0.4000 X 2 = 0.6159 X 4 = 0.6230 X 6 = 0.6264 = 0.6480 X 1= 0.6388= 0.6341= 0.6319 X 3 X 5 X 7 X 21 = 0.6296 X 22 = 0.6296 m = 3.2 X 0 = 0.4000 X 2 = 0.5702 X 4 = 0.5415 X 6 = 0.5225= 0.7680 X 1= 0.7842 = 0.7945= 0.79

8、84 X 3 X 5 X 7 X 16 = 0.5130 X 18 = 0.5130 X 17 = 0.7995 X 19 = 0.7995Logistic分叉图Logic3LOGIC 2.MLOGIC 3.MLogistic的自相似性 下次分叉在哪里出现 Feigenbaum 常数“普 适 性”费根鲍姆数4.6692016091产生混沌的根源是非线性，但必须注意并不是所有的非线性系统一定能产生混沌现象。m= m- An¥d n m = 3.9 系统对初始状态极其敏感： X 0 = 0.4000 X 0 = 0.4001 X 0 = 0.40005= 0.9360 = 0.9361=

9、 0.9360 = 0.2336 = 0.2334 = 0.2335= 0.6983= 0.6977 = 0.6980 X1 X1 X1 X 2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 21 = 0.3879 X 21 = 0.2243 X 21 = 0.6896 = 0.9260= 0.2672 = 0.7636 X 22 X 23 X 24 X 22 = 0.6785 X 22 = 0.8348 X 23 = 0.8508 X 23 = 0.5379 X 24 = 0.4951 X 24 = 0.9694 混沌的基本性质不可预报性a真实球虚拟球数值产生的混沌Lorenz(1993)给出

10、一个二维非线性自治系统的例子?dx=-3xyx?dtdy=-2xxydt其真解是一个圆，即周期吸。对这个方程在用四阶定步长Runge-Kutta时，取较小的时间步长（如 h=0.5）方法都是正确的，得到的解是圆，而当 h=1.65时，得到的解却是混沌吸像一个梅花的图案，当 h=0.145时，得到螺旋星系样图案。Lorenz(1993)方程的数值结果，时间步长为1.65Lorenz(1993)方程的数值结果，步长为0.145物理学中的简单混沌系统复合摆鸭 肉 面 包“吸”“蝴蝶效应”1963年美国气象学家洛伦兹（E.N.Lovenz）曾得到现称为洛伦兹方程组的关于温度、气压、湿度等的微分方程，他

11、23将初始的温度、气压、湿度等量代入，可很精确地天后的天气状况，然而这个非线性方程的解对初始状态的变化极其敏感，而人们对当天的温度、气压、湿度等的测量又不可能没有误差，非常微小的误差，经过十天、半的演化，误差会达到测量值相同的量级，以致失去了天气预报的意义。洛伦兹形象地用“蝴蝶效应”来描述之。Lorenz 吸：Lorenz.m“奇怪吸”Lorenz不同类型的吸奖章普里戈金奖章吸引子混沌可以理解为貌似随机的确定性混沌的应用首先是理解自然，例如自然界存在着大量的流体湍流现象。混沌理论在生命科学中的应用特别重要。已经发现各种心律不齐、传导阻滞等均与混沌运动有，癫痫患者发病时的脑电波呈现明显的周期性，

12、而正常人的脑电波呈现显著的混沌状态。人们利用混沌可实现通讯，解释领域的股票、期货的价格波动， 探索厄尔尼诺（ ElNino）现象，与神经网络相结合创造出所谓的混沌神经网络等等。长期精确预报的不可能性前面提到混沌动力学的发展排除了对天气作长期精确预报的可能性。其实人们对短期预报和长期预报的要求是不同的。对于短期预报我们关心的是细节问题，对于长期预们更关注的是各种平均量的发展趋势。根据混沌动力学人们可以作短期的精确预报，长期的概率预报，正好能满足人们对各方面的不同需求。大气是一个混沌系统观测的不确定性初值、边值的确性模型的不确定性数值方法的不确定性外源强迫的不确定性可预报期限可预报性的必然性可预报

13、性世界来自何处？老子： 道生一，一生二，二生三，三生万物！宇宙大理论：从简单到复杂，不断演化复杂系统：生物系统、系统、系统、脑系统、系统、网络系统地球发展史引自Thomas Burnet神圣的地球理论 混沌液态 原始地球 洪水时期地球 现代地球 未来大火灾期的地球 大火 地球的后的地球决定论的鼓吹者：拉斯决定论的奠基者：牛顿Does God play dice?宇宙的基本规律究竟是决定论的还是概率论的？三种科学方法的比较 还原论：三个皮匠如何工作？ 系统论，整体论：诸葛亮如何处理事情？ 非线性科学方法：三个皮匠如何凑成一个诸葛亮？决定论性混沌的：不是内在随机力，不是外在噪声源，不是无穷大自由度

14、相互作用，不是量子力学不确定性。而是非线性系统对于初始条件的敏感依赖性什么是决定论性混沌？决定论性规律所产生的随机行为简单的（非线性）规律反复作用后形成的不可预测结果。决定论性是指经典轨道的存在性和唯一些。随机性是指混沌轨道与掷钱币一类随机过程完全对应。并不自相：在宏观尺度上，我们的确生活在既是决定论性的又是随机性的世界中。分形弯弯曲曲的海岸线，蜿蜒起伏的山峦轮廓，变幻飞渡的浮云，袅袅上升的青烟，一泻千里的江河，以及午夜炫目的闪电。大自然的万千变化中似乎隐藏着某种不为人知的规律。1967年法国数学家曼德布罗特（Benoit B. Mandelbrot），在科学杂志上了一篇题为“英国的海岸线有多

15、长“的学术从而了全世界，他对海岸线的本质做了独特的分析，这篇成为了他人生的转折点，而分形概念也从这时候开始萌芽生长了。自然界的几何分形分形（Fractal)：局部与整体具有相似性， 或者说在标度变换下具有相似性的几何形体。海岸线的长度问题，按传统科学方法来考虑是极其简单的曼德尔布罗特得出的却令人惊异：英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则测量其长度时如以公里为，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L1；如改用米作，结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽

16、略, 此时得出的长度L2L1；同样的，用厘米作，所得长度L3L2L1,采用的越小，计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大（图19）可以设想，用、原子量级的尺度为时，测得的长度将是一个天文数字这虽然没有什么实际意义，但说明随测量变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的所以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线的特点，需要寻找另外的参量布朗运动的轨迹在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉粒子的布朗运动，只要有足够的分辨率，就可以发现，原以为是直线段的部分，其实是由更小的折线段连成。测量线段数7总长度（1400（200）10016.2516255040200025962400分形与国界争

17、端争议 A、B 两国有一段共同的陆地边界线，并向 B 国呈弧形弯曲. 横跨边界线有一战略高地原属两国所共有. 20世纪80年代，A国对边界重新进量，测得的边界长度比原记载长度大，按新测长度这块高地完全落在A国境内. 于是A国向B国提出，要求将高地全部归属A国，引起两国争端. 为维派员往A、B两国斡旋，请你为护该地区和平，调解方案.特使设计一方案向两国指出，国境线是一种分形曲线，用传统测量方法无法得到确定的长度，随着的减小，测得的长度会增大. A国新测量测得的长度比原记载长度大，正是它测量时采用了较原测量更小的码尺。所以一方面可用分形几何理论向两国解释，另一方面量演示.还可同两国到边界进分形维数

18、线段的拓扑维数为，面的拓扑维数为2，体的拓扑维数为3。一根线段其长度是一定的，与你用什么尺来量是无关的（只是精确度有所差异）。D = ln Nln( La)N = ( L ) DaKoch曲线ln4/ln3ln16/ln91.26Sierpinski 地毯ln8/ln31.89Sierpinski 海绵d支撑维dT拓扑维dF分数维右图为美宇航局公布的一张最新，是积雪覆盖的喜马拉雅山，可以看出它也拥有自相似性。由此可见， 分形几何学是描述各种复杂自然曲线的大自然的几何学。人造分形奇怪吸引子是分形的时装中的分形语音信号是分形的D = log N (e )英国海岸线的分形维数D=1.25105log e104Texture语音的分形维数D=1.66103102101101102103104log elog N(e)Wave number spectra near tropopause5000 km cyclonesk-3500 kmk-5/32 kmshiftedGASP aircraft data near tropopauseNastrom and Gage (1985)天气系统的分形特征降水过程的分形特征湍流脉动信号的分数维（ 物理空间，D 1.7）湍流微结构假说：涡片、涡球、涡丝、涡