以密度为基础的随机变量概率分布

1、第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布 本次课讲授第二章第五节、第六节、第本次课讲授第二章第五节、第六节、第七节、第八节七节、第八节 下次课讲授第二章第八节、第九节、第下次课讲授第二章第八节、第九节、第十节、第十一节十节、第十一节 下次上课时交作业下次上课时交作业P17P20 重点：连续随机变量的密度、分布及其重点：连续随机变量的密度、分布及其关系关系 难点：同上难点：同上第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布相相减减概概率率了了。概概率率累累加加得得函函数数，反反向向各各点点左左闭闭区区间间了了；，若若求求离离散散分分布

2、布函函了了；右右左左外外随随机机变变量量有有区区间间，间间，非非负负规规范范单单调调了了；回回顾顾：连连续续分分布布函函数数好好10例例1)0 ,)(2(),(1112 ）充充满满空空间间（的的可可能能值值的的分分布布函函数数，如如果果可可否否是是连连续续随随机机变变量量函函数数XXx布布）函函数数不不单单调调，不不是是概概率率（分分解解：)()1(2)(),(,11)()1(222xFxxxFxxxF 单单调调增增加加，时时，）（, 0)(0)1(2)(222 xFxxxxF, 1)0(, 011lim)(2 FxFx 01011)(2xxxxF重重新新定定义义的的分分布布函函数数是是随随机

3、机变变量量则则XxF)(第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布解解 xXPxFX1 x, 021 x, 2 . 032 x, 5 . 02 . 0 3 x, 3 . 05 . 02 . 0 2 . 07 . 01-11230 xxiixpxXPxF)()()(已知已知求求X 的分布函数的分布函数FX(x)。P-1230.20.50.3X例例2第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布例例3的概率分布列。的概率分布列。试求试求的分布函数为：的分布函数为：设随机变量设随机变量XxxxxxFX 31318 . 0114 . 010)

4、(来来求求的的离离散散分分布布，应应用用断断点点为为解解：这这是是一一个个有有断断点点（)()()()()()()()3 , 1 , 111 iiiiiiiaFaFaXPaXPaXPaXPaXP2 . 08 . 01)1()3()3(4 . 04 . 08 . 0)1()1()1(4 . 0)()1()1( FFXPFFXPFFXPxp2 . 04 . 04 . 0311第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布种种情情况况的的概概型型。遇遇到到红红灯灯）是是否否发发生生两两试试验验每每次次事事件件是是三三次次独独立立相相互互独独立立，因因此此，本本题题分分析析

5、：三三个个岗岗遇遇到到红红灯灯(A即：即：其概率函数为：其概率函数为：则则个岗遇到红灯的次数，个岗遇到红灯的次数，为为解：设解：设. 3 , 2 , 1 , 0,)53()52().52, 3(333 kCkXPBXXkkk例例4 4（19971997年数学一，年数学一，7 7分）分） 从学校乘汽车到火车站的途中有从学校乘汽车到火车站的途中有3 3个交通岗，假设在各个交个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4.0.4.设设X X为为途中遇到红灯的次数，求随机变量途中遇到红灯的次数，求随机变量X X的分布律和分布函数。的

6、分布律和分布函数。第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布.1258)3(,12536)2(,12554)53()52()1(,12527)53()52()0(21133003 XPXPCXPCXP xxiixPxXPxF)()()(), 3),3 , 2),2 , 1 ),1 , 0),0 ,(分别求函数值分别求函数值中中分布函数则要求在分布函数则要求在 . 3, 1, 32,125117, 21,12581, 10,12527, 0, 0)(xxxxxxF第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布第五讲第五讲 以密度为基础的

7、随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布xxxXxPxfx )(lim)(0处的概率密度在为随机变量则称xXxf)(一、概率密度函数的概念一、概率密度函数的概念1.概率密度函数定义：概率密度函数定义：则比值则比值xxxXxP)(0) x设随机变量设随机变量X 落在区间落在区间 ),(xxx 上的上的概率为概率为: )(xxXxP即，记作平均概率密度极限存在时且，若上的平均概率密度。而在称为),(0,xfxxxxX 密度实际上是单位区密度实际上是单位区间上的概率间上的概率第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布 )()(limlim)(00 xfxxxXx

8、PxxFxxFxFxx，即即密密度度为为分分布布导导数数)()(xfxF 由由定定义义知知：求求）由由（)()(1xfxF)(),(2xFxf求求）若若已已知知（dttftdFdxxfxdFxfxF)()(,)()(),()( xxxxdttfxFFdttfFxFdttftdF），）即：即：）两边积分：两边积分：()(, 0)()()(,()( ydttfyF）：同同理理()( xXPxF xdxxf 由分布定义：由分布定义：第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布 的的密密度度求求法法：）区区间间概概率率（213xXxP 122121xFxFdxxfxXxP

9、xx 12)()()()()(1221xxdttfdttfxFxFxXxP 211211)()()()(xxxxxxdttfdttfdttfdttf 122121xFxFdxxfxXxPxx xdxxfxFFXxPxXP)()()()()(特殊地，特殊地，021xXPxXP xfy x xfO2x1x 21xXxP 2.概率密度的性质：概率密度的性质： 曲曲线线通通常常称称为为分分布布曲曲线线）非非负负性性：（)(;01xfxf 1)(0)(0)()( babbaadxxfdxdxxfdxdxxfF十十分分重重要要。何何时时为为时时，注注意意求求因因此此，用用0)()()(xfxFxf。其其它

10、它密密度度可可重重新新定定义义为为时时，同同理理，时时，因因此此，无无穷穷区区间间上上的的，但但是是，密密度度是是定定义义在在 , 0),()(:, 0)(, 0)(0)(1)()(1bxaxfxfxfbxxfaxxXxPaxdxxfbXaPba）积分规范性：）积分规范性：（21)()()( FFdxxf）定义无穷性：）定义无穷性：（3则则：定定义义在在区区间间上上若若随随机机变变量量,baX第五讲第五讲 分布函数与概率密度分布函数与概率密度第五讲第五讲 以密度为基础的随机变量概率分布以密度为基础的随机变量概率分布例例5-1-1 (柯西分布柯西分布)设连续随机变量设连续随机变量X 的分布函数为

11、的分布函数为.,arctan)( xxBAxF 求求: (1)系数系数 A 及及 B ; (2) 随机变量随机变量X 落在区间落在区间(-1,1)内的概率内的概率; (3)随机变量随机变量X的概率密度的概率密度. 解解 (1) xBAxFxxarctanlim)(lim , 02 BA ( )limlim+ arctan xxF xABx, 12 BA 解得解得 .1,21 BA. ,arctan121)( xxxF (2) 11 XP 11 FF4121 4121 .21 xFxf (3) . ,112 xx 解解(1)20, 1sinxdx(2), 12sin0 xdx不是不是. (3)当

12、当 时时, 23,x, 0sin x与与 矛盾矛盾, 0 xf不是不是. 函数函数 可否是随机变量可否是随机变量X 的概率密度的概率密度, 如果如果X 的可能值的可能值 xsin充满区间充满区间: .23, 03 ;, 02 ;2, 01 例例5-1-2第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布只要按照区间无穷定义：只要按照区间无穷定义： ., 0;20,sin其其它它xxxf即可即可. 0)(2, 0 xfxx时时注意：注意： 例例5-1-3 (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) 连续随机变量连续随机变量X 的概率密度为的概率密度为 . , xAexfx求求: (

13、1)系数系数 A ; (2) 随机变量随机变量X 落在区间落在区间(0,1)内的概率内的概率; (3)随机变量随机变量X 的分布函数的分布函数. .21 A . ,21 xexfx.21ee xtdte21.21xe 当当 时时, 0 x xdttfxF 021dtet xtdte021.211xe 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布解解 (1) dxAedxxfx 00dxedxeAxxA2 . 1 由规范性求系数由规范性求系数(2)由密度求区间概率由密度求区间概率 10 XP 1021dxex(3)由密度积分求分布由密度积分求分布 xdttfxF

14、x时时，0讲授下例前，介绍常用的伽玛函数的定义：讲授下例前，介绍常用的伽玛函数的定义： 01dxexx 0 伽玛函数的性质：伽玛函数的性质： ;1 .21)!1()( nn . 0,211; 0,21xexexFxx21! 021)1(21)121()23( 例如：例如：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布幂指积函数幂指积函数1222kAk 即：即：2212kAk012212dtetAtkk解解 dxxf0212dxexAxk1令令,2tx 得得 ,2dtdx 012)2(dtetktk令例例5-1-45-1-4 设连续型随机变量设连续型随机变量X 的

15、概率密度为的概率密度为 . 0 , 0;0,212xxeAxxfxk当当当当其中其中 k 为正整数，求系数为正整数，求系数 A 的值。的值。 0)(, 0 xfx注意注意第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 注意伽马函数形注意伽马函数形式一致性。式一致性。二、均匀分布与指数分布二、均匀分布与指数分布1.均匀分布：均匀分布：定义定义设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的一切可能值充满某一个有限区的一切可能值充满某一个有限区并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即：并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即： ,baxCxf 则这种分布叫做则这种分布叫做均

16、匀分布均匀分布（或（或等概率分布等概率分布）。）。, ,ba间间abC1 100)()( abCdxdxCdxdxxfFbbaaOabab1 xfx第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 . , 0;,1bxaxbxaabxf或或当当当当 xXPxFxaadxabdx10abax 当当 axb时，时，当当 xa时，时， ; 0 xXPxF当当 xb时，时， 1)()()( xbbaadxxfdxxfdxxfxXPxF第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布均匀分布的分布函数的图形分别如下：均匀分布的分布函数的图形分别

17、如下：Oab1 xFx 0 ;0 ; ;1 .1 .xax -aF xaxbb -axb第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 dxxf 0 dxex10 xe 显然显然指数分布指数分布 e的分布函数为的分布函数为 2.指数分布指数分布定义定义2 2 . 0 , 0 ; 0, xxexfx当当当当 其中其中 0 为常数。为常数。设连续型随机变量设连续型随机变量X 的概率密度的概率密度此类分布为此类分布为指数分布指数分布， . eX若若随机变量随机变量X 服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布 , e记作记作0)(0 xfx时时注意：注意：10)()(0

18、00 xxtxtxeedtedtdttfxF 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布O xfxO1 xFx ,;,. 1000 xexF xx 即：即：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布因随机变量因随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布上服从均匀分布,则则 X 的概率密度的概率密度:解解: ,.1230,xfx 其其它它独立观测独立观测,试求至少有试求至少有2次观测值大于次观测值大于3的概率的概率.设随机变量设随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布上服从均匀分布,现对现对 X 进行进行3次次例例5-3-1(19

19、89)观测值大于观测值大于3的概率的概率:+3(3) =( )p = P Xf x dx .5312=33dx22333321220(2) =( )( ).33327p mCC3次观测中有次观测中有2次观测值大于次观测值大于3的概率为的概率为:第五讲第五讲 分布函数与概率密度分布函数与概率密度次次的的概概率率至至少少发发生生次次独独立立试试验验中中，观观测测值值分分析析：233 X解解 1000 XP.368. 01e1000100010001dxex已知某电子管的寿命已知某电子管的寿命X （小时）服从指数分布：（小时）服从指数分布： . 0 0;0100011000 xxexfx求这种电子管

20、使用求这种电子管使用1000小时以上的概率。小时以上的概率。例例5-2-2 某仪器装有某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件只独立工作的同型号电子元件,其寿命其寿命(单位单位:h)都服从同一指数分布都服从同一指数分布,概率密度为概率密度为:例例5-3-3(1989)：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 ;.6001060000 x-exf xx 试求试求:在仪器使用的最初在仪器使用的最初200小时内至少有一只元件损坏的概率小时内至少有一只元件损坏的概率 . 解解设随机变量设随机变量X表示电子元件的寿命表示电子元件的寿命(单位单位:h),P(A)=P(

21、 0 X 200 )20060001600 xedx .1-31- e次次的的概概率率。至至少少发发生生：次次重重复复独独立立试试验验的的概概率率，也也就就是是求求寿寿命命：个个的的个个元元件件中中至至少少概概率率，即即求求个个元元件件至至少少一一个个损损坏坏的的分分析析：求求1200032000133 XAX)0(1)1(33PmP 1331031031)()1(1 eeeC第五讲第五讲 分布函数与概率密度分布函数与概率密度第五讲第五讲 分布函数与概率密度分布函数与概率密度积分伽马了。积分伽马了。系数要正指数负，幂指系数要正指数负，幂指正好两半了；正好两半了；指数分布正参数，区间指数分布正参

22、数，区间分母密度了；分母密度了；均匀分布度量好，放到均匀分布度量好，放到关系搞清了。关系搞清了。概率分布和密度，三者概率分布和密度，三者密度变零了，密度变零了，随机变量有区间，间外随机变量有区间，间外，非负积分规范了，非负积分规范了，概括：密度单位区间概概括：密度单位区间概三、随机变量的函数的分布三、随机变量的函数的分布设设 g(x) 是定义在随机变量是定义在随机变量X 的一切可能值的一切可能值 x 的集合上的函数的集合上的函数,若存在随机变量若存在随机变量Y，当变量当变量X 取值取值 x 时，时， Y 有唯一值有唯一值 y = g (x)与与之对应，则称之对应，则称Y Y是随机变量是随机变量

23、 X 的函数的函数)(XgY ( (一）离散型随机变量的函数的概率分布一）离散型随机变量的函数的概率分布1.1.定义定义：设随机变量设随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：X1x)(1xp2xnx)(ixXP )(nxp)(2xp则随机变量函数则随机变量函数 XgY 的概率分布是：的概率分布是： Y)(11xgy )(1yp)(iyYP )(nyp)(2yp)(22xgy )(nnxgy 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布2.定义说明：定义说明：最最关关键键式式的的分分布布，所所以以定定义义中中等等）函函数数分分布布就就是是自自变变量量（., 2

24、, 1),()()(1 ixPxgYPyYPxiiii)(, 2 , 1),()(, 2 , 1),(.21ijkjijiiijiijiixPkjxgyPyPkjxgyxyxyY 则则如果如果可能对应多个可能对应多个即一个即一个值不一定唯一，值不一定唯一，对应的对应的）由定义，每一个）由定义，每一个（率率之之和和概概率率等等于于对对应应变变量量的的概概记记住住：随随机机变变量量函函数数的的第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例5-3-1 设随机变量设随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：- -2 - -1 01230.100.20 0.250.20

25、0.150.10求：求：(1)随机变量随机变量Y1= - 2X的概率分布；的概率分布；(2)随机变量随机变量Y2=X 2的概率分布。的概率分布。XP(X=xi )解解 （1） 由已知有由已知有)(1iyYP 420- -2 - -4 - -6 0.100.20 0.250.200.150.10XY21 把随机变量的可能值由小到大排列把随机变量的可能值由小到大排列的概率分布为的概率分布为XY21 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布)(1iyYP - -6 - -4 - -2 0 240.100.150.200.250.200.101Y（2） 显然有：显

26、然有： iyYP 24101490.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.1022XY iyYP 201490.250.400.250.102Y整理得整理得的概率分布的概率分布2Y第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布求随机变量求随机变量 的概率分布。的概率分布。 XY2sinX ixXP 12n21221n21例例5-3-2 设随机变量设随机变量的概率分布为：的概率分布为：X解解由于由于2sin n,43nk, 1, 2nk, 0, 4 -1nk, 1, , 1 2 3k所以，随机变量函数所以，随机变量函数 只有三个取值只有三个取值-1，0

27、，1。 XY2sin）, 14 , 7 , 3( 1)2sin(1kxPxPYP第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布1YPk37411112224321121,152) 14()7()3(, 14 , 7 , 3( 1)2sin(1kxPxPxPkxPxPYP） 0 YP 1 YP同理可解：同理可解：第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 0 YPk2422121212221121,31 1 YP54 -3111222k421121,158整理得整理得 的概率分布的概率分布 Y iyYP Y- -10115231

28、158第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布（二）连续随机变量函数的分布（二）连续随机变量函数的分布)()(yYPyFY)(yXgP设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 ,又又x的函数的函数 存在反函数存在反函数 ，则函数，则函数 也是一个连续型随机变量，也是一个连续型随机变量，且：且：)(1xg)(xgY )(xgY )(xf1.定义：定义：)()( yYPyFY )(yXgP 2.定义说明定义说明(1) 设函数设函数 g(x) 单调增加单调增加, 则它的反函数则它的反函数 x = g -1-1( y ) 也单调增加也单调

29、增加. )()(11ygxXPygXP xgy xyO yg1 y第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布)(1ygxFX ）的的复复合合函函数数的的中中间间变变量量是是关关于于yxygxFdydygFdydyfY()()()(11 )()( )()( )()()()(1111 ygygfygxfygxxFyfxgyY单单调调增增加加时时：即即(2) 设函数设函数)(xg是单调减函数，是单调减函数，则它的反函数函数则它的反函数函数 )(1ygx 也是单调减函数。也是单调减函数。的区间概率求出的。的区间概率求出的。转换成已知的转换成已知的的区间概率的区间概率

30、的分布是通过的分布是通过变量函数变量函数请注意基本思路：随机请注意基本思路：随机XYY第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布 )( )()()()(1111 ygxFygygFygxFdydyfXY）（)()(yYPyFY )(yXgP )(1ygXP dxxfygX)()(1 ) )()() )()()()(111 ygxfygygxFyFyfYY xgy xyO yg1 y)(1)()(11ygxFygxFF 第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布例例5-3-3 .0)(都都是是常常数数及及的的概概率率密密度度

31、，其其中中，求求随随机机变变量量函函数数的的概概率率密密度度为为设设连连续续随随机机变变量量 babXaYxfXX第五讲第五讲 概率密度与随机变量函数的概率分布概率密度与随机变量函数的概率分布解解)()()( ybXaPyYPyFYyY 的的分分布布函函数数，随随机机变变量量对对于于任任意意的的实实数数bxay 为单调函数，为单调函数，,bayx .1bx 单调递减单调递增，0, 0bb，则有，则有设设0 )1( b)()( bayXPyFY bayXdxxf)()(11)()()()( bayfbbbayfdxxfdydyFyfXXbayXYY，则有，则有设设0 )2( b)()( bayXPyFY bayXdxxf)()(11)()( bayfbbbayfyfXXY 都在全无穷区间上）都在全无穷区间上）与与的开区间（注意的开区间（注意区间确定区间确定区间，由区间，由定区间：即求定区间：即求YXYXY)1(的的分分布布。的的密密度度积积分分再再转转化化成成定定点点转转化化成成区区间间视视为为将将的的分分布布。通通过过区区间间概概率率的的分分布布转转化化成成变变分分布布：将将XXyXY)2(对对应应的的区区间间。或或配