从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角

1、 从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面半平面所所组成的图形叫做二面角组成的图形叫做二面角, 这条直线这条直线叫做二面角的棱叫做二面角的棱, 这两个这两个半平面半平面叫叫做二面角的面做二面角的面.二面角二面角l2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角CAB E1、定义、定义二面角 ABP l1、定义、定义二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内

2、二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围: 0180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上以二面角的棱上任意一点任意一点为端点为端点, 在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射的两条射线线, 这两条射线所成的角叫做二面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角的平面角A1B1 P1 注意注意: :(与顶点位置无关与顶点位置无关) APB= A1P1B1 ABP M N C DO解解：在在PB上取不同于上取不同于P 的一点的一点O，在在 内过内过O作作OC AB交交PM 于于C，在在 内作内作OD AB交交PN于于D，连结连结CD，

3、可得：，可得：设设PO = = a ， BPM = =BPN = = 45CO=a，DO=a， PC a ， PD a22又又MPN=60 CD=PC a2 COD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90二面角例例1 1. .如图如图, ,已知已知P P是二面角是二面角 棱上一点，过棱上一点，过 P P 分别在分别在 、 内引射线内引射线PMPM、PNPN，且，且MPNMPN= =60600 0， BPM BPM =BPN BPN = =45450 0，求此二面角的度数。求此二面角的度数。 AB COD是二面角是二面角 的平面角的平面角 AB一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”

4、ABC D 例例2. A A为二面角为二面角 CDCD 的棱的棱CDCD上一点，上一点，ABAB在平面在平面 内且与棱内且与棱CDCD成成4545角，又角，又ABAB与平面与平面 成成3030，求二，求二面角面角 CDCD 的大小。的大小。二面角CO二面角例例3 3、在、在6060二面角二面角-l-l-内有一点内有一点P P，PA PA 于于A A点，点，PB PB 于于B B点，点，PA=3PA=3，PB=5PB=5，求，求P P到棱到棱l l的距离。的距离。变式：如果二面角变式：如果二面角-l-l-的平面角是锐的平面角是锐角，点角，点P P到到 、 和棱和棱l l的距离分别为的距离分别为4

5、 4和和 ，求二面角的大小。，求二面角的大小。22242、作二面角的平面角的常用方法、作二面角的平面角的常用方法、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内 l P ABABP l ABO lP定义法定义法三垂线三垂线( (逆逆) )定理法定理法垂面法垂面法二面角二面角例例4、已知矩形、已知矩形ABCD中，中，AB=3，BC=4，沿对角线，沿对角线BD把把ABD折起使折起使点点A在平面在平面BCD上的射影上的射影E恰好落在恰好落在BC上，求二面角上，求二面角A-BD-C的大小。的大小。二面角5、已知在一个、已知在一个60的二面角的棱上的二面角的棱上

6、有两个点有两个点A、B，AC、BD分别是在分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于这个二面角的两个面内，且垂直于AB的线段，又知的线段，又知AB=4，AC=6，BD=8，求，求CD的长。的长。二面角6、已知、已知RtABC，C=90， B=30 ，AB=4，若沿斜边上的，若沿斜边上的中线将中线将ACD折起，使得点折起，使得点A到点到点B的距离是的距离是 ，求所折二面角的大，求所折二面角的大小。小。13二面角7、如图，、如图，PA平面平面ABC，AC BC，PA=AC=1，BC= ，求二，求二面角面角A-PB-C的大小。的大小。2二面角8、正方体、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长的棱长为为1

7、，P是是AD的中点，求二面角的中点，求二面角A-BD1-P的大小。的大小。二面角9、在底面是直角梯形的五面体、在底面是直角梯形的五面体S-ABCD中，中，ABC=90，SA平平面面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ，求平面求平面SCD与平面与平面SAB所成二面角所成二面角的大小。的大小。21小小结结二面角一、二面角的定义：一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：五、二面角的计算：从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做平面所组成的图形叫做二二面角面角。这条直线叫做。这条直线叫做二面二面角的棱角的棱。这两个半平面叫。这两个半平面叫做做二面角的面二面角的面。 二二 面面 角角 AB 二二 面面 角角 CAB D二二 面面 角角 l 1 1、二面角的平面角必须满足、二面角的平面角必须满足 三个条件三个条件2 2、二面角的平面角的大小与、二面角的平面角的大小与 其顶点在棱上的位置无关其顶点在棱上的位置无关3 3、二面角的大小用它的平面、二面角的大小用它的平面 角的大小来度量角的大小来度量 1、定义法、定义法2、三垂