第2章 逻辑代数及其应用(张虹2012918)

1、 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用数字电子技术基本教程数字电子技术基本教程清华大学清华大学 阎石主编阎石主编 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用逻辑代数的基本公式和导出公式逻辑代数的基本公式和导出公式第第 2 章逻辑代数基础章逻辑代数基础 逻辑代数中三个基本定理逻辑代数中三个基本定理逻辑函数及其描述方法逻辑函数及其描述方法逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法具有无关项的逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数的化简本章小结本章小结逻辑函数式形式的变换逻辑函数式形式的变换 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用数值信息非数值信息数值信息非数值信息算术运算逻辑运算算术运算逻辑运算什么是逻辑什么是逻辑代数？代数？

2、逻辑代数和普通代数的异同？逻辑代数和普通代数的异同？普通代数普通代数逻辑代数逻辑代数 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用又称布尔代数又称布尔代数 ( (Boole Algebra) )或开关代数。或开关代数。逻辑代数于逻辑代数于1849年由英国数学家乔治年由英国数学家乔治.布尔布尔(G.Boole)创立的。创立的。一、一、逻辑代数逻辑代数 19381938年年克劳德克劳德香农香农(Claude Elwood Shannon(Claude Elwood Shannon) )开始将开始将逻辑代数逻辑代数用于开关电路的设计。用于开关电路的设计。 到到20世纪世纪60年代，随着数字技术的发展，使年代，随

3、着数字技术的发展，使布尔代数成为逻辑设计的基础，广泛地应用于数布尔代数成为逻辑设计的基础，广泛地应用于数字电路的分析和设计中。字电路的分析和设计中。概述概述 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用逻辑是指事物的因果关系。逻辑是指事物的因果关系。 与普通代数比较与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 相似处相似处 相异处相异处逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称称逻辑函数逻辑函数，变量称，变量称逻辑变量逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，非逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两

4、个，非0即即 1。 一、一、逻辑代数逻辑代数逻辑代数是用于描述客观事物逻辑关系的数学工具。逻辑代数是用于描述客观事物逻辑关系的数学工具。变量之间的运算是与、或、非。变量之间的运算是与、或、非。逻辑函数逻辑函数式式 Ff(A，B，C) 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用逻辑代数中的逻辑代数中的 1 和和 0 不表示数量大小，不表示数量大小，仅表示两种对立的关系。仅表示两种对立的关系。 注意注意例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 晶体管导通为晶体管导通为 1 电位高为电位高为 1 断开为断开为 0 截止为截止为 0 低为低为 0数字电路中，逻辑代数表达的是电路输入与输出间的数字电路中，逻辑代数表达

5、的是电路输入与输出间的逻辑关系，而不是数量关系。逻辑关系，而不是数量关系。 Ff(A，B，C)式中：式中：A、B、C.为输入逻辑变量为输入逻辑变量表示事件条件的变量；表示事件条件的变量； F为输出逻辑变量为输出逻辑变量表示事件结果的变量；表示事件结果的变量； 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用二、逻辑体制二、逻辑体制 正逻辑体制正逻辑体制 负逻辑体制负逻辑体制 规定高电平为逻辑规定高电平为逻辑 1、低电平为逻辑、低电平为逻辑 0 规定低电平为逻辑规定低电平为逻辑 1、高电平为逻辑、高电平为逻辑 0 通常未加说明，则为正逻辑体制通常未加说明，则为正逻辑体制对同一电路应用不同的对同一电路应用不同的逻

6、辑体制逻辑体制分析，会得出截然不分析，会得出截然不同的结果。同的结果。注意注意 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用与运算与运算( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或运算运算( (逻辑加逻辑加) ) 非运算非运算( (逻辑非逻辑非) ) 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 设：开关设：开关打开打开“0”闭合闭合“1”灯灯灭灭“0”亮亮“1”与逻辑真值表与逻辑真值表真值表真值表：由逻辑

7、变量的所有可能的：由逻辑变量的所有可能的取值组合及其对应的逻辑函数值所取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格。构成的表格。11 1YA B00 000 101 01.1.与运算与运算与运算与运算00=001=010=011=1 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用1.1.与运算与运算决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生逻辑函数式（或逻辑表达式逻辑函数式（或逻辑表达式 ）Y = A B 或或 Y = ABAB(b) 国际流行符号国际流行符号(a) 国标符号国标符号AB&与门逻辑符号与门逻辑符号实现与运算的逻辑器件实现与运算的逻辑器件称为与

8、门称为与门( (AND gate)。若有若有 0 出出 0；若全若全 1 出出 1 11 1YA B00 000 101 0与逻辑真值表与逻辑真值表 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用提问举出一个符合举出一个符合与逻辑与逻辑关系的事例。关系的事例。例如遗嘱问题：一人临终时给两个儿子每人一把例如遗嘱问题：一人临终时给两个儿子每人一把保险柜钥匙，但必须两人同时在时，才能打开保保险柜钥匙，但必须两人同时在时，才能打开保险柜，拿出遗嘱。这个命题可以用逻辑与表示：险柜，拿出遗嘱。这个命题可以用逻辑与表示：F=AB 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 开关开关 A 或或 B 闭合或两者都闭合时，闭合或两者都闭

9、合时，灯灯 Y 亮。亮。若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B (a) 国标符号国标符号AB1或门逻辑符号或门逻辑符号AB(b) 国际流行符号国际流行符号 或门或门 ( (OR gate) ) 决定某一事件的诸条件中，只要有一个决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。或一个以上具备时，该事件就发生。2.2.或运算或运算或运算或运算00=001=110=111=1一个有一个有n个变量的逻辑个变量的逻辑函数，它的变量有函数，它的变量有2n个个不同的状态，因此有且不同的状态，因此有且仅有

10、仅有2n个相应的函数值个相应的函数值或逻辑真值表或逻辑真值表 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用提问举出一个符合举出一个符合或逻辑或逻辑关系的事例。关系的事例。例如有四个人（例如有四个人（A，B，C，D）持有房）持有房间钥匙，则只要一个在房间门就能打开，这间钥匙，则只要一个在房间门就能打开，这个命题可以用逻辑或表示：个命题可以用逻辑或表示：F=A+B+C+D 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。开关断开时灯亮。 AY0110 非非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器” 决定某一事件的条件满足时，事件不发生；决定某一事件的条件满足

11、时，事件不发生；反之事件发生反之事件发生。逻辑表达式逻辑表达式 Y = A 非逻辑真值表非逻辑真值表 (a) 国标符号国标符号A1(b) 国际流行符号国际流行符号A非门逻辑符号非门逻辑符号读作读作“A非非” A非运算也称为求反运算。非运算也称为求反运算。 式中，式中，A称为原变量，称为原变量， 称为反变量称为反变量。 A3.3.非运算非运算 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用逻辑符号对照逻辑符号对照 国家标准国家标准美国标准美国标准 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用逻辑常量间的基本运算逻辑常量间的基本运算与与或或非非00=00+0=001=00+1=110=01+0=111=11+1=10101

12、 01 10 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 “与与”、“或或”、“非非”是逻辑代数中三种最基本的是逻辑代数中三种最基本的逻辑运算。逻辑运算。 任何逻辑函数都可以用这三种运算的组合来构任何逻辑函数都可以用这三种运算的组合来构成，即任何数字系统都可以用这三种逻辑门来实现。成，即任何数字系统都可以用这三种逻辑门来实现。但是用它们实现逻辑函数，必须同时使用三种不同的逻但是用它们实现逻辑函数，必须同时使用三种不同的逻辑门，这对数字系统的制造、维修都不方便。人们希望用较辑门，这对数字系统的制造、维修都不方便。人们希望用较少种类的门来完成更多的功能。少种类的门来完成更多的功能。 逻辑代数及其应用逻辑代数

13、及其应用二、常用复合逻辑运算二、常用复合逻辑运算 同或运算同或运算异或运算异或运算与与( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或( (逻辑加逻辑加) ) 非非( (逻辑反逻辑反) ) 与非与非或非或非与或非与或非 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用二、常用复合逻辑运算二、常用复合逻辑运算 由基本逻辑运算组合而成由基本逻辑运算组合而成 与非与非运算运算( (NAND) )先与后非先与后非若有若有 0 出出 1若全若全 1 出出 010 001 1YA B10 111 001 1或非运算或非运算 ( NOR )先或后非先或后非若有若有 1 出出 0若全若全 0 出出 110 0YA B00 101 0与或非运算

14、与或非运算 ( (AND OR INVERT) )先与后或再非先与后或再非 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用异或运算异或运算 ( (Exclusive OR) )若相异出若相异出 1若相同出若相同出 0同或运算同或运算 ( (Exclusive - NOR，即异或非，即异或非) )若相同出若相同出 1若相异出若相异出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意注意：异或和同或互为反函数，即：异或和同或互为反函数，即 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用提问举出一个符合举出一个符合异或逻辑异或逻辑关系的事例。关系的事例。例如乘法运算时符号位的判断。例如乘法

15、运算时符号位的判断。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用与门与门若有若有0出出0若全若全1出出1 或非门或非门若有若有1出出0若全若全0出出1 例例 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：解：Y1有有0出出0 全全1出出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出相同出 0 相异出相异出 1异或门异或门若相同出若相同出0若相异出若相异出1 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用作业53 2.1 2.2逻辑代数与普通代数有何异同？逻辑代数与普通代数有何异同？最基本的逻辑运算有三个，它们是什么？最基本的逻辑

16、运算有三个，它们是什么？画出逻辑符号并写出逻辑表达式？画出逻辑符号并写出逻辑表达式？ 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用三、逻辑符号对照三、逻辑符号对照 国家标准国家标准美国标准美国标准 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用2.1.2逻辑代数的基本公式和导出公式逻辑代数的基本公式和导出公式 主要要求：主要要求： 掌握逻辑代数的掌握逻辑代数的基本公式和基本定律基本公式和基本定律。 了解逻辑代数的重要规则了解逻辑代数的重要规则。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用一、基本公式一、基本公式 规律规律公公 式式序号序号公公 式式0-1律律0 0 A = 0 0（1b）1 1 + A= 1 1自等律自等律1 1

17、 A = A（2b）0 0 + A = A重叠律重叠律 A A = A（3b）A + A = A互补律互补律 A A= 0 0（4b）A + A= 1 1交换律交换律A B = B A（5b）A +B = B + A结合律结合律 A (B C) = (A B) C（6b）A + (B +C) = (A + B) + C分配律分配律A (B +C) = A B + A C（7b）A + B C = (A +B)(A +C)反演律反演律(A B) = A + B（8b）(A+ B) = A B还原律还原律 (A ) = A 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用一、基本公式一、基本公式 逻辑常量运算公式

18、逻辑常量运算公式 逻辑变量与常量的运算公式逻辑变量与常量的运算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 律律1 + A = 1 0 A = 0自自 等等 律律0 + A = A1 A = A这些常量之间的关系，这些常量之间的关系，是逻辑代数中的基本是逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公运算规则，也叫做公理，它是人为规定的。理，它是人为规定的。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用一、基本公式一、基本公式 逻辑变量与自身的运算公式逻辑变量与自身的运算公式 重迭律重迭律 互补律互补律 还原律还原律 A +

19、 A = A A A = A 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用一、基本公式一、基本公式 与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律 交换律交换律 A + B = B + A A B = B A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 利用真值表利用真值表 逻辑等式的逻辑等式的证明方法证明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用111111111100证明等式证明等

20、式 A + BC = (A + B) (A + C) (分配律分配律)解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展开用分配律展开 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A 1 +BC= A + BC0000A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 例例 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 11

21、10 0A BA+BA B 逻辑代数的特殊定理逻辑代数的特殊定理 推广公式：推广公式：摩根定律摩根定律 ( (又称反演律又称反演律) ) 变量乘积之反等于变量乘积之反等于反变量之和。反变量之和。 变量和之反，等于变量和之反，等于反变量之积。反变量之积。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用二、二、常用的导出公式常用的导出公式规律规律公公 式式公公 式式吸收律吸收律A + A B = AA ( A + B) = A吸收律吸收律A +A B = A + BA (A+ B) = A B吸收律吸收律A B + A B= A( A + B)(A + B) = A多余项定多余项定律律A B + AC + B

22、C = A B + AC(推广推广)A B + AC + B CD = A B + AC(A + B) (A+ C ) (B + C )= (A + B) (A+ C)(推广推广)(A + B) (A+ C) (B + C + D)= (A + B) (A+ C) 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 吸收律吸收律 A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A 常用的导出公式的推导常用的导出公式的推导 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用A A A = A3 AB + AC = A(B + C ) 允许提取公因子允许提取公因子 几个需要注意的问题几个需要注意的问题不存在变量的指数

23、不存在变量的指数 A A A = A3 没有定义除法没有定义除法 AB C C 没有定义减法没有定义减法 若若 ABAABABBBA 不能成立不能成立ABABAB 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用重要定理重要定理（代入定理（代入定理 ） 2.22.2 代入定理代入定理 B均用均用C代替代替利用代入定理能扩展基本定律的应用。利用代入定理能扩展基本定律的应用。 将逻辑等式两边的某一变量均用同将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。一个逻辑函数替代，等式仍然成立。例如将摩根定律推广到例如将摩根定律推广到3变量变量理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻

24、辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用例例1_ABCA B C 证明证明BABA _ABA B 两变量的求反公式两变量的求反公式证明证明将等式两边的将等式两边的B用用B+C代入便得到代入便得到这样就得到三变量的摩根定律。这样就得到三变量的摩根定律。_ABCA BCA B C 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用反演规则反演规则变换时注意：变换时注意：( (1) ) 不能改变原来的运算顺序。不能改变原来的运算顺序。( (2) ) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。号保持不变。 可见，求逻辑函

25、数的反函数有两种方法：可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。利用反演规则或摩根定律。 原运算次序为原运算次序为 ( (二二) ) 反演规则反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”+”，“+”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。Y 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用对偶规则对偶规则 ( (三三) ) 对偶规则对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y，将，将“”换成换成“+”+”，“+”+

26、”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，则得到原逻，则得到原逻辑函数式的对偶式辑函数式的对偶式 Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。 变换时注意：变换时注意：( (1) ) 变量不改变变量不改变 ( (2) ) 不能改变原来的运算顺序不能改变原来的运算顺序A + AB = A A (A + B) = A 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用2.3 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑函数描述了某种逻辑关系。逻辑函数表示方法有：逻

27、辑函数描述了某种逻辑关系。逻辑函数表示方法有：逻辑函数式逻辑函数式硬件描述语言硬件描述语言卡诺图卡诺图逻辑图逻辑图真值表真值表 波形图波形图硬件描述语言硬件描述语言HDL (Hardware Description Language)是描述电子系统硬件行为、结构和数是描述电子系统硬件行为、结构和数据的语言，是一种描述复杂数字电路的工具，是据的语言，是一种描述复杂数字电路的工具，是设计者与电子设计自动化设计者与电子设计自动化(EDA)软件之间的界面。软件之间的界面。一般式一般式最小项标准式最小项标准式 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用2.3 逻辑函数及其描述方法逻辑函数及其描述方法 逻辑函数描述

28、了某种逻辑关系。逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。2.3.1 真值表真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。应输出逻辑函数值的表格称真值表。列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二进制数递增的方式列位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。出输入变量的各种取值组合。( (2) ) 分别求出各种组合对应的输出分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格逻辑值填入表格。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用000001110111

29、01111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输出变量 输输 入入 变变 量量 4 个输入个输入变量有变量有 24 = 16 种取种取值组合。值组合。的的真真值值表表。例例如如求求函函数数 CDABY 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用表示输出函数和输入变量逻辑关系的表示输出函数和输入变量逻辑关系的 表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。 逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。 ( (1) )找出函数值

30、为找出函数值为 1 的项。的项。( (2) )将这些项中输入变量取值为将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替，的用原变量代替， 取值为取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。的用反变量代替，则得到一系列与项。( (3) )将这些与项相加即得逻辑式。将这些与项相加即得逻辑式。真值表真值表逻辑式逻辑式例如例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 逻辑式为逻辑式为 2.3.2 逻辑函数式逻辑函数式 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 n 个变量有个变量有 2n 种组合，可对应写出种组合，可对应写出 2n 个乘积个乘积项，这些乘积项

31、均具有下列项，这些乘积项均具有下列特点：特点：包含全部变量，包含全部变量，且每个变量在该乘积项中且每个变量在该乘积项中 ( (以原变量或反变量以原变量或反变量) )只只出现一次。出现一次。这样的乘积项称为这这样的乘积项称为这 n 个变量的最小个变量的最小项，也称为项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。变量逻辑函数的最小项。1. 最小项的定义和编号最小项的定义和编号 一、最小项的概念与性质一、最小项的概念与性质 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用如何编号？如何编号？如何根据输入变量组如何根据输入变量组合写出相应最小项？合写出相应最小项？例如例如 3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 2

32、3 = 8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项。应最小项。 简记符号简记符号例如例如 CBA1015m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用2. 最小项的基本性质最小项的基本性质 ( (1) ) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为

33、对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1， 而其余各种变量取值均使其值为而其余各种变量取值均使其值为 0。三三变变量量最最小小项项表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACBACBABCACBACBACAB( (2) ) 不同的最小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。( (3) ) 对

34、于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。( (4) ) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 例如例如ABC+ABC=AB3. 相邻最小项相邻最小项 两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。 例如例如 三变量最小项三变量最小项 ABC 和和 ABC 相邻最小项相邻最小项重要特点重要特点： 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可合并为

35、一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。消去互反变量，化简为相同变量相与。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与先求得真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或或表达式。因此，下面先介绍标准与表达式。因此，下面先介绍标准与 - - 或式。或式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准任何形式的逻辑式都可以转化为标准与与- -或式，而且逻辑函数的标准与或式，而且逻辑函数的标准与 - - 或式或式是唯一的。是唯一的。 （逻辑函数的标准与（逻辑函数的标准与 - - 或式）或式） 二二 、逻辑函数的最小项

36、之和形式、逻辑函数的最小项之和形式每一个与项都是最小项的与每一个与项都是最小项的与 - - 或逻辑式或逻辑式称为标准与称为标准与 - - 或式，又称最小项表达式。或式，又称最小项表达式。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用如何将如何将逻辑逻辑式转化式转化为为 标准与标准与- -或式呢或式呢 ？ 例例 将逻辑式将逻辑式 化为标准与或式。化为标准与或式。DCABCBAY ( (3) ) 利用利用A+A=A，合并掉相同的最小项。，合并掉相同的最小项。0000m00001m11100m121101m131111m15= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)

37、ABCDDCABDCABDCBADCBAY 解：解：( (1) ) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。ABCBAY DC )(DCABCBA ABDCABCBA ( (2) ) 利用配项法化为标准与或式。利用配项法化为标准与或式。DCABABCDDCABDCABDCBADCBA 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 根据逻辑式画逻辑图的方法根据逻辑式画逻辑图的方法: :将各级逻辑运算

38、用将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。相应逻辑门去实现。 例如例如 画画 的逻辑图的逻辑图 反变量用非门实现反变量用非门实现 与项用与门实现与项用与门实现 相加项用或门实现相加项用或门实现 2.3.3 逻辑图逻辑图逻辑图逻辑图逻辑式逻辑式 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用( (3) ) 画逻辑图画逻辑图 与或表达式与或表达式( (可用可用 2 个非门、个非门、 2 个与门和个与门和 1 个或门实现个或门实现) )异或非表达式异或非表达式( (可用可用 1 个异个异或门和或门和 1 个非门实现个非门实现) ) BAABY BA = B设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。设计逻辑电路的基本原则是使

39、电路最简。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用根据电路逐级写出相应根据电路逐级写出相应逻辑运算。逻辑运算。 逻辑图逻辑图逻辑式逻辑式例：课本例：课本P34 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与先求得真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或或表达式。因此，下面先复习标准与表达式。因此，下面先复习标准与 - - 或式。或式。任何形式的逻辑式都可以转化为标准任何形式的逻辑式都可以转化为标准与与- -或式，而且逻辑函数的标准与或式，而且逻辑函数的标准与 - - 或式或式是唯一的。是唯一的。 复习：逻

40、辑函数的标准与复习：逻辑函数的标准与 - - 或式或式 2.3.5 用卡诺图描述逻辑函数用卡诺图描述逻辑函数每一个与项都是最小项的与每一个与项都是最小项的与 - - 或逻辑式或逻辑式称为标准与称为标准与 - - 或式，又称最小项表达式。或式，又称最小项表达式。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 ( (一一) ) 最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图表示 将将 n 变量的变量的 2n 个最小项用个最小项用 2n 个小方格表示，个小方格表示，并且并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，

41、变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。简称为变量卡诺图。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量AB二二变变量量卡卡诺诺图图010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB四四变变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三三变变量量卡卡诺诺图图ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0ABCD0001111000 01 1

42、1 10 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用变量取变量取 0 的代以反变量的代以反变量 取取 1 的代以原变量的代以原变量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻

43、同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？已知最小项如何找相应小方格？ 例如例如 原变量取原变量取 1，反变量取，反变量取 0。DCBA1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 ABCD DCBA 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用( (二二) ) 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 ( (1) ) 求逻辑函数真值表或者标准与求逻辑函数真值表或者标准与 - - 或式或者与或式或者与 - - 或式。或式。 ( (2) ) 画出变量卡诺图。画出

44、变量卡诺图。 ( (3) ) 根据真值表或标准与根据真值表或标准与 - - 或式或与或式或与 - - 或式填图。或式填图。 基基本本步步骤骤用卡诺图表示逻辑函数举例用卡诺图表示逻辑函数举例 已知已知标准标准与或与或式画式画函数函数卡诺卡诺图图 例例 试画出函数试画出函数 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡诺图的卡诺图解：解： ( (1) ) 画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图( (2) ) 填图填图 逻辑式中的最逻辑式中的最小项小项 m0、m1、m12、m13、m15对应的对应的方格填方格填 1，其余填，其余填0。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5

45、 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用逻辑式逻辑式卡诺图卡诺图逻辑式逻辑式卡诺图卡诺图 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用逻辑函数式化简的意义与标准逻辑函数式化简的意义与标准 化化简简意意义义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。高系统可靠性。 不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与最简与 - - 或式，然后通过变换得到所需最简式。或式，然后通

46、过变换得到所需最简式。 2.4.2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用最简与最简与 - - 或式标准或式标准 ( (1) )乘积项乘积项( (即与项即与项) )的个数最少的个数最少( (2) )每个乘积项中的变量数最少每个乘积项中的变量数最少 用与门个数最少用与门个数最少与门的输入端数最少与门的输入端数最少 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用2.4.2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 化简规律化简规律2 个相邻个相邻最小项有最小项有 1 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 1 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相

47、同变量的与；4 个相邻个相邻最小项有最小项有 2 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 2 个变量个变量，化简结果为相同变量的与；，化简结果为相同变量的与；8 个相邻最小项有个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消个变量相异，相加可以消去这去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与；个变量，化简结果为相同变量的与；2n 个相邻个相邻最小项有最小项有 n 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消去消去这这 n 个变量个变量，化简结果为相同变量的与。，化简结果为相同变量的与。消消异异存存同同 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用ABCD0001111000 01 11 10 1 1例

48、如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与。为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相与。为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如例如 1 1 1 1 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD =AD 4 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 2 个变量，个变量，化简结果为相同变量相与。化简结果为相同变量相与。8 个相邻项合并消去个

49、相邻项合并消去 3 个变量个变量A 1 1 1 1 1 1 1 1 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用画包围圈规则画包围圈规则 包围圈必须包含包围圈必须包含 2i 个相邻个相邻 1 方格，且必须成方形。方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但方格可重复圈，但须每圈有新须每圈有新 1；每个；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的四个角上的 1 方格也循环相邻

50、，可画圈。方格也循环相邻，可画圈。 注意注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡诺卡诺 图化图化 简法简法 步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺

51、图 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )画包围圈画包围圈abcd( (4) )将各图分别化简将各图分别化简圈圈 2 个可消去个可消去 1 个变量，化个变量，化简为简为 3 个相同变量相与。个相同变量相与。Yb = BCD圈圈 4 个可消去个可消去 2 个变量，化个变量，化简为简为 2 个相同变量相与。个相同变量相与。孤立项孤立项 Ya=ABCDYc = AB循环相邻循环相邻 Yd = AD( (5) )将各图化简结果逻辑加，得最简与或式将各图化简结果逻辑加，得最简与或式DABABCDDCBAY 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺

52、图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数 Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1( (4) )求最简与或式求最简与或式 Y= 1BDA消消 1 个剩个剩 3 个个( (3) )画圈画圈BCD 消消 2 个剩个剩 2 个个DA 4 个角上的最小个角上的最小项循环相邻项循环相邻DB 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用找找 AB =11, C = 1 的公共区域的公共区域找找 A = 1, CD = 01 的公共区域的公共区域找找 B = 1, D = 1 的公共区域

53、的公共区域解：解：( (1) )画变量卡诺图画变量卡诺图ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图 1 1( (4) )化简化简( (3) )画圈画圈 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数函数BDABCDCADCBACDBAY 0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要画吗？要画吗？CBADCA ABC CDA Y = 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 例例 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最 简与或式。简与或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1

54、1 0 0 1 1 1 1解：解： 0 方格很少且为相方格很少且为相邻项，故用圈邻项，故用圈 0 法先求法先求 Y 的最简与或式。的最简与或式。ABCY ABCYY CBA 1111111111 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 例例 已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：该卡诺该卡诺图还有图还有其他画其他画圈法圈法可见，最简可见，最简结果未必唯一。结果未必唯一。解：解：( (1) )画函数卡诺图画函数卡诺图ABC01

55、00 0111 10 1 1 1 1 1 1( (3) )化简化简( (2) )画圈画圈Y =CBCA AB BCCABAY 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用对输入变量取值的限制称为约束，把对输入变量取值的限制称为约束，把这一组变量取值等于这一组变量取值等于1的那些最小项称的那些最小项称为约束项。为约束项。 电路输入的变量的某些组电路输入的变量的某些组合值对输出没有影响，在这些变量取合值对输出没有影响，在这些变量取值下等于值下等于1的那些最小项称为任意项。的那些最小项称为任意项。 把约束项和任意项统称为逻辑函数式把约束项和任意项统称为逻辑函

56、数式中的无关项。在真值表中和卡诺图中中的无关项。在真值表中和卡诺图中用用f表示无关项，可以取值为表示无关项，可以取值为1，也可，也可取值为取值为0，对逻辑函数是无影响的。，对逻辑函数是无影响的。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用一、约束项一、约束项2.5 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用00000 ABC,CAB,CBA,BCA,CBA0 ABCCABCBABCACBA 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用Y=m + d也可以写成也可以写成最小项之和形式最小项之和形式含无关项的逻辑函数的表示方法含无关项的逻辑函数的表示方法Y=md=0无关项

57、在卡诺图和真值表中用无关项在卡诺图和真值表中用“ ”“”“ ”来标记，来标记，在逻辑式中则用字母在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。和相应的编号表示。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对约束项和随意项都不会在逻辑函数中出现，所对应函数值视为应函数值视为 1 或或 0 都可以，故称无关项。都可以，故称无关项。 不允许出现的不允许出现的无关项无关项又称约束项；客观上不会又称约束项；客观上不会出现的出现的无关项无关项又称随意项。又称随意项。 2.5 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 合理利用无关项可使逻辑式更简单合理利用无关项可

58、使逻辑式更简单 1. 无关项的概念与表示无关项的概念与表示 无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变变量取值组合或者量取值组合或者不允许出现不允许出现或者根本或者根本不会出现不会出现。 无关项在卡诺图和真值表中用无关项在卡诺图和真值表中用“ ”“”“ ”来标记，来标记，在逻辑式中则用字母在逻辑式中则用字母 d 和相应的编号表示。和相应的编号表示。 例如例如 8421 码中，码中，1010 1111这这 6 种代码是不允许出现的。种代码是不允许出现的。 例如例如 A、B 为连动互锁开关，为连动互锁开关，设开为设开为 1 , 关为关为 0 , 则则 AB

59、只能取只能取值值 01 或或 10 , 不会出现不会出现 00 或或 11。 2. 利用无关项化简逻辑函数利用无关项化简逻辑函数 无关项的无关项的取值对逻辑函数值没有影响。取值对逻辑函数值没有影响。化简时应视需要将无关项方格看作化简时应视需要将无关项方格看作 1 或或 0 ，使包围圈使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。最少而且最大，从而使结果最简。 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用将将 d10 看成看成 0,其余其余看成看成 1 将将看成看成 0 ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 显然左图化简结果最简显然左图化简结果最简 解：解：( (1) )画变量卡诺

60、图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简用卡诺图化简函数函数 Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,10,11,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填图填图 1 1 1 1 1( (4) )写出最简与写出最简与 - - 或式或式最小项最小项( (3) )画包围圈画包围圈无关项无关项 1 AY D 0 逻辑代数及其应用逻辑代数及其应用 例例 已知函数已知函数 Y 的的真值真值 表如下，求其最简表如下，求其最简 与与 - - 或式。或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 11 0 001 0 111 1 001 1 10解：解：( (1