研_第5章 数值积分法

1、第五章第五章 数值积分数值积分法法1数值积分的基本概念数值积分的基本概念2 插值型求积公式插值型求积公式3 复化积分法复化积分法4 自适应自适应积分积分法法5 Gauss型求积公式型求积公式6 三次样条积分法三次样条积分法-1- 为了计算瑞士国土的面积为了计算瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量首先对地图作了如下测量:以西向东方向为以西向东方向为x轴轴,由南向北方向为由南向北方向为y轴轴,选择方便的原点选择方便的原点,并将从最西边界到最东边界在并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为轴上的区间适当地划分为若干段若干段,在每个分点的在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的方向测出南

2、边界点和北边界点的y坐标坐标,数据如表数据如表(单位单位mm):x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0

3、 157.0 158.0y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68一一个个实实际际问问题题-2-02040608010012014016020406080100120140瑞士地图的外形如图瑞士地图的外形如图(比例尺比例尺18mm:40km)试由测量数据计算瑞士国土的近似面积试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值并与其精确值41288平方公里比较平方公里比较-3-一一 数数值值积积分分的的必必要要性性()( )baI ff x dx ( )( )( )baF xF bF a( )( )F xf x其其中中

4、，为为的的原原函函数数。实实际际中中可可能能遇遇到到的的问问题题：(1)( ),( )f xf x的的解解析析式式根根本本不不存存在在 只只给给出出了了的的一一些些数数值值(2)( )( ),( )f xF xF x的的原原函函数数求求不不出出来来 如如不不是是初初等等函函数数1,sinlnxdxdxxx 如如：(3)( )F x 的的表表达达式式过过于于复复杂杂：24201121log14 221xxxdttxx 1()2 222xxarctgarctgxx 1 数值积分的基本概念数值积分的基本概念-4-( ) , f xC a b 设设，则则由由积积分分中中值值定定理理二二 基基本本思思想

5、想()( )baI ff x dx () ( ) , ba fa b ( )f ,( )baf 即即：曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于 底底为为高高为为的的矩矩形形面面积积( ) , fa b - - -曲曲边边梯梯形形在在的的平平均均高高度度。1.梯梯形形公公式式()( )baI ff x dx ( )baIf x dx 中中：2.矩矩形形公公式式( )baIf x dx 左左：( )baIf x dx 右右：( )()f b ba ( )()f a ba ()()2abfba ( )( )()2f af bba ( )f a( )f b()2abf 2ab ( )f a( )f b-5

6、-( )kkkxAxf x其其中中, ,：求求积积节节点点； ：求求积积系系数数，仅仅与与有有关关，与与无无关关。3推推广广1000()( )lim()max,.nbkkkkkkak nkI ff x dxfxxxx ，其其中中0()( )()nbkkaknI ff x dxA fIx ()nnRI fI 求求积积余余项项：0( )()nbkkakf x dxA f x 1201()1I fdxx 如如，求求的的近近似似值值。1 方方法法 ： 方方法法2 2：1201(0)4(0.5)(1)()0.78333.16fffI fdxx 1201(0)(1)()0.7512ffI fdxx 112

7、001()arctan0.78539815.14I fdxxx 精精确确值值：方方法法误误差差-6-三三 代代数数精精度度11mmm 若若某某个个求求积积公公式式对对所所有有次次数数的的多多项项式式都都精精确确成成立立， 而而至至少少对对一一个个次次多多项项式式不不精精确确成成立立，则则称称该该公公式式 次次代代定定义义有有：具具数数精精度度。211, ,2mmmx xxx 一一个个求求积积公公式式具具有有 次次代代数数精精度度的的充充要要条条件件是是该该公公式式 定定理理： 对对精精确确成成立立，而而对对不不精精确确成成立立。不不同同的的数数值值公公式式，计计算算结结果果不不同同，如如何何衡

8、衡量量公公式式问问题题：的的好好坏坏？-7-1例例验验证证：矩矩形形公公式式解解( )1:1baf xdxba 时时 左左右右221( ):()2baf xxxdxba 时时 左左()2abba 右右22331( ):()3baf xxx dxba 时时 左左2()()2abba 右右1代代数数精精度度为为 。 左左右右 左左右右( )() ()2baabIf x dxba f 具具有有一一次次代代数数精精度度。-8-122,A A例例试试确确定定，使使数数值值积积分分公公式式解解( )1,f xx 令令公公式式分分别别对对时时精精确确成成立立 则则有有12baAA 22121()2baA a

9、A b121:()2AAba 解解之之得得1( )()( )( )2baf xbaf af b 代代入入得得：12( )( )( )baIf xA f aA f b 的的代代数数精精度度尽尽可可能能高高。1可可以以证证明明梯梯形形公公式式具具有有 次次代代数数精精度度。-9-思考思考该该公公式式的的代代数数精精度度最最高高问问题题：可可达达多多少少？12 有有几几个个待待定定参参数数？ 提提示示 可可列列几几： 个个方方程程？3例例试试确确定定积积分分公公式式12123133.AAxxn ，； 代代数数精精度度答答案案：Gauss(.5)使使代代数数精精度度达达到到最最高高的的数数值值求求积积

10、公公式式， 称称为为式式注注公公备备：中中介介绍绍111221( )()()If xA f xA f x 1212,A A xx中中的的参参数数, , , ， 使使其其代代数数精精度度尽尽量量高高, ,并并求求代代数数精精度度。n有有 个个节节点点的的求求积积公公式式, ,精精度度最最高高可可推推广广：达达多多少少？-10-01(),( )Lagrangeniaxxxbf xf x 已已知知求求积积节节点点及及其其函函数数值值则则的的插插值值多多项项式式为为0( )() ( )nnkkkP xf xlx 1( )Lagrangenikikii kxxlxxx 其其中中为为插插值值基基函函数数.

11、 .( )( )( )nf xPxf x用用被被积积函函数数的的插插值值多多项项式式代代替替作作积积分分。( )baIf x dx ( )bnaP x dx 0() ( )nbkkakf xlx dx ( )()0nbkkaklx dxf x 0()nkkkA f x ( ).bkkaAlx dx 其其中中公公式式( )( )bbnaaf x dxP x dx 即即：基基本本思思想想2 插值型求积法插值型求积法一一 插插值值型型求求积积公公式式-11-即即：( )baIf x dx0()nkkkA f x ( )bkkkaxAlx dx 其其中中：为为求求积积节节点点( (插插值值节节点点)

12、), ,求求积积系系数数。称称上上述述由由插插值值基基函函数数确确定定求求积积系系数数的的公公式式为为插插值值型型求求积积公公式式。()求求积积余余项项 方方法法误误差差nnRII ( )( )bnaf xP x dx (1)0( )()(1)!nnbkakfxx dxn ( )baf x dx ( )bnaP x dx P107h(-)T 2代代数数精精度度-12-1( )()nbkknakIf x dxA f xI 2n 具具有有 个个求求积积节节点点的的数数定定理理值值求求积积公公式式1n 是是插插值值型型求求积积公公式式的的充充要要条条件件是是该该公公式式至至少少具具有有次次代代数数精

13、精度度。Newton-Cotes二二 公公式式求求积积节节点点的的等等距距分分布布插插值值型型求求积积公公式式. .( )baIf x dx ( )bkkaAlx dx 0nbjajkjj kxxdxxx 考考虑虑插插值值型型求求积积公公式式( )bnaP x dx0( )() ( )( )LagrangennkkkP xf xlxf x其其中中：为为的的插插值值多多项项式式，0() ( )nbkkakf xlx dx0( )()nbkkaklx dx f x kA下下面面考考虑虑插插值值节节点点等等距距时时的的计计算算： 公公式式推推导导-13- , (0,1,n)kbaa b nhxakh

14、 kn将将等等分分，步步长长，节节点点，则则 0nbjkajkjj kxxAdxxx 00()()nnjj ktj hhdtkj h xath 00()()()()()nnjj kathajhd athakhajh 换换元元0,0(1)(2)(1)(1)()nnjj ktjhkkknkkdtk kk 0,0( 1)(!)!)nnjj kn kkjhdkntt 00( 1)()! ()!n knj nj khtj dtknk 001()()()! ()!n knj nj kbatj dtn knk ( )()nkbaC001( )()()! (Cote!s)n knnkj nj kCtj dtn

15、 knk 其其中中= =，称称为为系系数数. .-14-nNewton-Cotes 阶阶公公式式为为0()nkkknA f xI ( )0()()nnkkkbaCf x ( )( )nkCf x注注：与与和和积积分分区区间间均均无无关关！Newton-Cotes 几几个个低低阶阶公公式式11n、时时 积积分分区区间间一一等等分分001( )()()! ()!n knnkj nj kCtj dtn knk= = 1(1)00(1)Ctdt 1(1)10Ctdt ( )baIf x dx ( ( )( )2baf af b - - -梯梯形形公公式式12 12 -15-001( )()()! ()

16、!n knnkj nj kCtj dtn knk= = 22n、时时 积积分分区区间间2 2等等分分2(2)001(1)(2)4Cttdt ( )baIf x dx ( )4 ()( )62baabf aff b 2(2)101(2)2Ct tdt 2(2)201(1)4Ct tdt 16 46 16 Simpson-公公式式4n3 3、同同理理可可得得时时： (4)(4)(4)(4)(4)0413273212,909090CCCCC ( )baIf x dx 01234(7 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90baf xf xf xf xf x Cotes- - -公公式式-16-

17、Cotes系系数数表表-17-P108-Th1 代代数数精精度度【】1NewtonCotes.nnnmnn ，当当 为为偶偶数数阶阶公公式式的的代代数数精精度度为为，当当 为为奇奇数数SimpsonCetos1 3 5注注：梯梯形形公公式式、公公式式和和公公式式分分别别具具有有 、次次代代数数精精度度。120.61SimpsonCetos.1Idxx 例例1 1分分别别用用梯梯形形公公式式、公公式式和和公公式式计计算算积积分分-18-求求积积余余项项1梯梯形形公公式式一一般般插插值值求求积积公公式式余余项项： ( )( )bnaf xP x dx (1)0( )()(1)!nnbkakfxx

18、dxn nnRII ( )( )()()2bafR Txaxb dx ( )()()2bafxaxb dx 3()( )12baf , a b , ( ), ( )C( ) , , ( ) ( )( )( )a bbbaaf xg xg xa ba bf x g x dxfg x dx 设设且且在在上上不不变变号号积积分分中中值值定定理理：，则则，满满足足: :2Simpson公公式式4(4)( )()( )1802ba baR Sf 3Cotes公公式式6(6)2()( )()( )9454babaR Cf -19-( )0()()( )1nnnkkkIbaCf xf x 对对精精确确成成立

19、立稳稳定定性性1Cotes系系数数的的特特点点( )01()nbnkakdxbaC ( )01nnkkC Cotes由由系系数数表表，看看到到：( )7nknC 当当时时，全全为为“正正数数”；( )8nknC 当当时时，中中“有有正正有有负负”。-20-2舍舍入入误误差差(),()()()()kkkkkkf xf xf xf xf x 设设为为精精确确值值 而而为为的的近近似似值值, ,误误差差由由此此引引起起的的计计算算误误差差为为：nnII( )( )00()()()()nnnnkkkkkkbaCf xbaCf x( )0()()()nnkkkkbaCf xf x( )0()nnkkkb

20、aC( )0()nnkkbaC ( )0()nnkkkbaC max.k 其其中中 = =( )70,nknC当当时时，有有nnII ()ba ，即即误误差差没没有有放放大大，稳稳定定。( )800nknCor当当时时，( )0()nnkkbaC ( )0()nnkkbaC ()ba 即即误误差差可可能能被被放放大大，不不稳稳定定。10)(nknkC性质：-21-收收敛敛性性收收敛敛性性无无保保证证，不不一一定定0即即：高高阶阶公公式式代代数数精精度度高高，但但效效果果不不一一定定好好！1211125Idxx 如如计计算算的的近近似似值值：lim即即nnII -22-一一 基基本本思思想想(

21、)( )f xf x利利用用的的低低次次分分段段插插值值多多项项式式代代替替进进行行积积分分！ , a bn将将积积分分区区间间分分割割为为 等等份份，(0,1, ),kbaxakhkn hn 各各节节点点则则( )baIf x dx 1复复化化梯梯形形公公式式110( )( )kknbxaxkIf x dxf x dx 110 ()()2nkkkhf xf x 11 ( )2()( )2nkkbaf af xf bn 1x2x1nx .几几何何意意义义110( )kknxxkf x dx nT 3 复化求积法复化求积法-23-( )bnaf x dxS 1414kkxxh 2Simpson复

22、复化化公公式式3Cotes复复化化公公式式2等等分分1/21/21,kkkkxxxx 1,kkxx 11102 ()4 ()()6nkkkkhf xf xf x 111012 ( )4()2()( )6nnkkkkbaf af xf xf bn 1212kkkxxx 其其中中1244107 ( )32 ()12 ()90nnkkkbaCf af xf xn 341132 () 14()7 ( )nkkkf xf xf b -24-111230144417 (0)32 ()12 ()32 () 14()7 (1)180kkkkkkff xf xf xf xf 10sinsin( )xxf xId

23、xxx 例例1 1 已已知知的的数数据据，用用复复化化求求积积法法求求的的近近似似值值。8T0 x1x2x3x4x5x6x7x8x复复化化梯梯形形公公式式：711 (0)2()(1)16kkff xf 8T0.94569086 Simpson复复化化公公式式：3310121 (0)4()2()(1)24kkkkff xf xf 4S0.94608331 2C 0.94608307 Cotes复复化化公公式式：4S0 x0 1/2x 1x1 1/2x 2x2 1/2x 3x3 1/2x 4x2C0 x0 1/4x 0 1/2x 0 3/4x 1x1 1/4x 1 1/2x 1 3/4x 2x10

24、sin0.946083070367183注注：精精确确值值xIdxx 精精度度最最高高精精度度次次高高精精度度最最低低18,8nh14,4nh12,2nh-25-2()()12kkhR Thf 4复复化化求求积积公公式式余余项项 , a b 上上的的求求积积余余项项,kkxx1上上的的求求积积余余项项复复化化公公式式的的余余项项3()( )( )12baR Tf 4(4)( )()( )1802ba baR Sf 6(6)2()( )()( )9454babaR Cf 4(4)()()1802kkhhR Sf 6(6)2()()9454kkhhR Cf 2()()( )12nhR Tba f

25、4(4)()( )1802nbahR Sf 6(6)2()()( )9454nbahR Cf 以以复复化化梯梯形形公公式式为为例例证证明明：-26-310()12nkkhf 10()nkkfmMn 2( ) , ,设设函函数数则则复复化化梯梯形形公公式式求求积积余余项项为为：f xCa b nIT 210()12nkkbahnf ( ) , 在在上上连连续续fxa b ( ) , ,( ).在在闭闭区区间间内内有有最最大大、最最小小值值 和和即即fxa bmMmfxM 10(),nkkmfnMn , , ,由由连连续续函函数数的的介介值值定定理理使使得得a b 10()( )nkkffn 2(

26、)( )12nhITba f 10()nkkR T 110( )kknxkxkf x dxT ( )bnaf x dxT 11100( )kknnxkxkkf x dxT 2()()12kkhR Thf , a b 上上的的求求积积余余项项,kkxx1上上的的求求积积余余项项复复化化公公式式的的余余项项3()( )( )12baR Tf 2()()( )12nhR Tba f 310()12nkkhf -27-二二 变变步步长长复复化化求求积积法法 复复化化求求积积公公式式存存在在的的问问题题.( )f xh 复复化化求求积积法法是是提提高高精精度度的的有有效效方方法法，但但是是由由于于表表达

27、达式式往往往往未未知知，在在给给定定精精度度条条件件下下，步步长长 难难以以确确定定！h太太大大，精精度度达达不不到到；.h太太小小，计计算算量量大大！.变步长复化求积法的变步长复化求积法的 基本思想基本思想. 先先选选择择一一个个较较大大的的步步长长，对对结结果果进进行行精精度度估估计计，若若不不满满足足精精度度则则步步长长缩缩小小一一半半，直直到到满满足足精精度度要要求求。需要考需要考 虑的问题虑的问题.如如何何判判断断结结果果的的精精度度？.h在在 减减半半的的情情况况下下，如如何何节节省省计计算算量量？.-28-222nnnnnTTTorTT 2nnITIT 4 221()3nnnIT

28、TT 2nTI以以作作为为 的的近近似似值值，含含义义：误误差差大大概概为为计计算算结结果果精精度度的的如如何何判判定定？G.()nnR TIT 2()( )12hba f 2122()()12()2()()12hba fhba f 1,T2,T4,T8,T.直直至至满满足足：2nnTT 21()3nnTT 精精度度判判定定的的条条件件：?-29-h步步长长 减减半半后后，如如何何节节省省量量？A.1 , ,kka bxxn 积积分分区区间间时时，在在等等分分上上( )1 ()()2knnkkhTf xf x 1 ,2kka bxnx 积积分分区区间间后后，在在等等分分上上( )21/21/2

29、 ()2 ()()2knnkkkhTf xf xf x( )1/2122()nknkfhxT 11/20(1)22nnkknhTf x 1/2()kf x “加加”即即：步步长长减减半半后后，只只需需算算。11/2 ()()12()22nkknkhf xxffxh 1( )20nknkT 1( )10/212()2nnkkknf xhT 2nT ( )11/210012()2nnkknkknf xTh 1/2kx 12kkxx -30- 回回顾顾.2()()12(nhbfTaR 4(4)( )1802()nbaRhSf 6(6)2()( )9454()nbahfR C 复复化化公公式式的的求求

30、积积余余项项. 复化梯形公式的事后误差估计复化梯形公式的事后误差估计.221()3nnnITTT 与与之之间间的的关关系系2nnTT.121/2012(2)nnnnkkTTf xh Romberg三三 积积分分法法-31- 与与、与与之之间间的的关关系系nnnnTSSC.221()3即即：可可看看成成是是的的误误差差估估计计nnnTTT 221()3若若记记，nnnTTTT 2则则可可以以 期期待待 比比有有更更好好的的精精度度nTT1,事事实实上上，在在上上有有：kkxx ( )1 ()()2knnkkhTf xf x ( )21/21/2 ()2 ()()2knnkkkhTf xf xf

31、x ( )1/21 ()4 ()()6knnkkkhSf xf xf x 显显然然满满足足：( )( )24133kknnTT ( )( )( )( )221()3kkkknnnnSTTT , Simpson在在上上利利用用复复化化的的公公式式有有：a b1( )0nknnkSS 1( )( )204133nkknnkTT 24133nnTT221()3nnnITTT .-32-2nnISIS 类类似似地地：.16 221()15nnnISSS 2221()15nnnnSSSS 可可以以期期待待具具有有更更高高精精度度事实上，事实上，221()15nnnnCSSS 利利用用插插值值余余项项类类

32、似似可可得得.221()63nnnICCC 221()63若若记记：nnnnRCCC 则则可可以以 比比精精度度更更高高，称称为为期期待待龙龙贝贝格格公公式式。n2nRC4(4)( )1802()nbaRhSf 6(6)2()( )9454()nbahfR C 4(4)1()1802hbaf 4(4)2/2()1802bafh -33-Romberg 公公式式计计算算过过程程.1T2T4T8T16T1S2S4S8S1C2C4C1R2R2kT12kS 22kC 32kR .-34-5 Gauss型求积公式型求积公式 问问题题.( )baIf x dx()1nkkkA f x插插值值型型求求积积公公式式1.n 代代数数精精度度至至少少为为问：问： 基基本本结结论论和和概概念念.1.;21kxn 只只要要选选取取求求积积节节点点，精精度度达达适适可可当当最最高高Guass.Gauss2kx具具有有最最高高精精度度的的插插值值求求积积公公式式，称称为为； 此此时时的的求求积积节节点点称称为为公公式式点点。？最高最高可达多少可达多少 这这样样如如构构造造？何