函数公开课实录

1、 世界是不断变化发展的，世界是不断变化发展的，生活中也充满着许许多多生活中也充满着许许多多变化的量，而这些变化的变化的量，而这些变化的量之间往往存在着这样或量之间往往存在着这样或那样的关系，请看那样的关系，请看汽车行驶的路程随行驶的时间而变化汽车行驶的路程随行驶的时间而变化气温随海拔而变化气温随海拔而变化行星在宇宙中的位置随时间而变化行星在宇宙中的位置随时间而变化圆的大小随着圆的半径而变化圆的大小随着圆的半径而变化交流讨论:能否找到生活中的实例能否找到生活中的实例,当一个量变化时，另一当一个量变化时，另一个量随之发生变化个量随之发生变化我们如何研究这些运动我们如何研究这些运动变化间的依赖关系呢

2、？变化间的依赖关系呢？(1) (1) 你坐过摩天轮吗？你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时你坐在摩天轮上时, ,随随着着时间时间t t的变化的变化, ,你离开你离开地面的地面的高度高度h h是如何变是如何变化的？化的？ 情境引入情境引入O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12311h（米）（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1231137h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

3、0 11 123113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）下图反映了下图反映了旋转时间旋转时间t t（分）（分）与摩天轮上一点与摩天轮上一点的的高度高度h h（米）（米）之间的关系。之间的关系。31137453711根据上根据上图填表图填表摩天轮摩天轮像这样像这样在某一变化过程中在某一变化过程中, ,可以可以取不同数值的取不同数值的量量, ,叫做叫做变量变量. . 1.变量与常量变量与常量:在一个变化过程中，数值发在一个变化过程中，数值发

4、生生变化变化的量叫的量叫变量，变量，数值始终保持数值始终保持不变不变的的量叫量叫常量常量.2.变量和常量在不同的变化过程中是可以变量和常量在不同的变化过程中是可以相相互转化互转化的的.3.在同一个变化过程中的在同一个变化过程中的两个变量两个变量之间，它之间，它们是互相制约、互相联系的，其中们是互相制约、互相联系的，其中一个量一个量是随另一个量的变化而变化的是随另一个量的变化而变化的. .变量和常量变量和常量加油过程加油过程1，开车到加油站2，开到要加的#（油号）跟前3服务人员过来询问加多少钱的，给钱，然后服务人员帮你加油4加完油开车走人可以可以表述为：表述为：给油钱给油钱加油站加油站输出油输出

5、油买菜买菜选好菜，选好菜，老板放电子秤上一放，老板放电子秤上一放，告知付款数，告知付款数，给钱拿菜走人，给钱拿菜走人，可以表述为：可以表述为：给钱给钱老板老板菜菜思考归纳思考归纳: 请同学们分组讨论。请同学们分组讨论。 1.前面我们研究的前面我们研究的每个问题中都有几个每个问题中都有几个变量？变量？2.同一个问题中的两个变量之间有什么联系？同一个问题中的两个变量之间有什么联系？ 两个变量两个变量 每个问题中的两个变量互相联系，每个问题中的两个变量互相联系，其中一个变量其中一个变量取定一个值取定一个值时时,另一个变另一个变量就量就随之确定一个值随之确定一个值. 即：一个变量的值随另一个变量的即：

6、一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化值的变化而变化.函数函数: 一般地一般地, ,在一个变化过程中在一个变化过程中, ,如如果有两个变量果有两个变量x x和和y,y,并且并且对于对于x x的的每一个确定每一个确定的值的值,y,y都有都有唯一唯一确定确定的值与其对应的值与其对应, ,那么我们就说那么我们就说x x是是自变量自变量,y,y是是x x的的函数函数. . 理解：理解：1. 函数谈的是变量间的关系。函数谈的是变量间的关系。 2. 对于对于x的每一个确定的值，的每一个确定的值， y都有唯一被确定的值与其对应，都有唯一被确定的值与其对应， y才才是是x的函数的函数.心得心得(自变量自变量

7、)函数关系可以表述为：函数关系可以表述为：输入输入x函数关系函数关系输出输出y(因变量因变量)y的值是唯一的的值是唯一的例如例如y=x+158y=x+158，变量，变量y y是变量是变量x x的函数的函数. .当当x=1x=1时，函数时，函数y y的函数值等于的函数值等于159159当当x=4x=4时，函数时，函数y y的函数值等于的函数值等于162162如果当如果当x=a时时,y=b,那么那么b叫做当自叫做当自变量的值为变量的值为a时的时的函数值函数值.莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂幂”柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的

8、值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词我国清代数学家李善兰在翻译代数学（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的.指出“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。 数学史数学史莱布尼茨，德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，1646年出生（伽利略逝世后第4年，也是牛顿出生后的第4年），。他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学

9、、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，公元1700年左右，莱布尼茨从一位友人送给他的中国“易图”（八卦）里受到启发，最终悟出了二进制数之真谛。虽然莱布尼茨的乘法器仍然采用十进制，但他率先为计算机的设计，系统提出了二进制的运算法则，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。创设的符号有商“a/b”, 比“a:b”，相似“”, 全等“ ”、并“”、“交“ ”以及函数和行列式等符号。关于柯西柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，是法国数学家

10、、物理学家、天文学家。尤其在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。李善兰（1811年1月22日1882年12月9日）在19世纪把西方近代数学知 识翻译为中文的传播工作中李善兰作出了重大贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文算学部长执 教达13年之久为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。继梅文鼎之后，李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表。他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入

11、中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。自20世纪30年代以来，李善兰受到国际数学界的普遍关注和赞赏。想一想想一想1在计算器上按下列程序进行操作：在计算器上按下列程序进行操作：输入输入x（任意一个数）（任意一个数）按键按键25=显示显示y（计算结果）（计算结果）填表填表问题问题：1.从这个过程中你发现哪些量是固定不从这个过程中你发现哪些量是固定不变的，哪些量是不断变化的？变的，哪些量是不断变化的？2.显示的数显示的数y是是x的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？711- 352071分钟2分钟t分钟学校 小明骑自行车从家到学校，匀速行驶，速度小明骑自行车从家到学校，匀速行驶，速度为为6060米米

12、/ /分钟分钟. .请你用请你用s s表示小刚在以下几个时表示小刚在以下几个时间段骑车的总路程间段骑车的总路程. .S=60S=120S=60t问题问题：1.从这个过程中你发现哪些量从这个过程中你发现哪些量是固定不变的，哪些量是不断变化的？是固定不变的，哪些量是不断变化的？2. 显示的数显示的数y是是x的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？ 每张电影票的售价为每张电影票的售价为10元元,如果早场如果早场售出票售出票150张张,场售出票场售出票205张张,晚场售晚场售出票出票310张张.三场电影的票房收入分别三场电影的票房收入分别为为 元元, 元元, 元元;15002050310010 x设一场电

13、影售出票设一场电影售出票x张张, 票房收入票房收入为为y元元,用含用含x的的 式子表示式子表示 y,则则y=_.在一根弹簧的下端悬挂重物在一根弹簧的下端悬挂重物, ,改变并改变并记录重物的质量记录重物的质量, ,如果弹簧原长如果弹簧原长10cm,10cm,每每1kg1kg重物使重物使弹簧伸长弹簧伸长0.5cm,0.5cm,请用含重物质量请用含重物质量m m(kg)(kg)的式子表示受力后的弹簧的式子表示受力后的弹簧长度长度L L(cm),(cm),则则L L= = 10+0.5m用用10m10m长的绳子长的绳子围成长方形围成长方形, ,试试改变长方形的长改变长方形的长度，观察长方形度，观察长方

14、形的面积如何变化，的面积如何变化，设长方形的长度为设长方形的长度为 m m，面积为，面积为S Sm m2 2, ,用含用含 的式子表示的式子表示S S, ,则则S S= = _.ll(102 )2ll变量和常量是相对的变量和常量是相对的, ,对不同对不同的过程而言的过程而言, ,其中的变量和常其中的变量和常量是不相同的量是不相同的. .注意：注意：汽车离开汽车离开A A站站5千米以后，以千米以后，以40千米千米/时的时的平均速度行驶了平均速度行驶了t小时小时, ,汽车离开汽车离开A A站所走站所走的路程为的路程为s千米千米, ,请先填写下表请先填写下表: :所以所以, ,s=_. 观察填出的表

15、格观察填出的表格, ,会发现会发现: :每当行驶时每当行驶时间间t t取定一个值取定一个值, ,汽车离开汽车离开A A站所走的路程站所走的路程s s就就_. .4585 1251652055+40t随之确定一个值随之确定一个值徐老师用徐老师用100100元购买元购买7 7元元/ /包的辣条，包的辣条，观察她剩余的钱观察她剩余的钱y(y(元元) )与购买这种商与购买这种商品的数量品的数量x(x14)x(x14)之间的关系之间的关系: :当当x=5时时,y=_；当当x=12时时,y=_. 从中可以看出：每当徐老师从中可以看出：每当徐老师购买这种购买这种商品数量商品数量x x(x(x14)14)取定

16、一个值时取定一个值时，她，她剩余的钱剩余的钱y y( (元元) )就就_._.交流讨论:能否找到生活中的实例能否找到生活中的实例,使两变量成函数关系使两变量成函数关系?这些例子中的函数关系都能这些例子中的函数关系都能用函数解析式表示吗用函数解析式表示吗? 在数学中在数学中,“,“y是是x的函数的函数”这句话常这句话常用解析用解析式表示，写成式表示，写成 y = 含含x的代数式的代数式来表示来表示, ,这里这里x是自变量是自变量, ,y是是x的函数的函数. .39 下图是体检时的心电图下图是体检时的心电图, ,其中横坐标其中横坐标x x表示表示时间时间, ,纵坐标纵坐标y y表示心脏部位的生物电

17、流表示心脏部位的生物电流, ,它们是两个它们是两个变量变量. .在心电图中在心电图中, ,对于对于x x的每一个确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯都有唯一确定的对应值吗一确定的对应值吗? ?心电图是医学检查中用仪器记录心脏跳动状况的曲心电图是医学检查中用仪器记录心脏跳动状况的曲线，其中每个点的横、纵坐标是有线，其中每个点的横、纵坐标是有单值对应关系单值对应关系的的两个变量两个变量. .即即: :对于对于x x的每一个确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯一都有唯一确定的对应值确定的对应值. .观察观察1观察观察2 在下面的我国人口数统计表中在下面的我国人口数统计表中, ,年份与人口年份与人

18、口数可以记作两个变量数可以记作两个变量x x与与y,y,对于表中每一个确定的年对于表中每一个确定的年份份(x),(x),都对应着一个确定的人口数都对应着一个确定的人口数(y)(y)吗吗? ? 对于表中每一个确定的年份对于表中每一个确定的年份x x, ,人口数人口数y y都有唯都有唯一确定的值与其对应一确定的值与其对应. .图 17.1.1 下图是长沙某日温度变化图下图是长沙某日温度变化图,横坐标横坐标 t 表示时间，纵坐表示时间，纵坐标标 T 表示温度，它们是两个变量表示温度，它们是两个变量。8时时,10时时,14时的温时的温度分别为多少度分别为多少? 思考：思考：对于图中每一个确定的时间对于

19、图中每一个确定的时间t,都对应着一个确定的温度都对应着一个确定的温度T吗吗?温度温度T是时间是时间t的函数吗？的函数吗？ 韩国韩国EXOEXO组合成员吴亦凡与组合成员吴亦凡与SMSM公司解约一事导致公司解约一事导致SMSM股价暴跌。请问股价暴跌。请问: :股价是时间的函数吗股价是时间的函数吗? ? 下下表是中国人民银行公布的表是中国人民银行公布的“整存整取整存整取”年利率年利率. .1.801.802.252.252.522.523.063.063.693.694.144.14 表中的变量是否存在函数关系表中的变量是否存在函数关系?如果存在如果存在,谁是谁的函数谁是谁的函数? 0808北京奥运

20、会北京奥运会, ,中国取得了辉煌的成绩中国取得了辉煌的成绩, ,让每个中国人都为之骄傲让每个中国人都为之骄傲, ,观察观察北京奥运金牌榜北京奥运金牌榜, ,表中的变量是否存在函数关系表中的变量是否存在函数关系? ?如果存在如果存在, ,谁是谁的函数谁是谁的函数? ? 下下表是中国人民银行公布的表是中国人民银行公布的“整存整取整存整取”年利率年利率. .1.801.802.252.252.522.523.063.063.693.694.144.14 表中的变量是否存在函数关系表中的变量是否存在函数关系?如果存在如果存在,谁是谁的函数谁是谁的函数?（2） 列表法列表法 （3） 图象法图象法 （1）

21、 解析式解析式法法 用来表示函数关系的用来表示函数关系的等式等式叫做函叫做函数关系式数关系式,也称为也称为函数的解析式函数的解析式.如如yx+158,S=60t 函数的关系式是函数的关系式是等式等式. 通常等式的通常等式的右边右边是含有自变量的代数是含有自变量的代数式式, ,左边左边的一个字母表示函数的变量名称的一个字母表示函数的变量名称. .如何书写函如何书写函数解析式数解析式呢？呢？那么函数解析式的书写有没有要求呢？那么函数解析式的书写有没有要求呢？根据所给的条件根据所给的条件,写出写出y与与x的函数关系式：的函数关系式： 矩形的周长是矩形的周长是18cm,它的长是它的长是y cm,宽是宽

22、是x cm.48 利用变量之间的关系列出方程利用变量之间的关系列出方程,再把方程变形再把方程变形,从而求出两个变量之从而求出两个变量之间的函数关系间的函数关系. 思考题：思考题：填表并回答问题：填表并回答问题：（1）对于）对于x的每一个值，的每一个值，y都有唯一的值与之都有唯一的值与之对应吗？答：对应吗？答： 。 （2）y是是x的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？2和28和818和1832和32不是不是答：不是，因为答：不是，因为y的值不是唯一的。的值不是唯一的。试一试 变量变量y与与x的关系如图，的关系如图，y是是x的函数吗？的函数吗？是是不是不是例例1 1 下列问题中哪些量是自变量？哪下列

23、问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？并写出用自变些量是自变量的函数？并写出用自变量表示函数的式子量表示函数的式子. .（1 1）多边形的内角和）多边形的内角和随边数随边数n n的变的变化而变化；化而变化；解：解： （1 1） =（n n2 2）180180例例1 1 下列问题中哪些量是自变量？哪下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？并写出用自变些量是自变量的函数？并写出用自变量表示函数的式子量表示函数的式子. . （2 2）计划花）计划花500500元购买篮球，所能购元购买篮球，所能购买篮球的总数买篮球的总数n n（个）随单价（个）随单价a a（元）（元）的变化而变化的变化而变化. .解：解：500(2)n