独立性检验的思想及应用ppt课件

1、1.2独立性检验的独立性检验的根本思想及其初根本思想及其初步运用步运用高二数学高二数学 选修选修 1-2 第一章第一章 统计案例统计案例1、相关系数、相关系数 r n(x -x)(y -y)iii=1r=nn22(x -x)(y -y)iii=1i=1复习回想复习回想iiiiyyybxaiiiiee 称为相应点(x ,y )的残差21()niiiyy3、残差平方和、残差平方和2、残差、残差复习回想复习回想4、总偏向平方和、总偏向平方和21()niiyy22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和5、相关指数、相关指数R2回归平方和回归平方和2 2定定量量变变量量回回归

2、归分分析析（画画散散点点图图、相相关关系系数数r r、变变量量 相相关关指指数数R R 、残残差差分分析析）分分类类变变量量研究两个变量的相关关系：定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。宗教信仰、国籍等等。两种变量：独立性检验独立性检验本节研讨的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们经常关怀分类变量之间能否有关系：在日常生活中，我们经常关怀分类变量之间能否有关系：例如，吸烟能否与患肺癌有关系？例如，吸烟能否与患肺癌有关系？ 性别

3、能否对于喜欢数学课程有影响？等等。性别能否对于喜欢数学课程有影响？等等。 吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计98749874919199659965为了调查吸烟能否对肺癌有影响，某肿瘤研讨所随机为了调查吸烟能否对肺癌有影响，某肿瘤研讨所随机地调查了地调查了99659965人，得到如下结果单位：人人，得到如下结果单位：人列联表列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是 阐明：吸烟者和不吸烟者

4、患肺癌的能够性存在差别，吸烟者患阐明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的能够性存在差别，吸烟者患肺癌的能够性大。肺癌的能够性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探求探求不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟7775427817吸烟吸烟2099492148总计总计98749199651、列联表2、三维柱形图3、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从三维柱形图能明晰看出从三维柱形图能明晰看出各个频数的相对大小。各个频数的相对大小。从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不

5、患肺癌的比例。患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。经过图形直观判别两个分类变量能否相关：不吸烟吸烟00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例4、等高条形图等高条形图更明晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。 上面我们经过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，上面我们经过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么现实能否真的如此呢？这需求用统计观念来调查这个问题。那么现实能否真的如此呢？这需求用统计观念来调查这个问题。 如今想要知道可以以多大的把握以为如今想要知道可以以多大的把握以为“吸烟与患肺癌有关，吸烟与患肺癌有关，为

6、此先假设为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母替代，得到如下用字母表示的列联表把表中的数字用字母替代，得到如下用字母表示的列联表 用用A表示不吸烟，表示不吸烟，B表示不患肺癌，那么表示不患肺癌，那么“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系等价于等价于“吸烟与患肺癌独立，即假设吸烟与患肺癌独立，即假设H0等价于等价于 P(AB)=P(A)P(B).因此因此|ad-bc|越小，阐明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，阐明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |

7、ad-bc|越大，阐明吸烟与患肺癌之间关系越强。越大，阐明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+dadbc即()()ac aba+ba+bacaca+bc+da+bc+d假设假设“吸烟与患肺癌没有关系，那么在吸烟者中不患肺癌的比吸烟与患肺癌没有关系，那么在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即0ad-bc 为了使不同样本容量的数据有一致的评判规范，基于上述分为了使不同样本容量的数据有一致的评判规范，基于上述分析，我们构造一个随机变量析，我们构

8、造一个随机变量-卡方统计量卡方统计量22()()()()()n adbcKab cdac bdnabcd其中为样本容量。1 假设假设 H0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系，那么吸烟与患肺癌没有关系，那么K2应应很小。很小。根据表根据表3-7中的数据，利用公式中的数据，利用公式1计算得到计算得到K2的观测值为：的观测值为：那么这个值究竟能通知我们什么呢？那么这个值究竟能通知我们什么呢？242 209956.6327817 2148 9874 91k9965(7775 49）2 独立性检验在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即在即在H0成立的

9、情况下，成立的情况下，K2的值大于的值大于6.635的概率非常小，近似的概率非常小，近似于于0.01。2(6.635)0.01.P K （2） 也就是说，在也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量成立的情况下，对随机变量K2进进展多次观测，观测值超越展多次观测，观测值超越6.635的频率约为的频率约为0.01。思索 206.635?KH如果，就断定不成立，这种判断出错的可能性有多大答：判别出错的概率为0.01。2009965 7775 49 42 2099566327817 2148 9874 91().kHH 现现在在观观测测值值太太大大了了，在在成成立立的的情情况况下下能能够够出出现现这这

10、样样的的观观测测值值的的概概率率不不超超过过0 0. .0 01 1，因因此此我我们们有有9 99 9% %的的把把握握认认为为不不成成立立，即即有有9 99 9% %的的把把握握认认为为“吸吸烟烟与与患患肺肺癌癌有有关关系系”。判别判别 能否成立的规那能否成立的规那么么0H假设假设 ，就判别，就判别 不成立，即以为吸烟与不成立，即以为吸烟与患肺癌有关系；否那么，就判别患肺癌有关系；否那么，就判别 成立，即以为吸成立，即以为吸烟与患肺癌有关系。烟与患肺癌有关系。6.635k 0H0H独立性检验的定义独立性检验的定义 上面这种利用随机变量上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上来确定在多大程度

11、上可以以为可以以为“两个分类变量有关系的方法，称为两两个分类变量有关系的方法，称为两个分类变量的独立性检验。个分类变量的独立性检验。在该规那么下，把结论在该规那么下，把结论“ 成立错判成成立错判成“ 不成立的概率不会差过不成立的概率不会差过0H0H2(6.635)0.01,P K 即有即有99%的把握以为的把握以为 不成立。不成立。0H独立性检验的根本思想类似反证法独立性检验的根本思想类似反证法(1)(1)假设结论不成立假设结论不成立, ,即即 “ “两个分类变量没有关系两个分类变量没有关系. .0:H(2)(2)在此假设下我们所构造的随机变量在此假设下我们所构造的随机变量 K2 K2 应该很

12、小应该很小, ,假设由假设由观测数据计算得到观测数据计算得到K2K2的观测值的观测值k k很大很大, ,那么在一定可信程度上那么在一定可信程度上阐明阐明 不成立不成立. .即在一定可信程度上以为即在一定可信程度上以为“两个分类变量有两个分类变量有关系；假设关系；假设k k的值很小，那么阐明由样本观测数据没有发现的值很小，那么阐明由样本观测数据没有发现反对反对 的充分证据。的充分证据。0H0H(3)(3)根据随机变量根据随机变量K2K2的含义的含义, ,可以经过评价该假设不合理的可以经过评价该假设不合理的程度程度, ,由实践计算出的由实践计算出的, ,阐明假设合理的程度为阐明假设合理的程度为99

13、%,99%,即即“两两个分类变量有关系这一结论成立的可信度为约为个分类变量有关系这一结论成立的可信度为约为99%.99%.怎样判别怎样判别K2的观测值的观测值k是大还是小呢？是大还是小呢？ 这仅需求确定一个正数这仅需求确定一个正数 ，当，当 时就以为时就以为K2的观测的观测值值 k大。此时相应于大。此时相应于 的判别规那么为：的判别规那么为：0k0kk0k假设假设 ，就以为，就以为“两个分类变量之间有关系；否那两个分类变量之间有关系；否那么就以为么就以为“两个分类变量之间没有关系。两个分类变量之间没有关系。0kk0k-临界值临界值按照上述规那么，把按照上述规那么，把“两个分类变量之间有没关系错

14、误的判两个分类变量之间有没关系错误的判别为别为“两个分类变量之间有关系的概率为两个分类变量之间有关系的概率为P( ).20Kk在实践运用中，我们把在实践运用中，我们把 解释为有解释为有的把握以为的把握以为“两个分类变量之间有关系；把两个分类变量之间有关系；把 解释为解释为不能以不能以 的把握以为的把握以为“两个分类变量两个分类变量之间有关系，或者样本观测数据没有提供之间有关系，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量两个分类变量之间有关系的充分证据。之间有关系的充分证据。0kk2(1() 100%P Kk0kk2(1() 100%P Kk思索：思索： 利用上面的结论，他能从列联表的利用上面的结论

15、，他能从列联表的三维柱形图中看出两个分类变量能否相三维柱形图中看出两个分类变量能否相关呢？关呢？表表1-11 2x2联表联表 普通地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表称为2x2列联表为：y1y2总计总计x1aba+bx2cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d 假设要判别的结论为：H1：“X与Y有关系，可以按如下步骤判别H1成立的能够性：aabccd2、可以利用独立性检验来调查两个分类变量能否有、可以利用独立性检验来调查两个分类变量能否有关系，并且能较准确地给出这种判别的可靠程度。关系，并且能较准确地给出这种判别的可靠程度。1、经过三维柱形

16、图和二维条形图，可以粗略地判别、经过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判别两个变量能否有关系两个变量能否有关系,但是这种判别无法准确地给出但是这种判别无法准确地给出所得结论的可靠程度。所得结论的可靠程度。 1在三维柱形图中，在三维柱形图中， 主对角线上两个柱形高主对角线上两个柱形高度的乘积度的乘积ad与副对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上两个柱形高度的乘积bc相相差越大，差越大，H1成立的能够性就越大。成立的能够性就越大。 2在二维条形图中在二维条形图中,可以估计满足条件可以估计满足条件X=x1的的个体中具有个体中具有Y=y1的个体所占的比例的个体所占的比例 ，也可以，也可以估计满足条件估

17、计满足条件X=x2的个体中具有的个体中具有Y=y1的个体所占的比例的个体所占的比例 。两个比。两个比例相差越大，例相差越大，H1成立的能够性就越大。成立的能够性就越大。aabccd在实践运用中，要在获取样本数据之前经过下表确定临界值：在实践运用中，要在获取样本数据之前经过下表确定临界值：0.500.400.250.150.100.455 0.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.841 5.0246.6367.87910.8280)k2P(K0k0k0)k2P(K详细作法是：详细作法是：(1)根据实践问题需求的可信程度确定临界值根据实践问题需求

18、的可信程度确定临界值 ；(2)利用公式利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量，由观测数据计算得到随机变量 的观测值；的观测值；(3)假设假设 ，就以，就以 的把握以为的把握以为“X与与Y有关系；否那么就说样本观测数据没有提供有关系；否那么就说样本观测数据没有提供“X与与Y有关系有关系的充分证据。的充分证据。0k2K0kk20(1() 100%P Kk例例1 在某医院，由于患心脏病而住院的在某医院，由于患心脏病而住院的665名男性病人中，有名男性病人中，有214人秃顶；而另外人秃顶；而另外772名不是由于患心脏病而住院的男性病人中有名不是由于患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用

19、图形和独立性检验方法判别秃顶与患心脏人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判别秃顶与患心脏病能否有关系？他所得的结论在什么范围内有效？病能否有关系？他所得的结论在什么范围内有效？解：根据标题所给数据得到如以下联表：解：根据标题所给数据得到如以下联表：患心脏病患心脏病不患心脏病不患心脏病总计总计秃顶秃顶214175389不秃顶不秃顶4515971048总计总计6657721437 相应的三维柱形图如下图，比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，因此可以在某种程度上以为“秃顶与患心脏病有关。秃头不秃头例例1 在某医院，由于患心脏病而住院的在某医院，由于患心脏病而住院的665名男性病人中，

20、有名男性病人中，有214人秃顶；而另外人秃顶；而另外772名不是由于患心脏病而住院的男性病人中有名不是由于患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判别秃顶与患心脏人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判别秃顶与患心脏病能否有关系？他所得的结论在什么范围内有效？病能否有关系？他所得的结论在什么范围内有效？解：根据标题所给数据得到如以下联表：解：根据标题所给数据得到如以下联表：患心脏病患心脏病不患心脏病不患心脏病总计总计秃顶秃顶214175389不秃顶不秃顶4515971048总计总计6657721437 根据联表1-13中的数据，得到221437 (214 597 1

21、75 451)16.3736.635.389 1048 665 772K所以有所以有99%的把握以为的把握以为“秃顶患心脏病有关。秃顶患心脏病有关。例1.秃头与患心脏病 在处理实践问题时，可以直接计算K2的观测值k进展独立检验，而不用写出K2的推导过程 。 本例中的边框中的注解，主要是使得学生们留意统计结果的适用范围这由样本的代表性所决议。由于这组数由于这组数据来自住院据来自住院的病人，因的病人，因此所得到的此所得到的结论适宜住结论适宜住院的病人群院的病人群体体例例2 为调查高中生的性别与能否喜欢数学课程之间的关系，在为调查高中生的性别与能否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽

22、取某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：名学生，得到如下联表：喜欢数学课程喜欢数学课程不喜欢数学课程不喜欢数学课程总计总计男男3785122女女35143178总计总计72228300由表中数据计算由表中数据计算K2的观测值的观测值k 4.514。可以以。可以以95%的把握以为高的把握以为高中生的性别与能否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细论述得出中生的性别与能否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细论述得出结论的根据。结论的根据。解：可以有解：可以有95%以上的把握以为以上的把握以为“性别与喜欢数学课程之间有关系。性别与喜欢数学课程之间有关系。分别用分别用a,b,c,d表示样本中喜

23、欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。假设性别与能否喜欢数学课有关系，那么男生中喜欢数学课的比例假设性别与能否喜欢数学课有关系，那么男生中喜欢数学课的比例 与女生中喜欢数学课的比例与女生中喜欢数学课的比例 应该相差很多，即应该相差很多，即aabccd()()acadbcabcdab cd()()()()()abcd ab cdac bd 例例2 为调查高中生的性别与能否喜欢数学课程之间的关系，在为调查高中生的性别与能否喜欢数学课程之间的关系，

24、在某城市的某校高中生中随机抽取某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：名学生，得到如下联表：喜欢数学课程喜欢数学课程不喜欢数学课程不喜欢数学课程总计总计男男3785122女女35143178总计总计72228300由表中数据计算由表中数据计算K2的观测值的观测值k 4.514。可以以。可以以95%的把握以为高的把握以为高中生的性别与能否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细论述得出中生的性别与能否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细论述得出结论的根据。结论的根据。()()()()()abcd ab cdac bd 22(),()()()()n adbcKab cd ac bd因此，因此，

25、 越大，越大， “性别与喜欢数学课程之间有关系成立的能够性就越大。性别与喜欢数学课程之间有关系成立的能够性就越大。2K另一方面，在假设另一方面，在假设“性别与喜欢数学课程之间有关系的前提下，事件性别与喜欢数学课程之间有关系的前提下，事件 的概率为的概率为23.841K 2(3.841)0.05,P K 因此事件因此事件A是一个小概率事件。而由样本数据计算得是一个小概率事件。而由样本数据计算得 的观测值的观测值k=4.514,即即小概率事件小概率事件A发生。因此应该断定发生。因此应该断定“性别与喜欢数学课程之间有关系成立，性别与喜欢数学课程之间有关系成立，并且这种判别结果出错的能够性约为并且这种

26、判别结果出错的能够性约为5%。所以，约有。所以，约有95%的把握以为的把握以为“性性别与喜欢数学课程之间有关系。别与喜欢数学课程之间有关系。2K例例3、某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成果优、某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成果优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，那么数学成果优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关表所示，那么数学成果优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？系较大？物理物理化学化学总分总分数学优秀数学优秀228225267数学非优秀数学非优秀14315699注：该年级此次考试中，数

27、学成果优秀的有注：该年级此次考试中，数学成果优秀的有360人，非优人，非优秀的有秀的有880人。人。物理优秀物理优秀物理非优秀物理非优秀合计合计数学优秀数学优秀数学非优秀数学非优秀合计合计1列出数学与物理优秀的列出数学与物理优秀的2x2列联表如下列联表如下2281323601437378803718691240代入公式可得代入公式可得 2270.1143.K 注：该年级此次考试中，数学成果优秀的有注：该年级此次考试中，数学成果优秀的有360人，非优秀的有人，非优秀的有880人。人。物理物理化学化学总分总分数学优秀数学优秀228225267数学非优秀数学非优秀143156992列出数学与化学优秀

28、的列出数学与化学优秀的2x2列联表如下列联表如下化学优秀化学优秀化学非优秀化学非优秀合计合计数学优秀数学优秀数学非优秀数学非优秀合计合计22536015672488038185912403列出数学与总分优秀的列出数学与总分优秀的2x2列联表如下列联表如下总分优秀总分优秀总分非优秀总分非优秀合计合计数学优秀数学优秀数学非优秀数学非优秀合计合计26793360997818803668741240代入公式可得代入公式可得2240.6112.K 代入公式可得代入公式可得22486.1225.K 练习练习1 1：在：在500500人身上实验某种血清预防感冒作用，把他们一年中人身上实验某种血清预防感冒作用

29、，把他们一年中的感冒记录与另外的感冒记录与另外500500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。如表所示。未感冒未感冒感冒感冒合计合计使用血清使用血清252248500未使用血清未使用血清224276500合计合计4765241000试画出列联表的条形图，并经过图形判别这种血清能否起到预试画出列联表的条形图，并经过图形判别这种血清能否起到预防感冒的作用？并进展独立性检验。防感冒的作用？并进展独立性检验。解：设解：设H0：感冒与能否运用该血清没有关系。：感冒与能否运用该血清没有关系。075.7500500526474216242284258100022

30、K因当因当H0成立时，成立时，K26.635的概率约为的概率约为0.01，故有，故有99%的把握以的把握以为该血清能起到预防感冒的作用。为该血清能起到预防感冒的作用。P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828有效有效无效无效合计合计口服口服585840409898注射注射646431319595合计合计1221227171193193解：设解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。：药的效果与给药方式没有关系。3896.19598711224064315819322K因当因