电磁学8-final

1、第八章第八章 磁场的源磁场的源一、引一、引 言言毕奥毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律安培环路定理安培环路定理电流元的磁场电流元的磁场非恒定电流的磁场非恒定电流的磁场对称电流磁场对称电流磁场二、毕奥二、毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律24relIdBdro 2sin4rIdldBo 方向：方向：右手螺旋法则右手螺旋法则lId电流元电流元 产生的磁场产生的磁场大小大小:Bd1、类比点电荷的电场。、类比点电荷的电场。2、是以、是以 为轴线的同心圆分布。为轴线的同心圆分布。3、总磁场满足叠加原理和磁通连续定理。、总磁场满足叠加原理和磁通连续定理。注意注意dlo （ 真空中的磁导率）真空中的磁导率） ( 为为 与与

2、 间夹角）间夹角）l dreBd)/(10427AN 为电流元到场点的位矢为电流元到场点的位矢的方向的方向“电流电流”的方向的方向rl dlId LroLrelIdBdB24 毕奥毕奥- -萨伐尔定律的应用萨伐尔定律的应用4 4、求求 B B 的分量的分量 B Bx x 、B By y 和和 B Bz z 222zyxBBBB 求总场。求总场。5 5、由由3 3、确定电流元的磁场大小确定电流元的磁场大小2 2、建立坐标系、建立坐标系; ;1 1、分割电流元、分割电流元; ;2sin4rIdldBo ( 为为 与与 间夹角）间夹角）l drel dPxyz20sin4rIdldB )ctg( a

3、l dadl2sin sinar 2220sin1sinsin1 4adIadB daIsin4 0 例例: :一段长为一段长为L的的载流直导线载流直导线,通有电流为通有电流为 I , ,求距求距 a 处的处的 P 点磁感应强度。点磁感应强度。解解: :r rB BdaxoLll lIdP daIdBsin40 daIsin4021 dBB 210coscos4 aIB1、无限长载流直导线、无限长载流直导线 ; 021 即即aIB 20 2、半无限长载流直导线、半无限长载流直导线aIB 40 ;221 即即IaPIaP3、半无限长载流直导线、半无限长载流直导线 ;21 即即)1(cos40 a

4、IB（可用安培环路定理得到）（可用安培环路定理得到）解解: : 建立坐标系，电流元在建立坐标系，电流元在P点产生的点产生的 dB dB 大小大小为为204 rIdldB lIdrIxoPxBdydBxdBRlId例例:一半径为一半径为R R的的载流圆环通有电流载流圆环通有电流 I I，求圆环轴线上距，求圆环轴线上距离环心为离环心为x点的磁感应强度点的磁感应强度B B。0 yydBBdBrRdBdBx sin考虑到对称性考虑到对称性304 rIRdl xxdBB3202rIR 2/322202RxIR dlrIRrIRdl303044 rl d23222)( 2xRIRBo 1.1.载流圆环环心

5、处载流圆环环心处x = = 0 0RIBo20 3.3.载流半圆环环心处载流半圆环环心处RIBo40 RIBo220 2.2.载流圆弧，圆弧所对圆心角载流圆弧，圆弧所对圆心角 IoRB B IoRB B解解: : 建立坐标系，应用建立坐标系，应用上例题中结论上例题中结论dl在在P点的点的 dB dB 为为例例:求载流螺线管轴线上求载流螺线管轴线上P点的磁场。管的长度为点的磁场。管的长度为L，半，半 径为径为R，单位长度上绕有，单位长度上绕有n匝线圈，通有电流匝线圈，通有电流I。3202rdIRdB nIdldI 3202rdlnIRdB sinrR rctgl dnIdBsin20 1200c

6、oscos2sin221 nIdnIBL.B+Pdl2 1 R2r无限长螺线管？无限长螺线管？思考：思考：l3202rdlnIRdB dRdl2sin 例例：一正方形载流线圈边长为一正方形载流线圈边长为 b b,通有电流为通有电流为 I I，求正，求正方形中心的磁感应强度方形中心的磁感应强度 B B。IoB B21b解：解：O O 点的点的 B B 是由四条载流边分别产是由四条载流边分别产生的，由于它们大小方向相同，生的，由于它们大小方向相同，B= BB= B1 1+ B B2 2+ B B3 3+ B B4 4= = 4 4B B1 1 43cos4cos2/440 bIB ,41 432

7、bI 022 210coscos4 aIB根据根据1B三、安培环路定理三、安培环路定理 int0IldBL 1、电流方向与环路方向满足、电流方向与环路方向满足右手定则右手定则电流电流 I 取正；反之取负。取正；反之取负。（确定电流的正负确定电流的正负）L3I2I1I安培环路定理安培环路定理在恒定电流的磁场中，磁感应强度在恒定电流的磁场中，磁感应强度 沿任何闭合回路的线积分沿任何闭合回路的线积分（ B 的环流），等于环路所包围的电流代数和乘以的环流），等于环路所包围的电流代数和乘以 0。B2、 为闭合路径为闭合路径L所包围的电流，其含义：对于闭和的所包围的电流，其含义：对于闭和的恒恒定定电流来说

8、，只有与电流来说，只有与L相相铰链铰链的电流，才算被的电流，才算被L L所包围的电流。所包围的电流。 intI3、环路上的环路上的B为所有电流（所包围及未包围）产生的磁感应强为所有电流（所包围及未包围）产生的磁感应强度度B 的矢量和，即与环路内外电流都有关。的矢量和，即与环路内外电流都有关。但环路积分与环路但环路积分与环路L所所包围包围的电流的代数和有关。的电流的代数和有关。4 4、 若若 0l dB环路内并不一定无电流。环路内并不一定无电流。5、因一般地、因一般地 0l dB所以磁场不是保守场，洛仑兹所以磁场不是保守场，洛仑兹力不是保守力。力不是保守力。环路定理环路定理高斯定理高斯定理求电场

9、和磁场求电场和磁场四、利用安培环路定理求磁场分布四、利用安培环路定理求磁场分布一、一、电流分布的分析，并确定对称性，选择积分路径电流分布的分析，并确定对称性，选择积分路径二、二、计算磁场的环路积分计算磁场的环路积分 LldB三、三、计算环路内电流计算环路内电流 I0 IldBL0 四、四、利用环路定理计算磁场分布利用环路定理计算磁场分布解题步骤解题步骤（注意积分环路方向）（注意积分环路方向）例：例：无限长圆柱形载流导体半径为无限长圆柱形载流导体半径为 R R ，通有电流为，通有电流为 I I ，电流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感电流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感应强

10、度的分布。应强度的分布。解：解：圆柱体内部圆柱体内部 ( r R r R 区域）区域）在圆柱体外作一环路在圆柱体外作一环路，由安培环路定理由安培环路定理 IldB0 ldBrB 2 I0 rrIB120 dlBRILr如果是薄圆桶如果是薄圆桶,结果是什么结果是什么?思考思考RI例：例：密绕载流螺线管密绕载流螺线管(很长很长)通有电流通有电流 I I，线圈密度为，线圈密度为 n n，求管内一点的求管内一点的 B B( (忽略边缘效应忽略边缘效应)。解：解：理想密绕螺线管，管内的磁场是均匀的，作闭合环理想密绕螺线管，管内的磁场是均匀的，作闭合环路路 abcdaabcda, ,环路内的电流代数和为：

11、环路内的电流代数和为：InLIab B B 的环路积分的环路积分 (ab c d a)为：为： addccbbal dBl dBl dBl dB l dB+.abdcB 0 0 0abbaBLl dBl dB InLBLabab0 由环路定理由环路定理nIB0 因此因此因此因此abL有限长有限长思考：思考：如果如果B B 的积分环路为的积分环路为(ad c b a) ，情况如何？，情况如何？例：例：一环形密绕载流螺线管，匝数为一环形密绕载流螺线管，匝数为 N N ，内径为，内径为 R R1 1 ，外径为外径为 R R2 2 ，通有电流，通有电流 I I ，求管内磁感应强度。，求管内磁感应强度。

12、环路内电流代数和为环路内电流代数和为解：解：在管内作半径为在管内作半径为 r r的的环路环路， NII LIl dB0 由由nRN 2与直螺管的结论相同，但非匀强磁场与直螺管的结论相同，但非匀强磁场为沿轴向线圈密度为沿轴向线圈密度NIrB02 得得rNIB 20 如果如果 r r ( ( R R2 2 R R1 1) ) 时时,nIB0 R1R2Or则则r=R则则（与管内半径位置有关）（与管内半径位置有关）例：例：无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外的电流通过

13、，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的单位长度的电流）到处均匀。大小为单位长度的电流）到处均匀。大小为 。求。求B分布。分布。jj解：解：因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点各点B的大小相等。的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。在该平面两侧的磁场方向相反。abcd作一安培回路如图：作一安培回路如图：bc和和 da两边被电流平面等分。两边被电流平面等分。ab和和cd 与电流平面平行与电流平面平行。jllBldBoL 22jBo abcd根据环路定理根据环路定理在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都

14、与距平面距离在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都与距平面距离无关，为无关，为均匀磁场均匀磁场，并且大小相等，但两侧，并且大小相等，但两侧方向相反方向相反。ll五、与变化的电场相联系的磁场五、与变化的电场相联系的磁场S2S1K KL L电容充、放电过程电容充、放电过程-非稳恒电流非稳恒电流通过通过S1面有电流，没有电流通过面有电流，没有电流通过S2面。因此环路积分不能确定。产生面。因此环路积分不能确定。产生的磁场依然存在。的磁场依然存在。 ScScLSdtEJSdEdtdIl dB0000 若一个面积上有传导电流通过，同时还有变化的电场若一个面积上有传导电流通过，同时还有变化的电场存在，沿此面积边

15、线的存在，沿此面积边线的磁场的环路积分磁场的环路积分为：为：定义定义tEJD 0 为为位移电流位移电流变化的电场变化的电场产生磁场产生磁场六、平行电流间的相互作用力六、平行电流间的相互作用力求一根无限长导线的单位长度上所受的另一与其平行求一根无限长导线的单位长度上所受的另一与其平行的相距为的相距为d的无限长导线产生磁场的作用力。的无限长导线产生磁场的作用力。无限长载流直导线产生的磁场是轴对称的无限长载流直导线产生的磁场是轴对称的1) 对于对于 I1, I1 在在 I2 处产生磁场处产生磁场 B1, B1 的方的方向与向与I2 垂直。垂直。 I2 所受的磁场力所受的磁场力垂直垂直于于 I2, 指

16、向指向 I11B2F2I1IddIBo 211 作用在电流元作用在电流元I2 dl的力的力dldIIdlBIdFo 212122 dIIdldFfo 22122 作用在电流作用在电流I2单位长度单位长度的力的力dIIfo 2121 同理可得同理可得两平行载流直导线，相互作用力大小相等方向相反，电两平行载流直导线，相互作用力大小相等方向相反，电流同向相互吸引，电流异向相互排斥。流同向相互吸引，电流异向相互排斥。1B2F2I1IddldIIdFo 2122 小小 结结概念概念位移电流位移电流主要定律、定理主要定律、定理毕奥毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律安培环路定理安培环路定理磁通连续定理磁通连续定理要