矩阵的标准形

1、2 2 矩阵的标准形矩阵的标准形3 3 不变因子不变因子4 4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件1 1 矩阵矩阵小结与习题小结与习题6 6 若当若当(Jordan)(Jordan)标准标准形的理论推导形的理论推导5 5 初等因子初等因子一、一、 矩阵的概念矩阵的概念三、三、 可逆可逆 矩阵矩阵 二、二、 矩阵的秩矩阵的秩第八章第八章 矩阵矩阵 1 1 矩阵概念矩阵概念定义定义：若矩阵若矩阵A的元素是的元素是 的多项式，即的多项式，即 的元素，则的元素，则 P 设设P P是一个数域，是一个文字，是多项式环，是一个数域，是一个文字，是多项式环， P 称称A为为 矩阵矩阵，并把，并把A写成写成 ( ).

2、A 一、一、 矩阵的概念矩阵的概念注：注： 数域数域P上的矩阵上的矩阵数字矩阵也数字矩阵也 ,PP 是是 矩阵矩阵.第八章第八章 矩阵矩阵 1 1 矩阵概念矩阵概念其定义与运算规律与数字矩阵相同其定义与运算规律与数字矩阵相同. 对于对于 的的 矩阵，同样有行列式矩阵，同样有行列式 nn |( )|,A 它是一个它是一个 的多项式，且有的多项式，且有 |( ) ( )| |( )|( )|.ABAB 这里这里 为同级为同级 矩阵矩阵.( ),( )AB 与数字矩阵一样，与数字矩阵一样，矩阵也有子式的概念矩阵也有子式的概念. 矩阵的各级子式是矩阵的各级子式是 的多项式的多项式. 矩阵也有加法、减法

3、、乘法、数量乘法运算，矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 第八章第八章 矩阵矩阵 1 1 矩阵概念矩阵概念若若矩阵矩阵 中有一个中有一个 级子式不为零，级子式不为零， ( )A (1)r r 而所有而所有 级的子式（若有的话）皆为零，则称级的子式（若有的话）皆为零，则称1r ( )A 的的秩为秩为r .二、二、矩阵的秩矩阵的秩定义定义：零矩阵的秩规定为零矩阵的秩规定为0. 第八章第八章 矩阵矩阵 1 1 矩阵概念矩阵概念三、可逆三、可逆 矩阵矩阵一个一个 的的 矩阵矩阵 称为称为可逆的可逆的，如果有一，如果有一 nn ( )A ( ) ( )( ) ( )ABBAE 一个一个 的的矩阵矩

4、阵 ，使，使 ( )B nn 定义定义：这里这里E是是n级单位矩阵级单位矩阵. 称称 为为 的逆矩阵的逆矩阵(它是唯一的它是唯一的)，记作，记作( )B ( )A 1( ).A 第八章第八章 矩阵矩阵 1 1 矩阵概念矩阵概念（定理定理1） 一个一个 的的矩阵矩阵 可逆可逆nn ( )A 是一个非零常数是一个非零常数.( )A 证证: “ ” 若若 可逆，则有可逆，则有 ，使，使( )A ( )B ( ) ( )ABE 两边取行列式，得两边取行列式，得( ) ( )( )( )1ABABE ( ) ,( )AB都是零次多项式，即为非零常数都是零次多项式，即为非零常数. 判定判定：第八章第八章 矩阵矩阵 1 1 矩阵概念矩阵概念“ ” 设设 是一个非零常数是一个非零常数. ( )Ad 为的伴随矩阵，则为的伴随矩阵，则 ( )A ( )A 11( )( )( ) ( )AAAAEdd