第6章 梁的应力

1、第六章第六章 梁的应力梁的应力6-1 梁的正应力梁的正应力6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力6-5 工字形截面及其它形状截面的切应力工字形截面及其它形状截面的切应力6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用. .纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。剪力剪力“Fs”切应力切应力“”；弯矩弯矩“M”正应力正应力“”2.2.横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。一、一、

2、纯弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念6-1 梁的正应力梁的正应力二二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。1 1、观察实验：、观察实验：abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律：、横向线、横向线：仍为直线，：仍为直线，只是相对转动了一个角度只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。、纵向线、纵向线：由直线变为：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸缩短，靠近下部的纤维伸长。长。3 3、假设：、假设：（1 1）弯曲平面假设：

3、）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。动了一个角度。凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中中性层性层 。中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴（2 2）纵向纤维假设：）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维

4、之间无挤压。之间无挤压。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。Aabcdyxd A4 4、线应变的变化规律：、线应变的变化规律：(1) . ydxyoo1在弹性范围内，ABABBA111111OOOOBAdddy)(yE（二）物理关系：（二）物理关系：由纵向线应变的变化由纵向线应变的变化规律规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。(2) . EyEabcd EyE应力的分布图：应力的分布图：MZymaxmax中性轴的位置？中性轴的位置？中性层的曲率中性层的

5、曲率 1为梁弯曲变形后的曲率1yxMZANdAF) 1 (00zzAASSEydAEdAyE（中性轴（中性轴Z轴为形心轴）轴为形心轴）AydAzM) 2(00yzyzAAIIEyzdAEzdAyE（y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足）yzAAzdAyM) 3(MIEdAyEydAyEzAA2弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式Z1EIM（三）、静力方面：（三）、静力方面： 由横截面上的弯矩和正应由横截面上的弯矩和正应力的关系力的关系正应力的计算公正应力的计算公式。式。zIMy弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应

6、力的符号由变形来判断。 当当M 0时，下拉上压；时，下拉上压； 当当M 0时，上拉下压。时，上拉下压。梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度。zEI yxMZyzA将上式代入式 得：) (EyE弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式Z1EIMBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C 截面上K点正应力2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61P

7、a107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：xm67.5kN8/2ql M2. C 截面上截面上K点正应力点正应力例例BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. C 截面最大正应力截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN4. 全梁最大正应力全

8、梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN5. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2ql MmaxmaxzMyImaxmaxmaxmaxzzMyMIW对梁的某一截面：对梁的某一截面：对全

9、梁（等截面）：对全梁（等截面）： maxmaxzMW6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用ZMW几种常见截面的几种常见截面的 IZ 和和 WZ圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面maxZZyIW 644ZdI323ZdW)1 (6444ZDI)1 (3243ZDW123ZbhI 62ZbhW 12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW弯曲正应力强度条件的三类问题弯曲正应力强度条件的三类问题 max； max MWz ; max zWM 1、强度校核2、设计截面尺寸 3、确定外荷载解：1)求约束反力求约束反力

10、.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上压压kNmMC （上上拉拉、下下压压）kNmMB4 例、例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C点，点，y1=52mm， y2=88mm，Iz =763cm4 ，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）画弯矩图）画弯矩图AyFByFxkNF91kNF423 3）求应力）求应力B截面截面（上拉下压）（上拉下压）MC截面截面（下拉上压）（下拉上压）zC

11、CtIyM2maxC截面截面（下拉上压）（下拉上压）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt2 .28maxcc2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxMPa04.174 ) 4 ) 强度校核强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mxMB截面截面（上拉下压）（上拉下压）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtMPaIyMzBBc2 .461076310884462max最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上A1A2

12、y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM一、一、 矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力1 1、假设：、假设： 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。各点切应力大小相等）。2 2、公式推导、公式推导bISFzz*SzybhyQ6-4

13、6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力式中：式中：F FS S为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；S S z z* *为面积为面积A A1 1对中性轴的静矩；对中性轴的静矩；I Iz z横截面对中性轴的惯性矩；横截面对中性轴的惯性矩；b b为截面的宽度。为截面的宽度。 bISFzz*S对于矩形截面梁对于矩形截面梁)4(2)2(21)2(22yhbyhyyhbS*zbhzyA1(a)y将其代入上式，可得将其代入上式，可得 )4(222yhIFzS式中的式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，矩形截面梁是横截面的面积。由此可见，矩形截面梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的横截面上的最大

14、切应力是截面上平均切应力的1.5倍。倍。2Smax8zF hI 在截面上、下边缘（在截面上、下边缘（ ）处，）处，=0，而在中性轴上而在中性轴上（y=0）的切应力有最大值，如图的切应力有最大值，如图b。即即 2hy)4(222yhIFzS此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布。SS3322FFbhA 例题例题 一矩形截面的简支梁如图所示。已知一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求求m m截面上截面上K点的切应力。点的切应力。 解：解：先求出先求出m

15、 m截面上的剪力为截面上的剪力为3kN3kN，截面对中性轴的惯性矩为，截面对中性轴的惯性矩为 33440.1 0.160.341 10 m1212zbhI面积面积A*对中性轴的静矩为对中性轴的静矩为 33*m1024. 006. 004. 01 . 0yASz则则K点的切应力为点的切应力为 Mpa21. 0Pa1021. 01 . 010341. 01024. 0103I6433SbSFzzFl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*工字型工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1 1、腹板上的切应力、腹板上的切应力 1*SbISFzz 式中：式

16、中：Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；b1为腹板为腹板的厚度。的厚度。 切应力沿腹板高度的分布规律如图切应力沿腹板高度的分布规律如图a a所示，仍是按抛物线规律所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力分布，最大切应力maxmax仍发生在截面的中性轴上。仍发生在截面的中性轴上。 yz808020202080406-5 6-5 工字形截面及其它形状截面的切应力工字形截面及其它形状截面的切应力 翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即计算

17、公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即 ISFzz*S 式中式中FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼缘边缘间的面积为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；横截面对中性轴的惯性矩；为翼缘的厚度。为翼缘的厚度。 2 2、翼缘上的切应力、翼缘上的切应力 yz80802020208010在整个工字型截面上切应力的方向可用图在整个工字型截面上切应力的方向可用图c c表示。表示。从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象是两股从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，沿截面流动的水流，从上（或下）翼

18、缘的两端开始，共同朝从上（或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动。 对所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特对所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称为点。这种现象称为切应力流切应力流。掌握了切应力流的特性，则不。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。难由剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。 T T字型截面梁的切应力字型截面梁的切应力 T T字型截面可以看

19、成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算：与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算： 1*SbISFzz 最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。 例例 FS = 15 kN，Iz = 8.8410-6 m4，b = 120 mm，d 20 mm， yC = 45 mm。试求 ：tmax ；腹板与翼缘交接处切应力 ta352maxm 100392)( .ybSC, zd dd dMPa 66. 7*SmaxmaxdtzISFz35-*m 108.402Cza

20、ybbSddMPa 13. 7,S d dt tzazaISF解解： 一般一般t tmaxmax发生在发生在FSmax所在截面的中性轴处。若不计挤压，所在截面的中性轴处。若不计挤压，则则t tmaxmax所在点处于所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态状态。梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为 ttmax tbISFzz*maxmaxS对等直梁，有对等直梁，有6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件弯曲切应力的强度条件弯曲切应力的强度条件 ttbISFzzsmaxmaxmax1 1、校核强度、校核强度2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸3 3、确定外荷载。、确定外荷载。 需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的铆接或焊接的组