2019年全国高中数学联赛吉林预赛试题及详解

1、2019年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题2019年5月20日8:30-11:00、选择题：本大题共6个小题,每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .集合Ax Z log 2 x的真子集个数为（）A. 72 .三棱锥ABC的底面ABC是边长为3的正三角形，PA3,PB4,PC5,则三棱锥ABC的体积A. 3. 10. 2,33 .已知函数x满足:x, y R20194 .已知Sinx ,则对 2 cosxR,卜列说法中错误的是A.fx5.已知x22x11在2xx2018,00,2018上的最大值为最小值为A.36.设x0,y0,z0,满足xxy,xy

2、zxyz,则z的取值范围是（A.0,3.1,30,4D第II卷（共120分）、填空题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）7.函数y1x1 2 3 6x 8log2 2的定义域为 x 18 .已知圆C的方程为x一 sin xy28x150,若直线ykx2kR上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值等于9 .如图，在直角三角形ABC中，ACB-,ACBC2,点P是斜边AB上一2uuuuuuuu uuuCP CB10.已知点P在直线x2y0上，点Q在直线x 2y 3 0上，PQ的中点为m xo,yo，且 y°xo2,处的取值范围是x011.若实数a, b

3、满足条件则a 2b的最大值等于2a b12.在数列an中，若2 an2 an 1*2,n Nr为常数），则称an为“等方差数列”.下列是对“等方点，且BP2PA,则CPCA差数列”的判断:数列n1 是等方差数列;是等方差数列，则2an是等差数列;是等方差数列，则* （k N ,k为常数）也是等方差数列;an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为.（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13 .已知函数fx4cosxsinxa的最大值为2.6（1）求a的值及fx的最小正周期；（2）求fx的单调递减

4、区间14 .数列an为等差数列，且满足3a58a猿0,数列灯满足bnanan1an2nN*,bn的前n项和记为S,问：n为何值时，Sn取得最大值，说明理由.15.已知抛物线y ax2过点P 1,1 ,过点1Q_,0作斜率大于0的直线l交抛物线于M,N两点（点M在2Q,N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A,交ON于B,PMA与OAB的面积分别记为SS,比较S与3&的大小，说明理由16.设x,y,z0,且至多有一个为0,求fx,y,z尸22562yz'22呼F22562xy的最小值.1yz.zxxy2018年全高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨2018年吉林省高中数学联赛试题参考

5、答案一.选择题1,c2. 1 解析】皿=匕4-=gx（gx3x4xVil.3. Bt解析】取工=Lj=O.得=域就=1J=1，得4/飞1）=/（2）+/（0）故/（2）=取力=21=1,得4/2）=/+以故*3）=/取*=打.y=I.白门"）二，（打+1）卜门mI）,同理一门打十1）一，（掰2>1/（n）.联立，得，"?）=故/=叼，所以周期为仇Si/<20l9）=/（336x6+3）=LAtWiJ/（）|-!smT<.uir<|a-12-CDS5.B解析】/（可图像大于（0.1）村称,故M+N丁（0十八%）3=2.6iDT+X【解析由已知r二二所以

6、二二三二二一卢二1二一-!-x-lXV-1A-,A-.V+1.1tI丁11+7#一1M2因为R>1,即OVMl所以二Ml-4rVl,故.x4工厂3二，填空题7.g|U|48-3【祠析】因为阿C的方程可化为（#-4f+炉=1.所以圆仁的01心为|10）,半柱为匚者>工匕一2上至少存在一点2）,以读点为蒯心.1为华般的圆与圆。有公共点*则存在5wR,使得|41W1+1=2成立.即|心£2又因为ML为点C到直线二板-2的距寓、二甲所以fid就得。三上三,因此上的最大值是2.启+1+1339.4【解析】法h因为而二日+万二石4二日+：（7?+百）=：否+；而,一一1JBr口一i1

7、10所以士rB二C4十一£=一+=4.3333法图以点C为原点.C4G?分别为工轴.i轴建立平面直角坐标系.蛔用2,0卜研0,2）,尸（小（） WCt = (2,0),C5 = (0,2)JHt所以彳（H+f于f5二色十已10.【解析】注意到两直级是平行的"故点."的轨迹为与两直线距图出¥出?行于两直线的直线.其疗程为£十2了十=0.EPM（h小打）满足/十2M+1=0,而满足不等式网工/+2的点在直浅）=父+2的左上方.问88转化为求射线/+2见+1=0（/<-上的点的区的范利3天而返的几何意义是%）与原点建线的斜率，越儿孙=e-,-|

8、./I2517可知当上取最大值3时F二笆也取得最大值为302(j+b512.【解析】因为|11丁_(_1)1了=0,所以(-1门符合“等方差数列,定义：根据定义,显则N/是等差致列；®b/一HI；一口丁一汀十口一口h-J十十一口日1；-如符合定义*若数列SJ瞬足4,%：=9，%i=d«d为常数:，若4=0.显然为常数列：,2若U#Q.则两式相除得q,+*=g所以/二.十P常数即为常数列.d2r7三、解答题13.解析】.1 /(X)=4CO!sin A一二近sin*cosh2cos'x+11寸usjii2a,-cos2vi+d-2sin|之彳卜6)因此当Bin2h+=

9、|=T时/)取得最大值又因为/(m)的最火僮为2.所以十门-2.即。=1./&)的最小正周期为丁(|)由(I)得y(x)=2sin(2x+I之上注上卜2kn左JZr得万已一P-ZtH4+AFeZ»36因此,戈)的单调减区间为一尹片喘+后卜".14*t解析】:*3%一弘,。二=8(%47H).斛得。5=-(7A0.二dv。、rt.+15枚；3是首项为正数的递减数列.%之。,即1<0FT+L*78-二d + 5-Dd 孑076 , 1八 + )7(/ S 0,解得151直打X161.口1A/A生A/6Ao>017>b?>“>>b4A0

10、>47>%>而X=ai>ai6ai7<°、6/718>S14>4>A3><几，$16>5|7>4>.所以S”中5k最大,即打=16时，3；取得屎大值.15.1解析抛物线产=心过点尸(-11),fflrt=1所以抛物线的方程为¥=/.设直线，的方程为二JI才十:(其中左>0 > ,由1 '1 2 L 得2/ 一加一品=0.设1“.3箱)、N区.力),则为与，/(-y,，3再+与=kX吊=2乂ON的方钳为了二丝，故E-所以U=叮一再，|B|二叵*/，/I>2/H制“叫-跳4|二生j2乂+巧二西士+21>4日Ti>'i“/*1fr1ai,1T,（2尸+2R）k1+klfr+t1JJ=0+见可用打耳|义必,由IS意知一2nMe1c国V。*故*；=K：vJ,1Vh>1-i=2q14-44更因为& =3.4”卜（_内）.凡=44同，所以$二35 16. E：