CH控制系统的频率特性

1、第四章 控制系统的频率特性 一种工程上广为采用的分析和综合系统的方法1. 为什么要对系统进行频域分析？ 时域分析法：从微分方程或传递函数角度求时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应（和性能指标）。不利于解系统的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处：工程研究之处：p计算量大，而且随系统阶次的升高而增加计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大；很大；p对于高阶系统十分不便，难以确定解析解；对于高阶系统十分不便，难以确定解析解；p不易分析系统各部分对总体性能的影响，难不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确定主要因素；以确定主要因素；p不能直观地表现出系统的主要特征。不能直观

2、地表现出系统的主要特征。工程方法要求：工程方法要求：计算量不应太大，且不因微分方程阶数的计算量不应太大，且不因微分方程阶数的升高而增加过多；升高而增加过多；应容易分析系统各部分对总体动态性能应容易分析系统各部分对总体动态性能的影响，易区分主要因素；的影响，易区分主要因素；最好还能用作图法直观地表现出系统性最好还能用作图法直观地表现出系统性能的主要特征。能的主要特征。频域分析法频域分析法: :是一种间接的研究控制系统性能是一种间接的研究控制系统性能的工程方法。它研究系统的依据是频率特性，频的工程方法。它研究系统的依据是频率特性，频率特性是控制系统的又一种数学模型。率特性是控制系统的又一种数学模型

3、。2. 频率响应、频率特性和频域分析法频率响应：频率响应：正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成）频率特性：频率特性：系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。数学基础：数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。频域分析法：频域分析法：利用系统频率特性分析和综合控制系统的方法。 本章主要内容 频率特性的基本概念 频率响应的极坐标图 频率响应的对数坐标图 由频率特性曲线求系统传递函数 控制系统的闭环频响 应用MATLAB评估系统的频率特性一、频率特性概

4、述 频率特性的基本概念0 tuiRC tui tuo 22iissUtsintu tuo TarctgtTtuosin112态后：对上式拉氏反变换，稳 1Ts11RCs1sG 22os1Ts1sU tsinA 系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应n 一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时，输出稳定后也是同频正弦信号，并且输出信号的振幅和相位均为输入信号频率的函数。 sX sY sG tYtysin tXtxsin0t YX 输入为非正弦周期信号？ sX sY sG t5sin51t3sin31tsinA4tnsinn1A4tx00001n tA0 sin14 0001ntnnAnAtyn则：可

5、利用傅立叶级数展开成一系列不同频率的正弦波的叠加，根据叠加原理，其输出也为相应的正弦响应的叠加。 如：周期性方波 当输入为非周期信号时，可以看作 的周期信号。则由傅立叶级数变为傅立叶积分，进而，引出傅立叶变换。 频域法的数学基础是傅立叶变换T -dttfFetj dFtfetj 21傅立叶变换傅立叶变换傅立叶反变换傅立叶反变换傅立叶变换存在条件 拉氏变换存在条件 存在存在存在存在分段连续分段连续分段连续分段连续和和 2 2. 1 dttf.dttftf0t .tftf . 1et0 - dttfFetj 傅立叶变换 对照与拉氏变换 dttfsFest 0 拉氏变换可看成单边的、广义的傅立叶变换

6、，函数适合进行拉氏变换的条件比傅氏变换的条件弱，因此适合的范围也宽一些。大多数机电系统可简单地将 而直接得到相应的傅氏变换。js 傅立叶变换性质1 叠加性质 XXxxFbatbta2121 傅立叶变换性质2 微分定理 XjdttxdF00 x0 x0 x0 xnnn1n2n 傅立叶变换性质3 频率位移性质 00 XtxFXtxFetj则若傅立叶变换性质4 延迟定理 XtxFXtxFej 则若傅立叶变换性质5 时间比例尺改变 aaXatxFXtxF 则若傅立叶变换性质6 卷积定理 2121XXtxtxF二、频率特性的一些概念例1RCtui tuo 1RCs1Cs1RCs1sG 1RCj1jG 2

7、11RCRCj 22111RCRCjRC 1RCj1jG RCeRC arctan211 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性 ejAjVUjG 频率特性实频特性虚频特性幅频特性相频特性 1jV 0 jG 1U 1A 1 1jG UVjGVUjGAarctan22 )()()(sin)()(cos()()()()(sin)()()(cos)()(jeAjAjVUjGAVAU ejioAjXjXjG jXjXAio jXjXio 综上所述，可给出频率特性定义n正弦输入时，频率特性是系统输出量的稳态值与输入量之比；n非正弦、非周期函数输入时，频率特性是系统输出量的傅立叶变换与输入量的傅立叶变换

8、之比，即jXjXjGio频率特性函数的求取方法、如果已知系统的微分方程，可将输入变量以、如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正弦函数代入，求系统的输出变量的稳态解，输正弦函数代入，求系统的输出变量的稳态解，输出变量的稳态解与输入正弦函数的复数比即为系出变量的稳态解与输入正弦函数的复数比即为系统的频率特性函数；统的频率特性函数；、如果已知系统的传递函数，可将系统传递函、如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数中的数中的s代以代以jw，即得到系统的频率特性函数；，即得到系统的频率特性函数；、可以通过实验的手段求出。、可以通过实验的手段求出。 23arctg437A2 求系统稳态输出。时，当输入为

9、某系统传递函数为例 4532sin71 ,237 1ts 237 ssG 45t32sin71txi 又有又有42432977132A712 则则0453223arctan4532 t32sin42txo 237 jjG 的的幅幅频频特特性性和和相相频频特特性性求求例例1jT1jTjKjG221 21arctanarctan2222111TTjeTTKjG 222111 TTKA 21arctanarctan2TT 图。应的极坐标图，又称轨迹就是频率响其端点在复平面相应的作为一个矢量，时，增长至逐渐从，当复变函数，是一种变换的是输入频率频率响应 0 NyquistjGjG ejAjVUjG 频

10、率响应的极坐标图 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 （乃奎斯特图，或乃氏图）（乃奎斯特图，或乃氏图） 乃奎斯特（乃奎斯特（H.Nyquist)，18891976，美国，美国Bell实实验室著名科学家验室著名科学家 21Tj1Tj1jKjG 如：如： 222111 TTKA 21arctgTarctgT2 222111 TTKA 21arctgTarctgT2稳定性。也可以确定系统的相对的稳定性，图既可以判别闭环系统控制系统的 Nyquist0 s映射0 1 A 1 j1j)(jG234)(ImjG)(4jG)(RejG)(1jG)(2jG)(3jG相角正向：逆时针为正一、典型环节的极坐标图

11、（乃氏图）1、比例环节 0 jGKjGKjG 0UjVKjG图实际上为一个点比例环节频率特性的Nyquist一、典型环节的极坐标图（乃氏图）2、积分环节 211 jGjGjjG 00jGjVU位滞后积分环节具有恒定的相无穷远点指向原点，图是虚轴的下半轴，由积分环节频率特性的Nyquist一、典型环节的极坐标图（乃氏图）3、微分环节0 2jGjGjjG 0jVUjG超前该环节具有恒定的相位由原点指向无穷远点，图是虚轴的上半轴，微分环节频率特性的Nyquist一、典型环节的极坐标图（乃氏图）4、惯性环节 TjGTjGTjjG arctan11112 20jG01jG0 实频特性：2211)(TU虚

12、频特性：221)(TTV注意到：22221)(21)(VU即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2, 0)处，半径为1/2的一个圆。0ReIm1/21 =0 =45 =1/TNyquist DiagramG(j)()()(22UVU或者注意到： 2222222212arctan12arctan211 TTTTjGTTjG 一、典型环节的极坐标图（乃氏图）5、二阶振荡环节 12122 jTjTjGT1T1nnn01jG0 0jG01jG0 0一、典型环节的极坐标图（乃氏图）6、延迟环节0 TjG1jGjGeTj 1jG 1jG01jG0 单位圆转无穷多圈沿变化，其乃氏图顺时针从随着二、乃氏图的一般作图

13、方法、勾画出大致曲线。6的表达式；和、写出 1jGjG；时的和、分别求出 0 2jG点；、求乃氏图与实轴的交3点；、求乃氏图与虚轴的交4间几点；、必要时画出乃氏图中5 1TjejG3j 例例 1T1jG2 TjG arctan 0jG01jG0 0jGjVU1 1j21jj1jG4 例例 1211jG22 2arctgarctg90jG 2700 90 0jGjG因此必与负实轴有交点，其相角范围从由相频特性表达式可知,27090 1802arctgarctg90jG 令令： 率率曲曲线线与与负负实实轴轴交交点点的的频频为为即即两两边边取取正正切切，得得即即Nyquist707. 02112ar

14、ctg902arctg 21 2 为该交点距原点的距离代入幅值方程： 0.67 1707. 021707. 0707. 01707. 022jG2700 90 0jGjG 67. 0707. 0707. 0 jGNyquistNyquist曲线与负实轴交点率曲线与负实轴交点的频21 0jGjVU00.67707. 0乃氏图的大致规律： nmajajajabjbjbjbjGn1n1n1n0m1m1m1m0 ，其其频频率率特特性性为为：对对于于一一般般线线性性定定常常系系统统 212122212221TarctgTarctgarctgarctg2jGT1T111KjG 1Tj1Tjj1j1jK21

15、21 n阶系统型系统型系统型系统型系统型系统型系统II I 0 210 212122212221TarctgTarctgarctgarctg2jGT1T111KjG jG，0jGK0020 2KjG0 时时：1、低频段 0KjG ，0 1 2KjG ， 2 2,KjG20jG，010 222121 nmTTKjGnm0jG1mn2mn3mn2、高频段 11112121 TjTjjjjKjG 2121212102TTKjGmnjGmnmnTTKmn jG 3、加极点和加零点的影响 加极点使系统相角滞后， 加零点使系统相角超前。在分析控制系统时，对于你所关心的频率范围内的乃氏图，必须精确地确定。4

16、.3 频率响应的对数坐标图(伯德图)1 定义2 典型环节的伯德图3 一般系统伯德图的作图方法 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图（伯德图）（伯德图）伯德（伯德（H.W.Bode)，19051982，美国，美国Bell实实验室著名科学家验室著名科学家1 定义由两张图组成对数幅频特性：幅值线性分度对数相频特性：相角线性坐标频率采用对数坐标dB | )(|lg20)(jGL将幅值与频率的关系和相位与频率的关系分别画在两张图上，用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅值和相位坐标则线性分度。伯德图的绘制s/rad)(L 0.1110100dB20400.1110100 )( s/rad度900

17、900对数分度，按 lg线性分度线性分度(弧度/秒)(弧度/秒)00.11101002040-20 jGLlg20单位：dB00.1110100 9018090180十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程表示用倍频程，为到，则称从若dec10102112对于一般线性定常系统： nm1Tj1Tjj1j1jKjG2121 2121TarctgTarctg2arctgarctgjG 22212221T1T111KjG 22212221T1lg20T1lg20lg201lg201lg20klg20jGlg20L 伯德图的优点：1、以有限纸张表示很宽的频率范围（横坐标所需的对数刻度数目，取决于

18、人们感兴趣的频率范围）。2、简化幅频特性的乘除运算为加减运算。3、幅频特性可用折线近似，方便作图。如果需要精确曲线，也可以容易地画出来。 0lg20lg20 jGKjGL 一、典型环节的伯德图1、放大环节 KjG 00 L K=1K1K12、积分环节 90lg201lg20 jGL 00 L 0.110120-90-180 21jjG 二重积分decdB20-20decdB40 jjG1 180lg401lg202 jGL 3、微分环节 jjG 00 L 0.11012090decdB20 90lg20 jGL 4、惯性环节 211lg20TL 459000 L T1T10T10020decd

19、B20P125 表4-1 4-2修正表 0dB0L0 )arctan( T 90Tlg20L 45 32lg20 1TTTdBLT Tj11jG 21lg20T dBTT值大约相差误差最大的点，与精确幅频伯德图称为转角频率，是近似15、一阶微分环节 )arctan(1lg202jGL4500 L 11010020decdB20jjG1 0dB0L0 90lg20L 4532lg20 TTTdBL 190 2222222212arctan12arctan21lg20TTTTjGTTL6、二阶振荡环节 12122 jTjTjG00 L T1T10-40decdB4090180P126 图4-32(

20、新版P132) 表4-3 4-4修正量 180Tlg40Tlg20L2 90T1 n 0dB0L0 T1T17、延迟环节 jGL 01lg2000 L 0.1110100 ejjG 二、一般系统伯德图作图方法幅频特性由各典型环节幅频特性叠加；相频特性由各典型环节相频特性叠加。 1j21j211j21j1j3122310jG122 式式：、化化成成典典型型环环节节串串联联形形 22310542 jjjjjjG 例 1j31jG1j211jG1j21j211jGj1jG5 . 7jG25422321 ：各各转转角角频频率率及及相相应应斜斜率率、五五个个典典型型环环节节，确确定定decdB40 2

21、n高频的两折线，过decdB20 2 高频的两折线，过decdB20 3 高频的两折线，过decdB20 1 斜率的直线，过17.520lg7.5 3、画近似幅频折线和相频曲线并叠加04020-40-20902701800900.22200.4 0.6 0.8 1468 10decdB20decdB60decdB80decdB6023 系统幅频特性的伯德图可由各典型环节的幅频特性伯德图迭加得到 系统相频特性的伯德图可由各典型环节的相频特性伯德图迭加得到各典型环节的排列规律注意三、最小相位系统三、最小相位系统最小相位传递函数最小相位传递函数在在s s右半平右半平面既无极点、又无零点的传递函面既无

22、极点、又无零点的传递函数，称最小相位传递函数；否则，数，称最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数。为非最小相位传递函数。最小相位系统最小相位系统具有最小相位具有最小相位传递函数的系统。传递函数的系统。 jGT1T1jG222211 0TT1sT1sTsG1sT1sTsG21212211 7例例 1jT1jTjG1jT1jTjG212211 212211arctgTarctgTarctgTarctgT 000 1 2 21LL90909018011T21T 2221T1T1 21arctgTarctgT 21arctgTarctgT 结论: 对于相同阶次的基本环节,当连续变化时,最小相位的

23、基本环节造成的相移是最小的。 0从 对于最小相位系统，知道了幅频特性，其相频特性就唯一确定，而非最小相位系统则不唯一确定。 实用的大多数系统为最小相位系统，为了简化工作量，对于最小相位系统的伯德图，可以只画幅频特性。 由频率特性曲线求系统传递函数 有许多系统的物理模型很难抽象得很准确，其传递函数很难用纯数学分析的方法求出。对于这类系统，可以通过实验测出系统的频率特性曲线，进而求出系统的传递函数。1、对于0型系统111 21100TjTjjKjG0lg20K dBL 11 T21 T11decdB20decdB20decdB40111 22212100TTKjG00000 KjGKjG很小低频时

24、，vvKjKdB 得：令：线交点：低频延长线与102、对于 I 型系统 vvKjGKjG 111 很小低频时， dBL 11 T21 T11decdB20decdB4040vKvKlg201 dBL 11 T21 T112040vK4060vKlg20 nm1Tj1Tjj1jKjG211v1 -601 aaKjKdB 得：令：线交点：低频延长线与1023、对于 II 型系统 aaKjGKjG 1122 很小低频时， dBL 204060 dBL 204040aK1aKlg20604011 T211121 T4040aK11 T21 T11211aKlg20 nmTjTjjjjKjGa 1111

25、 212212)1)(1()1()(312 ssssKsG K于是可求出例例0111111lg20)(232122 cccccKL已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。线，求开环传递函数。 4.5 控制系统的闭环频响一、由开环频率特性估计闭环频率特性jXijXojGjH- jHjGjGjXjXio 1 闭环频率特性 jHjG 开环频率特性 jG1jGjXjX1jHio 则则闭闭环环幅幅频频特特性性设设系系统统为为单单位位反反馈馈， 1jG 低低频频时时， 1jXjXio 的的性性质质。幅幅频频特特性性具具有有低低通通滤滤波波一一般般实实用用系系

26、统统中中，开开环环 1jG 高高频频时时， jGjXjXio 对于一般单位反馈的最小相位系统，低频输入时输出的幅值和相位均与输入基本相等，这正是闭环反馈控制系统所需要的工作频段及结果；高频输入时输出的幅值和相位则与开环特性基本相同，而中间频段的形状随系统阻尼比的不同有较大的变化。 Lc)(jG)()(0jXjXi系统开环与闭环幅频特性比较 cutBW BW03dB- ，有对于一般低通滤波系统对应的频率范围，幅值不低于频宽二、系统的频域指标BWcutdB3rrMlg20jXjXiolg20 对应的频率。所幅值下降到对数幅频特性的截止频率3dB- cut 。产生谐振峰对应的频率谐振频率 r 谐振频率处的幅值。谐振峰值 rM闭环频域指标开环频域指标4.6 应用MATLAB评估系统的频率特性 1 连续系统的连续系统的Bode图图 2 连续系统的连续系统的Nyquist图图 3 LTI Viewer 1 连续系统的Nyquist图应用应用nyquist()函数函数: nyquist(sys)图。绘制系统的试用数为：已知系统的开环传递函Nyquist)20)(8)(2()5(100)()(MatlabsssssHsGk=100z=-5p=2 -8 -20GH=zpk(z,p,k)nyqu