第四章 符号数学基础

1、第四章第四章 符号数学基础符号数学基础4.1 4.1 符号对象的创建符号对象的创建符号数学工具箱：Symbolic Math Toobox主要功能：符号表达式的创建、符号矩阵的运算、符号表达式的 化简和替换、符号微积分、符号代数方程、符号微分 方程、符号函数绘图变量是符号变量符号运算：参与运算的量变量是被赋值的数值变数值计算：参与运算的一、 建立符号变量和符号表达式(1)sym函数 变量=sym（变量名）：用来建立单个符号变量，其中变 量名可以是字符、字符串、表达式或字符表达式；例1、a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。例3、比较符号常数与数值在代数

2、运算时的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：k1=sym(8)；k2=sym(2)； % 定义符号变量r1=8；r2=2； % 定义数值变量sqrt(k1) % 计算符号表达式值sqrt(r1) % 计算数值表达式值sqrt(k1+sqrt(k2) % 计算符号表达式值sqrt(r1+sqrt(r2) % 计算数值表达式值例2、用sym创建符号表达式“b2-4*a*c”，并赋值给符号变量 =sym（b2-4*a*c)二、数值变量和符号变量的对比：(2)syms函数 syms函数的一般调用格式为：syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等；一次定

3、义多个变量 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。例、定义多个符号变量，创建符号表达式 syms a b c x y y=a*x2+b*x+c符号变量：数值变量：工作空间窗口隔内，且元素间用逗号间在符号矩阵：每行元素放元素数值数值矩阵：按行列显示命令窗口显示 #三、默认符号变量中在表达式cbxaxy2 1、数学上的习惯：字母表中靠前字符表示常量 a b c 字母表中靠后字符表示变量 x y z 在MATLAB中，以最接近字符x的顺序排列默认自变量；若与X相同距离，则在x后面的优先；大写字母比所有的小写字母都靠后。2、可用findsym函数对默认自

4、变量进行查询 findsym（f）：按字母顺序排列表达式f中全部自变量 findsym（f，n）：按最接近变量x的顺序排列表达式f中的 前n个自变量例1、求符号函数在不同自变量情况下的结果：dndfdxdfxfn/和，求已知syms x nf=xn；diff（f）diff（f，n）例2、查询符号函数中的默认自变量：ctbyaxfnn已知symsa x n b y c tf=a*xn+b*yn+c*t；findsym（f）findsym（f，1）findsym（f，7）4.2 4.2 符号表达式的化简符号表达式的化简 有因式分解、展开、合并、化简、通分等操作有因式分解、展开、合并、化简、通分等操

5、作1、因式分解 factor函数 factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式例、对表达式X12-1因式分解 syms x f=factor（x12-1) pretty（f）2、符号表达式的展开 expand函数 expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式例、展开表达式S=sin（x+y）； syms x y f=expand（sin（x+y）3、符号表达式的同类项合并 collect函数 collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式例、已知表达式S=xyz+xt+xy+t，则执行指令后 syms x y z

6、t S=x*y*z+x*t+x*y+t； f1=collect（S） f2=collect（S，t）4、符号表达式的化简 simplify函数MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：（1）simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。（2）r，how=simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行 综合化简，r为返回的简化形式，how为化简过程使用的主 要方法（见教材P75表4-1）。例、对表达式f=sin2x+cos2x进行化简； syms x f= sin2x+cos2x； simplify（f） r，how=simple(f) 5、符号表达式的分式通分 numden函

7、数 n，d=numden（S） n为通分后的分子；d为通分后的分母进行通分例、对表达式xyyxfsyms x yf=x/y+y/x；n,d=numden(f)4.3 4.3 符号微积分符号微积分 包括极限、微分、积分、求和、包括极限、微分、积分、求和、TaylorTaylor级数展开级数展开一、符号极限一、符号极限 limit函数limit(f) ：limit(f,a) ：limit(f,x,a) ：limit(f,x,a,right) ：limit(f,x,a,left) ：fffffaxaxaxalimlimlimlimlim0默认自变量默认自变量注：在MATLAB中表示为infxxxxa

8、xtgx)1(lim)2(lim)1(0计算下述极限：syms x alimit(sin(x)/x)f=(1+a/x)x;limit(f,x,inf)二、符号微分二、符号微分 diff函数 diff(f) 求符号表达式f对默认变量的微分。 diff(f,x) 求符号表达式f对变量x的微分。 diff(f,x,n)求符号表达式f对变量x的n次微分。syms x nf=xn;f1=diff(f)f2=diff(f,n)f3=diff(f,x,2)三、符号积分三、符号积分 int函数 int(f) 求符号表达式f对默认变量的不定积分。 int(f，x) 求符号表达式f对自变量x的不定积分。 int(

9、f，a，b)求符号表达式f对默认变量的a到b的定积分。;,/1,34sin12dxfdxdffxxxf求例、syms xf=sin(x)/(x2+4*x+3);f1=diff(f)f2=int(f)f3=simplify(f2)四、符号求和四、符号求和 symsum函数 symsum(f) 求符号表达式f对默认变量的不定和。 symsum (f，x)求符号表达式f对自变量x的不定和。 symsum (f,a,b)求符号表达式f对默认变量的a到b的有限和。例、求级数之和的命令如下：n=sym(n)s1=symsum(1/n2,n,1,inf) s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf

10、)s3=symsum(n*xn,n,1,inf)s4=symsum(n2,1,100)%求s4。计算有限级数的和 121nn求11)1(nnn求 1*nnxn求%求s3。此处的求和变量n不能省略10012nn求五、五、Taylor级数展开级数展开 taylor函数 taylor(f) 求f在默认自变量=0处的5阶Taylor级数展开式； taylor (f,n,x) 求f在自变量x=0处的n-1阶Taylor级数展开式； taylor(f,n,x,a)求f在自变量x=a处的n-1阶Taylor级数展开式。命令如下：x=sym(x);f=1+3*x+5*x2-2*x3;f1=taylor(f,x

11、,-1)的幂的多项式表示成、将多项式例12531232xxxxf例1、计算f=sin（x）的5阶和9阶Taylor级数展开式； syms x taylor（sin（x） taylor（sin（x），9）另外，MATLAB还提供可视化的Taylor级数计算器，使用方法： taylortool作业：作业：P92 4.2 4.6六、符号积分变换六、符号积分变换1、 傅立叶(Fourier)变换dwewFtfdtetfjwFjwtjwt)(21)()()(在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：F=fourier(f,t,w) 求函数f(t)的傅立叶像函数F(w)。f=ifourier(Fw,w,t

12、) 求傅立叶像函数F(w)的原函数f(t)。例1、求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下： syms w t; y=abs(t); F=fourier(y,t,w) %求y的傅立叶变换 f=ifourier(F,w,t) %求F的傅立叶逆变换例2、计算f（t）=sin（t）的傅立叶变换及其逆变换。命令如下： syms w t; y=sin(t); F=fourier(y,t,w) %求y的傅立叶变换 f=ifourier(F,w,t) %求F的傅立叶逆变换说明：Heaviside函数为单位阶跃函数。例3、计算f（t）=1/t的傅立叶变换及其逆变换。命令如下： syms w t; F=fouri

13、er(1/t,t,w) %求y的傅立叶变换 f=ifourier(F,w,t) %求F的傅立叶逆变换说明：Dirac函数为单位脉冲函数。二者关系：fourier（sym（Heaviside（t）在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：F=laplace(f,t,s) 求函数f(t)的拉普拉斯像函数F(s)。f=ilaplace(F,s,t) 求拉普拉斯像函数F(s)的原函数f(t)。例、计算y=t2 和阶跃函数的拉普拉斯变换。命令如下： syms a t s F1=laplace(t2,t,s) %对函数t2进行拉普拉斯变换 F2=laplace(sym(Heaviside) %对阶跃函数

14、进行拉 普拉斯变换2、 拉普拉斯(Laplace)变换jjststdsesFjtfdtetfsF)(21)()()(0例2、计算1/（s+a）和 1 的拉普拉斯反变换。命令如下： syms a t s f1=ilaplace(1/（s+a),s,t) %对函数1/（s+a）进行 拉普拉斯反变换 f2=ilaplace(1,s,t) %对1进行拉普拉斯反变换3、 Z变换 Z变换是时域离散信号和系统分析及设计的重要数学工具。正如拉普拉斯变换可将微分方程变为代数方程那样，Z变换则可把差分方程变为代数方程，从而简化求解过程。cnnndzzzFjnfznfzF1)(21)()()(例、求阶跃函数、脉冲函

15、数和e(an)的Z变换及其逆变换。命令如下： syms a n z Fz1=ztrans（sym（Heaviside（t），n，z） Fz2=ztrans(sym（Direc（t）,n,z) Fz3=ztrans（exp（an），n，z） %求fn的Z变换 f3=iztrans(Fz3,z,n) %求Fz的逆Z变换 f2=iztrans(Fz2,z,n) f1=iztrans(Fz1,z,n)对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：F=ztrans(f,n,z) 求f的Z变换像函数F(z)f=iztrans(F,z,n) 求F的z变换原函数f(n)4.4 4.4 符号方程的求解符号方程的

16、求解一、符号代数方程 solve（ ）函数g=solve(eq) eq=0的默认自变量的解；g=solve(eq，var) eq=0的给定自变量var的解；g=solve(eq1，eq2，eqn，var1，var2，varn) 方程组的给定自变量的解；例1、求方程02cbxax的解。syms a b c xs=a*x2+b*x+cg=solve(s)或者：s=sym(a*x2+b*x+c)g=solve(s)1430122yzzxxx例2、求三元非线性方程组的解。eq1=sym(x2+2*x+1);eq2=sym(x+3*z-4);eq3=sym(y*z+1);x,y,z=solve(eq1,

17、eq2,eq3)二、符号微分方程 求解 dsolve（ ）函数r=dsolve(eq1，eq2，eqn，cond1，cond2，var)说明：eq为微分方程；cond为微分初始条件，var为指定变量。表示为阶导数的；表示为的一阶导数的表述规定：是因变量时，微分方程当DnydxydnyDydxdyyeqynn) 1 (。于所缺少的初始条件数，任意常数符的数目等，出现任意常数符号程数时，在所得解中将当初始条件少于微分方的格式；）（，）（应写成微分初始条件21)2(CCdcDybaycond时的特解。）（的通解和当、求微分方程例byaydtdy01r=dsolve（Dy=a*y） r1=dsolve

18、（Dy=a*y，y（0）=b）的解。、求微分方程例0)0(, 0) 1 (,32222yyxdxdydxydxy=dsolve（x*D2y-3*Dy=X2,x）y1=dsolve（ x*D2y-3*Dy=X2，y（1）=0，y（0）=0，x）的解。、求微分方程组例ydtdxxdtdy,3X，Y=dsolve（Dx=y，Dy= -x）4.5 4.5 符号数学的简易绘图函数符号数学的简易绘图函数 为了将符号函数的数值结果可视化，MATLAB提供了一系列简易绘图函数，可以很容易地将符号表达式图形化，这些命令的开头都是“ez”。一、ezplot和ezplot3的应用1、ezplot的调用格式： ezplot（f，xmin，xm