高考数学试题分类大全平面向量

1、第五章平面向量一平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.【考试要求】(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4) 了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.【2010年湖北卷理5文8.已知ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立，则m=BA.2B.3C.4D.5【解析】由MA+MB+MC=0知，点M为/ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则AM=-Ad=2-(Ab+

2、Ac)=-(ab+Ac),所以有ab+ac=mAM，故m=3,选b.3323【2010年全国n卷理8文10.AABC中，点D在AB上，CD平分/ACB,若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=1,则CD=BA. 1 a +2 b 33B. - a + 1 b334a + 3 b 55【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理ADCAD为AB的三等分点，且【解析】因为CD平分/ACB,由角平分线定理得CD=CA=2,所以DBCBAd=2Ab=2(CBCA),所以Cd=Ca+Ad=2CB+1Ca=-a+-b.333333【2010年陕西卷理11文12.已知向量a=(2,1),b=

3、(-1,m),c=(1,2),若(a+b)/c,贝Um=.【答案】一1【解析】a+b=(1,m1),c=(1,2),，由(a+b)/c得1x2(1)x(m1)=0,所以m=-1.2【2010年高考上海市理科13】.如图所示，直线x=2与双曲线：亍一y2=1的渐近线交于E1,E2两点，记OE1 = e，OE2 = 62,任取双曲线上的点P,若OP=aeI+be2(a,bCR),则a、b满足的一个等式是.4ab=1【答案】4ab=1【2010年高考上海卷文科13】.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(J5,0),ei=(2,1),e2=(2,1)分别是两条渐近线的方向向量。

4、任取双曲线上的点，若OP=aei+be2(a,bCR),则a、b满足的一个等式是_4ab1.1解析：因为ei=(2,1),e2=(2,1)是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为y=±x,又c=j5,22所以a=2,b=1,双曲线方程为y2=1,OP=ae+be2=(2a+2b,ab),4(22b)2c(2a2b)_(a_b)2=1,化简得4abT1.4平面向量的数量积【考试要求】掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.【2010年江西卷文13】.已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b

5、在a上的投影是.【答案】1【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值【湖南卷理4】.在RtAABC中，/C=90°,AC=4,则ABAC”等于DA.16B.8C.8D.16解析一：因为zc=90°,所以ac-cB=o,Ab-ac=(aC+cB)aC=aC2+cB.ac=16.解析二：AB在AC上的投影为|AC，所以ABAC=|AC|2=16.【2010年北京卷理6】.a、b为非零向量。ab”是函数f(x)=(xa+b)(xba)为一次函数”的BA.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：f(x)=(xa

6、+b)(xba)=(ab)x2+(|b|2|a|2)xab,如ab,则有ab=0,如果同时有|a|二|b|,则函数恒为0,不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数,则ab=0,因此可得a±b,故该条件必要。【2010年北京卷文4】.若a,b是非零向量，且a±b,|a|b|,则函数f(x)=(xa+b)(xba)是AA.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数解析：f(x)=(xa+b)(xba)=(abx2+(|b|2|a|2)xab,由ab,贝Uab=0,f(x)=(|b|2|a|2)x,故f(x)是一次函数且是奇

7、函数.【2010年江西卷理13】.已知向量a,b满足|a|二1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|ab|=.J3B【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图a=OA,b=OB,ab=OAOB=BA,由余弦定理得：|a一b|=J3.【2010年重庆卷理2】.已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2ab|二BA.0B.2金C.4D.8解析：|2a-b|=(2a二b)2=,4a2_4abb2=.8=2.2.【2010年浙江卷文13.已知平面向量a,b,同=1,|b=2,a±(a2b),则|2a+b|的值是.解析：晒,由题

8、意可知a(a2b)=0,结合同=1,|b|=2,解得ab=l，所以|2a+b2=4a2+4ab+b2=8+2=10,2开方可知答案为J而，【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。【2010年浙江卷理16】.已知两平面向量a,b均为非零向量，且awb,|b|=1,a与b-a的夹角为120°,则|a|的取值范围是.(0,空33【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题.ABC 中，/ ABC=60°, AC=1 ,设/ ACB= 0,由正弦定理得:【解析】如图所示，在4AB_AC丹，

9、故1 a |J0,季.sin:sin60|a|=|AB|=sin.3【2010年湖南卷文6】.若非零向量a,b满足同=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为CA.30°B,60°C.120°D,150°【解析】(2a+b)b=2ab+bb=0,所以ab=|b|2,cos<a,b>=,<a,b>=120°.22【2010年辽宁卷理8文8】.平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OB=b,则4OAB的面积等于CA.2飞2I a b -(a b)B.C.2 , c(a b)2S. OAB1 ,=-| a|b |sin

10、: a, b = 22|a|b| .11 -cos2 ;bf11 一需72,2b一(ab)【2010年四川卷理5文6】.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则 |AM |=CA.B. 4C. 2D. 1解析:由BC2=16,得|BC|=4,|AB+AC|=|AB-AC|=|BC|=4,而|而+AC|=2|AM|,故|雨|=2.【2010年天津卷文9理(填空)15】.如图，在ABC中，ADAB,BC=j3BD,|AD|=1,则ACAD=DAC孚D-C【解析】ACAD=|AC|AD|cosZDAC=|AC|cosZDAC=|AC|sin/bAC=

11、|BC|sin/B=<3|BD|sinZB=V3.【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识 【2010年全国I卷理11文11.已知圆。的半径为1，考查化归与转化的数学思想，有点又t度.PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，那么PAPB的最小值为DA. Y+& B. -3+无C. -4+2 衣D. -3 + 272判别式法，/APO=a ,PA *PB 习 PA| | PB|cos2：=2_2x (1 -2sin2 / 2x (x -1)x2 142x - xx2 1【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法同时也考查了考生综合

12、运用数学知识解题的能力及运算能力【解析1】如图所示：设PA=PB=x(x>0)/APB=2"，PO=.1x2,sin;42x -xy 二七x 1,即x4(1+y)x2-y=0,由x2是实数，所以2二-(1y)-41(-y)-02,y+6y+1之0,解得y-3-2(PA*PB)min-322.此时x=.2-1.cos 71PA *PB = 1-x 1-2x = 2x 1 3 _ 2.2 -3【解析2】法一：设/APB=日,0<8<n,E同=(PA(PB)cose=：1/tan5(“一”一2l法一：换兀：x=sin,0<x<1,2或建系：园的方程为X2+y2

13、=1,设A(Xi,yi),B(Xi,yi),P(X0,0),【2010年山东卷理12文12.定义平面向量之间的一种运算0”如下，对任意的a=(m,n),b=(p,q),令aOb=mqnp,下面说法错误的是BA.若a与b共线，则aOb=0B.aOb=bOaC.对任意的代R,有(启)Ob=X(aOb)D.(a。b)2+(ab)2=|a|2|b|2【解析】若a与b共线，则有aOb=mqnp,故A正确；因为bOa=pnqm,而aOb=mqnp,所以有aOb而。a,故选项B错误，故选B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。【201

14、0年重庆卷文3】.若向量a=(3,m),b=(2,1),ab=0,则实数m的值为DA.-3B.3C.2D.622【解析】ab=6m=0,所以m=6.【2010年安徽卷理3文3】.设向量a= (1, 0),b=(1,1),则下列结论中正确的是22A. |a|=| b |C. ab与b垂直D. a/ b解析：ab=(1,1),(ab)b=0,所以ab与b垂直.22【2010年福建卷文8】.若向量a=(x,3)(xCR),则X=4"是"a|=5"的AA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由x=4得a=(4,3),所以|a|二

15、5;反之,由|a|=5可得X=±4。【命题意图】本题考查平面向量、常用逻辑用语等基础知识。【2010年广东卷文5】.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8ab)c=30,则x=A.6解析：8a-b=【2010年全国弦值等于CA.包65B.5C.4D.3(6,3),(8a-b)c=6X3+3x=30,故x=4.I新课标卷文21.a,b为平面向量，已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余B.-AC.尬D.-"656565解析：由已知得b=(2a+b)-2a=(5,12),所以8s<：；=皋b=伫应铝12=16,ab513652

16、Xn【2010年局考福建卷理科7】.若点。和点F(2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦a点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OpFP的取值范围为BA.3-2居)B.3+2驱-)C.-7,-He)D.7*)4【解析】因为F (-2 , 0)是已知双曲线的左焦点,2所以a2+l=4,即a2=3,所以双曲线方程为 -y2=1,3422设点p(X0,yo),则有上y。2=1(X0至J3),解得yo2=x-1(x0至J3),因为FP=(x°十2,y°),33OP=(Xo,y°),所以OP FP =m(% 2) yo2 = xo(xo 2)22Xo .

17、4Xo一 一1 二33+ 2Xo -1 ,此二次函数对3 应的抛物线的对称轴为X0,因为X0之J3,所以当X0=J3时，OPFP取得最小值44M3十2百1=3+2石，故OP-用的取值范围是3+2J3,也)，选B。3【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。22【2010年高考福建卷文科11】.若点O和点F分别为椭圆土+_y_=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的43任意一点，则OPFP的最大值为CA.2B.3C.6D.8222【解析】由题意，F(-1,0),设点P(Xo,y

18、o),则有也一+为=1，解得y02=3(1迎)434因为 FP =(% +1,y0)，2OP=(Xo,y。)，所以OPFP=OPFP=Xo(X0+1)+yo22=OPFP=Xo(Xo+1)+3(1-X°-)=X0-+Xo+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为Xo=2,因为44-2<XoW2,所以当xo=2时，OPFP取得最大值22+2+3=6,选C。4【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2。1。年江苏卷15.在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,2),B(2,3),C(-2,-1).(I)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(n)设实数t满足(ABtOC)OC=o,求t的值.解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查