强大导数知识点各种题型归纳方法总结

1、-导数的根底知识一导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：下面容必记二、导数的运算：1根本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：；法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)2复合函数的导数求法：换元，令，则分别求导再相乘回代题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、，则2、假设，则3.=a*3+3*2+2 ，则a=三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。2.Vs

2、/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。四导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：1曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：2曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。例题在曲线y=*3+3*2+6*-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：1当*0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为-1，-14故所求切线的方程为3*-y-11=0五函数的单调性：设函数在*个区间可导，1该

3、区间为增函数；2该区间为减函数；注意：当在*个区间个别点处为零，在其余点处为正或负时，在这个区间上仍是递增或递减的。3在该区间单调递增在该区间恒成立；4在该区间单调递减在该区间恒成立；题型一、利用导数证明或判断函数f(*)在*一区间上单调性：步骤： 1求导数 (2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论该区间为增函数； 该区间为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：1分析 的定义域； 2求导数 3解不等式，解集在定义域的局部为增区间4解不等式，解集在定义域的局部为减区间题型三、利用单调性求参数的取值转化为恒成立问题思路一.1在该区间单调递增在该区间恒成立；2在该区间单调递减在

4、该区间恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：假设函数f*在a，c上为减函数，在c，b上为增函数，则*=c两侧使函数*变号，即*=c为函数的一个极值点，所以例题假设函数，假设则( )A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c六、函数的极值与其导数的关系：1.极值的定义：设函数在点附近有定义，且假设对附近的所有的点都有或，则称为函数的一个极大或小值，为极大或极小值点。可导数在极值点处的导数为0即，但函数在*点处的导

5、数为0，并不一定函数在该处取得极值如在处的导数为0，但没有极值。求极值的步骤：第一步：求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，假设的符号由正变负，则是极大值；假设的符号由负变正，则是极小值；假设的符号不变，则不是极值，不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：假设函数在定义域D存，使得对任意的，都有，或则称为函数的最大小值，记作或如果函数在闭区间上的图象是一条连续不连续的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小

6、值。注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值最值。函数f(*)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值极大值对应最大值;极小值对应最小值3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。注意：当*=*0时，函数有极值 f/(*0)0。但是，f/(*0)0不能得到当*=*0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值

7、的应用题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数 原函数 的符号 单调性与*轴的交点且交点两侧异号 极值的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势的图象的增减幅度 的增 的每一点的切线斜率增大的图象的变化幅度快 减的每一点的切线斜率减小 的图象的变化幅度慢例1. f(*)=e*-a*-1.1求f(*)的单调增区间；2假设f(*在定义域R单调递增，求a的取值围；3是否存在a,使f(*)在-，0上单调递减，在0，+上单调递增.假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由.解：=e*-a.1假设a0，=e*-a0恒成立，即f(*)在R上递增.假设a>0,e*-a0,e*a,*lna.f(*)的单调递增

8、区间为(lna,+).2f*在R单调递增，0在R上恒成立.e*-a0，即ae*在R上恒成立.ae*min，又e*>0，a0.3 由题意知，*=0为f(*)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.例2. 函数f(*)=*3+a*2+b*+c,曲线y=f(*在点*=1处的切线为l:3*-y+1=0，假设*=时，y=f(*有极值.1求a,b,c的值；2求y=f(*在-3，1上的最大值和最小值.解 1由f(*)=*3+a*2+b*+c,得=3*2+2a*+b,当*=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当*=时，y=f(*)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由

9、于切点的横坐标为*=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.2由1可得f(*)=*3+2*2-4*+5,=3*2+4*-4,令=0,得*=-2,*=.当*变化时，y,y的取值及变化如下表：*-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=f*在-3，1上的最大值为13，最小值为例3.当 ，证明不等式.证明：，则，当时。在是增函数，即，又，当时，在是减函数，即，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决此题的关键.七定积分求值1定积分的概念 设函数在区间上连续，则2.用定义求定积分的一般方法是：分割：

10、等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：3.曲边图形面积：；在轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程； 变力做功 4定积分的性质性质1 其中k是不为0的常数 性质2性质3 定积分对积分区间的可加性5.定理 函数是上的一个原函数，即则导数各种题型方法总结一关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、别离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：1对称轴重视单调区间与定义域的关系 2端点处和顶点是最值所在二分析每种题型的本质，你会发现大局部都在解决“不等式恒成立问题以及“充分应用数形结合思想，创立不等关系求出取值围。三同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的

11、根底一、根底题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进展解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：别离变量求最值-用别离变量时要特别注意是否需分类讨论>0,=0,<0第二种：变更主元即关于*字母的一次函数-谁的围就把谁作为主元；例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，假设在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数，实数m是常数，1假设在区间上为“凸函数，求m的取值围；2假设对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数，求的

12、最大值.解:由函数 得1在区间上为“凸函数，则 在区间0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：别离变量法：当时, 恒成立, 当时, 恒成立等价于的最大值恒成立，而是增函数，则(2)当时在区间上都为“凸函数则等价于当时 恒成立变更主元法 再等价于在恒成立视为关于m的一次函数最值问题-22例2：设函数 求函数f*的单调区间和极值； 假设对任意的不等式恒成立，求a的取值围.二次函数区间最值的例子解：3aaa3a令得的单调递增区间为a,3a令得的单调递减区间为，a和3a，+当*=a时，极小值= 当*=3a时，极大值=b. 由|a，得：对任意的恒成立则等价于这个二次函数的对称轴放

13、缩法即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数. 9分于是，对任意，不等式恒成立，等价于 又点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴重视单调区间与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；函数图象上一点处的切线斜率为，求的值；当时，求的值域；当时，不等式恒成立，数t的取值围。解：， 解得由知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又的值域是令思路1：要使恒成立，只需，即别离变量思路2：二次函数区间最值二、函数在*个区间上的单调性求参数的围解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归根底题型解法2：利用子区间即子集思

14、想；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在m,n上是减函数与“函数的单调减区间是a,b，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：，函数如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；如果函数是上的单调函数，求的取值围解：. 是偶函数，. 此时， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为. 函数是上的单调函数，在给定区间R上恒成立判别式法则解得：. 综上，的取值围是. 例5、函数 I求的单调区间； II假设在0，1上单调递增，求a的取值围。子集思想I 1、 当且仅当时取“=

15、号，单调递增。 2、a-1-1单调增区间： 单调增区间：II当 则是上述增区间的子集：1、时，单调递增 符合题意2、，综上，a的取值围是0，1。 三、根的个数问题提型一 函数f(*)与g(*)或与*轴的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图即解导数不等式和“趋势图即三次函数的大致趋势“是先增后减再增还是“先减后增再减；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式组；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式组即可；例6、函数，且在区间上为增函数（1） 数的取值围；（2） 假设函数与的图象有三个不同的交点，数的取值围解：1由题意在区间上为增函数，在区间上恒成立别离

16、变量法即恒成立，又，故的取值围为2设，令得或由1知，当时，在R上递增，显然不合题意当时，随的变化情况如下表：极大值极小值由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即，解得综上，所求的取值围为根的个数知道，局部根可求或。例7、函数1假设是的极值点且的图像过原点，求的极值；2假设，在1的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点.假设存在，求出实数的取值围；否则说明理由。高1考1资1源2网解：1的图像过原点，则，又是的极值点，则-12设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根计算难点来了

17、：有含的根，则必可分解为，故用添项配凑法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。题型二：切线的条数问题=以切点为未知数的方程的根的个数例7、函数在点处取得极小值4，使其导数的的取值围为，求：1的解析式；2假设过点可作曲线的三条切线，数的取值围1由题意得：在上；在上；在上因此在处取得极小值，由联立得：，2设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所数的围为：题型三：在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、解：函数的定义域为当m4时，f (*) *3*210*，*27*10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函数

18、f(*)的单调递增区间为和5，单调递减区间为*2(m3)*m6, 1要使函数yf (*)在1，有两个极值点,*2(m3)*m6=0的根在1，根分布问题：则， 解得m3例9、函数，1求的单调区间；2令*4f*R有且仅有3个极值点，求a的取值围解：1当时，令解得，令解得，所以的递增区间为，递减区间为.当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.2有且仅有3个极值点=0有3个根，则或，方程有两个非零实根，所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题：一最值问题与主元变更法的例子.定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是11.求函数的解析式；假设时，恒成立，数的取值围.解： 令=0,得因为，所以可

19、得下表：0+0-极大因此必为最大值,因此， ， 即，等价于， 令，则问题就是在上恒成立时，数的取值围，为此只需，即， 解得，所以所数的取值围是0，1.二根分布与线性规划例子例：函数() 假设函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式；() 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两局部, 求直线L的方程.解：().由, 函数在时有极值 ,又在处的切线与直线平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域S为如图ABC, 易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为:另一种情况设不垂直于*轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两局部, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 , 由 得点F的横坐标为:由 得点G的横坐标为:即 解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:综上,所求直线方程为:或 .12分() 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域S为如图ABC,易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的