基于SABR模型的上证50ETF隐含波动率研究计算机专业

1、基于SABR模型的上证50ETF隐含波动率研究 摘要期权交易的核心问题在于波动率估计，波动率估计得过程中，最重要的是模型选择以及数据处理，本文主要基于SABR随机波动率模型，研究上证50ETF期权隐含波动率曲线的拟合问题。实证过程中将采用合约的Tick级数据，通过修正上证50指数期货的交易数据近似地表示50ETF的远期价格，应用BS模型计算平值期权的隐含波动率，进而估计出SABR模型的参数，拟合出隐含波动率曲线。本文首先介绍BS模型和SABR模型，然后基于国内首只场内期权50ETF期权的实证分析表明，SABR模型能够较准确的拟合上证50ETF期权隐含波动率，这对于期权做市商以及比较关注期权波动

2、率的投资者来说，无论是做风险对冲或波动率套利均具有重要意义。关键词： SABR随机波动率 上证50ETF期权 隐含波动率 AbstractOptions trading at the core of the problem is that volatility estimates, volatility estimation process, the most important is model selection and data processing, this paper mainly based on SABR stochastic volatility model, researc

3、h the Shanghai 50 ETF options implied volatility curve fitting problem. Empirical process will use the Tick of the contract data, this revised Shanghai 50 index futures transaction data approximate forward price of 50 ETF, application of BS model calculation value of options implied volatility, then

4、 estimate the SABR model parameters, the implied volatility curve fitting.This paper introduces the BS model and SABR model, and then based on the domestic first floor empirical analysis shows that for 50 ETF options SABR model can more accurately fitting the Shanghai 50 ETF options implied volatili

5、ty, this volatility marketmakers and more focus on options for investors, whether do risk hedge or volatility arbitrage is of great significance.Key words: SABR random fluctuation rate Shanghai 50ETF option Implied volatility目 录一、绪论1（一）研究背景1（二）研究意义1二、文献综述2三、随机波动率模型3（一）BS模型和隐含波动率3（二）SABR模型4（三）SABR模型参

6、数估计原理61.参数-62.参数-63.参数-、6四、 SABR模型实证分析6（一）实证数据选取和数据处理71.数据选取72.数据处理8（二） SABR模型参数估计131.隐含波动率132.估计参数143.估计参数、和14（三） 波动率曲线分析15五、总结与展望15（一）实证总结16（二）本文的不足与展望16参考文献17附录18致谢1、 绪论（1） 研究背景及意义随着经济的全球化发展，经济体制的竞争力主要体现在财富与资源的合理配置上。为了给经济的发展提供源源不断的动力，金融市场为资产配置提供必要的场所和有价证券，健全的金融市场对于经济发展是非常重要的。在金融市场规模不断创新高的同时，为了满足各

7、类投资者的不同需求，金融衍生品由此产生，其高杠杆性满足了投资者对于风险和收益的双重追求。金融衍生品诞生的数十年间，交易品种已从最初满足基础杠杆交易需求的远期、期权和互换等普通衍生品发展到用于满足特定交易者特殊需求的各类奇异金融衍生产品。2015年2月9日，我国首只期权上证50ETF期权在上海证券交易所正式上市交易，标志着中国衍生品市场正式进入期权时代。国外证券市场中，期权交易已经非常成熟，相应的研究也比较透彻，投资者对期权功能以及风险的认识也非常清晰，在这种前提下，期权对于金融市场起到了重要的调节作用，而国内处于期权交易的起步阶段，对于广大投资者来说期权完全是一种新鲜事物，盲目的从事期权交易不

8、但会给投资者带来一定的投资风险，也会影响国内金融市场的稳定，因此对期权的深入研究对于市场参与者以及管理者都有着重要意义。（2） 研究意义 现代金融交易中，期权作为一种高风险的金融产品，交易者必须选择合适的交易策略来规避风险，其中最重要的是波动率交易策略，因此波动率的估计至关重要。国内期权处于起步阶段，50ETF是基于国内金融市场的一类创新型基金，本身是对国内股票市场的跟踪刻画，在这类基金上衍生出的期权也就成为对国内金融市场风险的一种刻画。因此，基于国内市场特征的波动率模型的适应性研究对于国内期权交易有重要意义。 期权交易的关键是定价与波动率估计，目前市场上最主要的定价模型是Black-Scho

9、les模型，模型参数中，波动率是影响定价结果的唯一变量，故期权交易的核心就体现在波动率估计方面。在金融实物中，通常应用Black-Scholes模型进行反解以获取隐含波动率，而国内期权交易处于起步阶段，交易量相对较少，直接应用所带来的模型误差较大，拟合效果不好。SABR模型相对简单，且具有解析解形式，同时对于欧式期权的波动率结构的刻画比较准确，并且能够对波动率风险进行一致度量，是一个被广泛应用的随机波动率模型。本文旨在从SABR模型的发展以及基于上证50ETF期权的实证分析出发，验证其对国内期权市场的适应性，为隐含波动率的进一步研究提供参考。2、 文献综述自1973年，Black-Schole

10、s期权定价理论的提出，并且成为了金融实物中关于期权定价方面不可动摇的理论基础，几乎所有的期权定价以及波动率估计模型都是以Black-Scholes模型为基础的推广，直到现代备受关注的随机波动率模型。在现代金融实物中，对于欧式期权定价通常选择Black-Scholes模型，在Black-Scholes模型中，期权价格与波动率通常是一一对应的，因此，期权价格往往可以用隐含波动率来刻画。Black-Scholes模型中通常假设同一标的的期权波动率，在指定时刻为常数，而客观情况下，对于具有不同执行价格K的期权，往往需要不同的波动率估计方法，才能够准确地拟合其真实的市场价格。对于从事固定收益以及外汇交易

11、的期权使用者，常常会接触较为宽泛的执行价格区间，因此，如果要准确地把握市场倾斜与微笑的状态，必须在不同情形选择不同的波动率估计方法，这就暴露了Black-Scholes模型的不足以及潜在的模型风险。仿照基础资产，利用新的随机函数对波动率进行建模，并且以资产收益率与该随机函数的变动的相关性为基本假设，提出的随机波动率模型，简称SVM。Heston、Ball-Roma、Hull-White等人曾对此类模型进行深入研究，其中Heston在1993年的一篇文章中，曾给出了一个关于欧式期权的显示积分表达式，提高了模型拟合的有效性，使得该模型受到受到广泛关注。Lewis于2000年给出了模型混合解，并且该

12、混合解会随着资产与波动率相关性变化时发生退化，即不相关时退化成Hull-White公式，其微笑特征可以从Black-Scholes模型的凸性中得出。Black-Scholes模型是最经典的期权定价模型，它奠定了期权定价理论的基础、推动了期权市场的发展，并被广泛应用于衍生品市场中，但它假设隐含波动率为常数，与市场上实际观测到的“隐含波动率曲面”现象不符。Carr和Wu在2010年的论文中指出，“相比于期权价格，隐含波动率能够更好的衡量不同期权合约的相对价格、反应标的资产收益率的分布情况、识别套利机会”。Black-Scholes模型的缺陷，引发了后续学者对波动率建模的一系列研究。一类模型直接刻画

13、标的资产在风险中性测度下的动态，根据其对标的资产波动率的假设，被分为：局部波动率模型、随即波动率模型、基于Levy过程的模型。Hull和Suo指出，使用这些模型为路径依赖期权等奇异衍生品定价时存在很大的模型风险，Cont和Fonseca指出对冲模型参数的频繁变化在风险管理方面存在较大的问题。另一类模型直接对隐含波动率动态进行建模，力图在拟合隐含波动率曲面在某一时刻的形态的同时，刻画隐含波动率曲面随着时间的变化规律。现有的关于动态隐含波动率模型的研究有三个分支：第一个分支为“市场模型”，它构建了标的资产和隐含波动率的联合动态，采用了与利率模型中的HJM模型相同的方法。Carr和Wu、Schwei

14、zer和Wissel指出，这种建模方法的缺陷为，作为初值输入的隐含波动率曲面会对隐含波动率动态过程的组成成分造成未知的影响。Carr和Wu提出了第二个分支方法，Vega-Gamma-Vanna-Volga模型，该模型根据期权价格在风险中性测度下为鞅这一原则，推导出确定波动率曲面形态的偏微分方程。第三个分支为“因子模型”，这类模型假设隐含波动率曲面是被一些随机的因子驱动的。Cont、Fonseca、Fengler和Skiadopoulos等分别用Karhunen-Loeve分解、共同主成分分析和主成分分析几种非参数化方法，在隐含波动率曲面时间序列数据中提取因子刻画曲面形态的主要因子，通过对这些主

15、要因子动态过程建模达到对整个波动率曲面动态过程的建模目的。3、 随机波动率模型期权作为一类高级金融衍生品，其定价问题一直是金融学者的研究重心，1973年BS期权定价公式建立，进一步的推动了金融衍生品的研究浪潮。近年来，随着金融市场全球化的步伐日益加快，国内市场上出现了更加灵活方便的奇异期权，截至目前，其主要集中在以沪深300指数、中证500指数等为标的场外市场，主要品种有：鲨鱼期权、二元期权、价差期权等，同时也有部分股票期权、亚式期权等。首先，在合约的功能上来说，奇异期权场内的标准期权合约更加灵活，更适合出现在结构化产品中，是一类更加适合普通投资者参与的金融衍生品。奇异期权的品种、交易数量以及

16、交易额均发展迅速，并且随着投资者的需求会更加的灵活多变，因此，这类期权的定价是当前国内市场的研究热点之一，也具有很重要的学术价值和社会经济意义。熟悉BS公式的学者均了解，期权定价的核心问题是波动率估计，而波动率不仅仅在期权定价中发挥着重要作用，其本身也是一个重要的风险指标，是对资产收益不确定性的一种度量，在投资组合构建、风险管理以及货币政策制定等领域均发挥这不可替代的作用。（一）B-S模型和隐含波动率B-S模型为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市场价格变动定价的衍生金融产品的合理定价奠定了基础。该模型假设，风险中性测度下标的资产过程符合几何布朗运动： （1） 其中，在给

17、定测度下，dW为布朗运动；无风险利率r和波动率为常数。在该模型假设下，在t时刻，以不分红资产S为标的资产、到期日为T、执行价为K的欧式看涨期权的价格C和欧式看涨期权的价格P可以由B-S公式给出： （2） 其中， (3) N(x)是标准正态分布的累积分布函数。隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入B-S公式反推出来的波动率数值。在其他条件不变的情况下，期权价格随隐含波动率的上升而上升，B-S公式提供了隐含波动率和期权价格的一一对应关系。实际中，同一标的资产、不同行权价、不同到期日的期权所对应的隐含波动率不同，在三维空间中成曲面或倾斜的形态，称之为“隐含波动率曲面”。波动率曲面是期权定价的核心，也

18、是金融工程方向研究的热点问题，模型是否能够合理刻画隐含波动率曲面对期权定价、交易与对冲至关重要。（二）SABR模型随机波动率模型是一类假设标的资产波动率服从某一随机过程的模型，基于随机波动率模型构建隐含波动率曲面的方法在实际中使用的非常广泛。随机波动率模型的期权定价公式是在风险中性测度下基于无风险定价理论得出的，基于这类模型得到的隐含波动率曲面具有无套利的性质。最常用的随机波动率模型是Heston模型和SABR模型。Heston模型是第一个通过严格的理论证明得到欧式期权价格半显示解的随机波动率模型，显示解是否存在对模型参数矫正速度的影响非常大；另外，Heston模型对标的资产和随机波动率的假设

19、符合市场上实际观察到的数据特点；除此之外，Heston模型比其他随即波动率模型更容易实现。另一个在实际应用十分广泛的随机波动率模型是SABR模型，SABR模型直接给出期权隐含波动率的显示解，而非期权定价公式。隐含波动率被越来越多地应用于衡量期权的相对价格，SABR模型直接得到隐含波动率的显示解，使它的应用更加方便。通过这个显示解和B-S公式的结合，可以非常方便的得出期权的各种风险因子(Delta,Gamma,Vega,Volga等)。除此之外，SABR模型还具有精准拟合市场数据，参数稳定等优点。SABR模型假设标的资产远期价格和波动率的动态服从以下过程： （4） 远期价格和波动率的初始值为。S

20、ABR模型的欧式期权价格由B-S公式给出：（5）其中，在给定测度下，dW和dZ为布朗运动；F为标的资产远期价格；K为期权合约交割价；T为期权合约剩余期限；为常数，即波动率常数假设，由SABR模型给出。模型中因子F和都是随机的，参数、为常数；其中是类波动率参数，与平值期权隐含波动率有函数关系，代表波动率的波动率，表示波动率的聚集状态；而则决定了标的价格与平值隐含波动率的关系。当1时，该随机模型接近对数正态，当0时，该随机模型接近正态分布。Hagan给出的解在1时存在内部矛盾，而且对长期限和敲定价格较小的情况定价不精准，针对这一问题Obloj提出了修正的解如下：(6)其中，(7)在值状态的隐含波动

21、率如下：(8)（三） SABR模型参数估计原理由波动率的表达式（8）可以看出，在应用SABR模型时，首先需要对模型进行参数估计，分别估计出其、四个参数，下面将展开介绍其参数的估计原理。1.参数- 从平值期权的波动率表达式（8）中可以看出，参数的估计可以由(F,F)以及F的log-log图中得到的，其精确性依赖于合约交易的活跃程度，交易活跃程度通常依赖于市场特征以及合约距离到期日的时间，对式（8）两边取对数： （9）模型中，参数满足：01.通过市场数据及模型对应的定价公式，反解出平值期权的隐含波动率，对式（9）做回归分析，即可获得的最小二乘估计。2.参数-整理式（9）得：(10) 该式在给定（，

22、）后，是关于的三次方程，可以直接求解。3.参数-、求解参数、时，首先假设其给定，由式（10）求解出参数，再代入式（8-10）可以求解出不同执行价格的期权波动率，将不同时刻、不同执行价格的数据汇总，通过式（4-5）可反解出隐含波动率，得到模型误差：(11)通过优化参数、，使得err达到最小。需要注意的是，优化目标err的形式以及具体的优化方法对于优化结果均有一定影响，在这里可以选择不同方法，例如时间加权等，即可以对距离当前时刻较远的数据赋予较小的权重，使模型能够趋向于拟合当前最新的市场动态。得到、后，可以绘制出当前时刻的波动率曲线。由于波动率与期权价格满足一一对应的关系，投资者可以依据隐含波动率

23、相对于波动率曲线的偏差制定对应的交易策略，获取相对稳健的投资收益。四、SABR模型实证分析（一）实证数据选取与数据处理1.数据选取对于SABR模型参数估计而言，参数的估计对合约期限的要求较为严格，在国外成熟市场中，往往会将合约到期期限分为远月、中期、近月合约，通常来说远月合约为大概两年的期限，近月合约大约为六个月，对于波动率模型来说只有在远月以内的合约才有交易意义，而国内合约编制中，通常为当月、下月及两个季月，最长期限一般为六个月左右，通常季月合约比较丰富，合约数量较多，因此，本文将选择当前三月份到期合约。通过对SABR模型分析发现，在对期权波动率进行估计时，使用的是期权标的的远期价格f，依据

24、国内期权市场的现状，本文将采用相应的期货价格作为标的远期价格，截至目前，国内发行的期权是以50ETF为标的，不存在对应的期货品种，我们将通过修正上证50指数期货数据来代替50ETF期货，主要选取数据如下表：表1：模型估计所使用的指数、期货及期权合约（来源：wind资讯）合约名称合约代码数据周期日期范围上证50指数000018.SHTick20180312-20180315上证50ETF510050.SHTick20180312-20180315上证50指数期货IH1803.CFETick20180312-2018031550ETF购3月2.601001237Tick20180312-20180

25、31550ETF购3月2.6510001163Tick20180312-2018031550ETF购3月2.7010001137Tick20180312-2018031550ETF购3月2.7510001129Tick20180312-2018031550ETF购3月2.8010001105Tick20180312-2018031550ETF购3月2.8510001106Tick20180312-2018031550ETF购3月2.9010001107Tick20180312-2018031550ETF购3月3.0010001108Tick20180312-2018031550ETF购3月3.

26、1010001164Tick20180312-2018031550ETF购3月3.2010001175Tick20180312-2018031550ETF购3月3.3010001183Tick20180312-2018031550ETF购3月3.4010001191Tick20180312-2018031550ETF购3月3.5010001199Tick20180312-2018031550ETF购3月3.6010001207Tick20180312-201803152.数据处理第一步：选取的市场数据均从wind资讯获取，首先就下列问题进行数据修正。提取的不同合约数据之间，由于报价机制与win

27、d资讯平台对数据的一些处理，往往会造成直接获得的数据时间上并不一致，因此，要在保持市场特征的前提下，在统一的时间轴上对数据进行对齐工作，时间轴设定为： 9:30:00-11:30:00,13:00:00-15:00:00，具体对齐规则如下：1）当对应时间轴上没有原始数据时，向后（历史）选取最近的行情数据进行补全；2）当每秒钟对应多个原始数据时，选取最新（最后一个）数据作为当前行情数据；3）若当天开盘时刻数据缺失，则选择当天距离缺失时刻最近的行情数据进行补全。数据修正前后对比（数据区间均为：2018-03-12至2018-03-15）：图1：上证50ETF数据与修正后的50指数数据对比由于原始数

28、据在时间轴上有一定缺失，为给出明确对比，首先对缺失数据补0，可以看出数据修复前后基本一致，其余合约数据如下： 图2：上证50指数数据 图3：上证50指数期货图4：50ETF购3月2.60数据 图4：550ETF购3月2.65数据图6：50ETF购3月2.70数据 图7：50ETF购3月2.75数据图8：50ETF购3月2.80数据 图9：50ETF购3月2.85数据图10：50ETF购3月2.90数据 图11：50ETF购3月2.95数据图12：50ETF购3月3.00数据 图13：50ETF购3月3.10数据图14：50ETF购3月3.20数据 图15：50ETF购3月3.30数据图16：5

29、0ETF购3月3.40数据 图17：50ETF购3月3.50数据图18：50ETF购3月3.60数据 第二步：为获取50ETF的远期价格，首先验证上证50指数与50ETF之间的相关性。选取2018-03-08至2018-03-15数据区间，在这个区间内对50指数和50ETF数据收益率序列进行Pearson相关性分析，结果如图18所示。可以看出，上证50指数数据和50ETF数据呈线性相关，且相关系数为0.986，在区间内，Pearson检验Tick级数据的P值为0，因此Tick级数据高度相关。上述情况表明，50ETF对上证指数有很好的追踪效果。图19：50指数与50ETF数据在不同周期下收益率相

30、关性第三步：依照50指数数据与50ETF数据之间的关系，我们认为50ETF期货与50指数期货所给予的布朗运动可以近似看作同一个，因此其在数据上存在一个稳定的价格差，而收益率基本一致，故可通过对50指数期货数据进行修正以获取模拟50ETF期货的市场数据。在2018-03-08至2018-03-15数据区间内，计算上证50指数与50ETF数据之间的平均价差e；以平均价差e为基准，对上证50指数期货IH1803合约数据进行调整，具体调整方法如下：1) 计算50指数期货合约IH1803的对数收益率，即；2) 在合约IH1803的区间段数据起始，即2018-03-08当天第一个最新价增加一个平均价差e；

31、3) 在保证数据对数收益率不变的前提下，一次修正剩余交易数据。经过修正后的数据将作为50ETF远期价格序列，结果如图19所示：图20：模拟50ETF远期价格走势第四步：为验证上述数据修正方法的可靠性，运用上述修正方法对上证50指数进行调整，验证修正后的上证50指数数据与50ETF数据的拟合度。（二） SABR模型参数估计1.隐含波动率模型参数估计过程中，隐含波动率的计算是最重要的，本文主要使用Matlab软件，利用BS公式进行反解，由于SABR模型的特点，在计算中应注意隐含波动率计算方法，软件中通常使用标的为股票或指数的期权定价公式进行反解，而模型是基于远期价格的定价模型，因此因注意定价公式的

32、差异。图21为2018-03-12至2018-03-15每日的盘中（10：30时）看涨期权隐含波动率，由于通常看涨期权的隐含波动率在平值附近最低，呈现微笑状态：图21：不同时刻上证50ETF看涨期权隐含波动率曲线从图中每日波动率情况可以看出，平值及虚值部分比较集中，一般情况下，这两类期权交易量大，定价也通常比较准确。图22为2018-03-12至2018-03-15区间每隔半小时计算一次隐含波动率的汇总图：图22：隐含波动率汇总（时间间隔为30分钟）2.估计参数 根据3.3节中提出的公式（9）（忽略剩余项）：（12）应用由B-S公式计算的平值期权隐含波动率，考察在2018-03-12至2018

33、-03-15时间段内，到期日为2018-03-28的看涨期权，如图23：图23：隐含波动率汇总（时间间隔30分钟 ）从图23可以看出，隐含波动率呈现出按时间聚集的状态，每30分钟做一次重估参数，具体估计结果如图24：图24：参数估计值基本保持稳定经观察发现，由于Tick级数据上噪声比较明显，在做最小二乘估计时会早成一定误差，呈现一定波动，故取其移动平均值作为当前的估计值。3.估计参数、和在式中需要首先假定参数、已知时才能解出，因此，本文将参数与、合并估计，优化方向和定位期权历史数据计算的隐含波动率。具体地，首先在2018-03-12至2018-03-15时间段中，用代表不同执行价格期权在不同时

34、刻的隐含波动率，在一定范围内选取参数对（，），代入式（10）求接触参数，选取解中最小的正实数作为的参数估计，将（，）带入式（6-8）得到对应执行价格的模型波动率，设定目标函数为：图25为2018-03-15 13:29:34，不同（，）下的模型误差图像：图25：不同，下模型误差由于选取的为Tick级数据，数据量较大，且数据间一般维持一个最小变动，故误差图像的地步会相对平坦。另外，由于标的期货数据是经过修正相关数据获得的，存在一定的误差，有些情况下会呈现不规律状态，会给参数估计造成一定的影响，体现了目前该模型在国内期权市场应用的局限性。（3） 波动率曲线分析根据当日的参数估计结果，将参数代入SA

35、BR模型的波动率解析公式，中，求接出每日不同时刻对应的隐含波动率，结果如图26：2018-03-12波动率拟合 2018-03-13波动率拟合2018-03-14波动率拟合 2018-03-15波动率拟合图26：SABR模型基于当日收盘前参数对隐含波动率的拟合上述模型预测结果，明显可以刻画出隐含波动率的微笑状态，其中由于交易量较小，市场活跃性低，波动率聚集现象比较明显，同时也反映出SABR模型对上证50ETF期权隐含波动率具有较好的拟合效果。五、总结与展望（一）实证总结SABR模型座位一种对局部随机波动率模型的改进，由于其能够较好的解决局部波动率在波动率微笑动态预测方面的问题，较好的拟合波动率

36、曲面，受到金融业内的广泛应用。本文主要基于国内新兴场内期权市场，选取50ETF期权合约，通过修正50指数期货数据来获取对应标的的近似远期价格，应用SABR模型对上证50ETF期权市场的波动率进行了分析，实现了SABR模型在上证50ETF期权上的应用，最终给出了稳定的参数估计结果，验证了该模型在国内期权市场的适用性，同事，也证明了在当前的市场结构下，中国新兴期权市场定价的合理性。（二）本文的不足与展望在上述分析中存在一定的不足，具体如下：(1) 由于在模型参数估计过程中，标的远期价格是通过数据的相关性修复获取，与实际结果可能存在一定的误差，从而导致参数估计误差的累积，进而带来模型风险；(2) 在数据选择上，由于选取的Tick级数据，有一定的噪声，参数的稳定性任需进一步改