高中数学全程学习方略配套课件23等差数列习题课人教a版必修

1、 已知已知SnSn求通项公式求通项公式anan【名师指津】数列前【名师指津】数列前n n项和项和SnSn与通项公式与通项公式anan的关系的关系. .已知数列已知数列anan的通项公式的通项公式anan就可以求数列就可以求数列anan的前的前n n项和项和SnSn；反过来，若已知数列反过来，若已知数列anan的前的前n n项和项和SnSn也可以求数列也可以求数列anan的通的通项公式项公式an.an.Sn=a1+a2+a3+an,Sn-1=a1+a2+a3+an-1(n2),Sn=a1+a2+a3+an,Sn-1=a1+a2+a3+an-1(n2),在在n2n2的条件下，把上面两式相减可得：的

2、条件下，把上面两式相减可得：an=Sn-Sn-1(n2)an=Sn-Sn-1(n2)，当，当n=1n=1时，时，a1=S1a1=S1，所以，所以an=an=1nn 1S(n1).SSn2【特别提醒】【特别提醒】an=Sn-Sn-1an=Sn-Sn-1只对只对n2n2的正整数成立的正整数成立. .由由SnSn求通项求通项公式公式anan时，要分时，要分n=1n=1和和n2n2两种情形，然后验证两种情况可否两种情形，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示. .【例【例1 1】已知数列】已知数列anan的前的前n n项和为

3、项和为SnSn，且当，且当nNnN* *时满足时满足Sn=-3n2+6nSn=-3n2+6n，求数列，求数列anan的通项公式的通项公式an.an.【审题指导】题目中给出了数列的前【审题指导】题目中给出了数列的前n n项和项和SnSn的表达式，欲的表达式，欲求此数列求此数列anan的通项公式的通项公式anan，可利用，可利用an=Sn-Sn-1an=Sn-Sn-1（n2)n2)，然后再验证当然后再验证当n=1n=1时是否成立，可否用统一解析式表示，即时是否成立，可否用统一解析式表示，即可求解可求解. .【规范解答】当【规范解答】当n=1n=1时，时，a1=S1=3,a1=S1=3,当当n2n2

4、时，时，an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-3(n-1)2+6(n-1)=9-an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-3(n-1)2+6(n-1)=9-6n6n， a1=3 a1=3符合此式符合此式. .an=9-6n(nNan=9-6n(nN* *).).【互动探究】若本例中【互动探究】若本例中“Sn=-3n2+6n”“Sn=-3n2+6n”改为改为“Sn=-3n2 +6n “Sn=-3n2 +6n +1”,+1”,其他条件不变，又如何求通项公式其他条件不变，又如何求通项公式anan呢？呢？【解题提示】利用【解题提示】利用anan与与SnSn的关系，即的关系，即an=Sn-Sn-1(

5、n2)an=Sn-Sn-1(n2)求解即求解即可可, ,注意验证注意验证n=1n=1时是否成立时是否成立. .【解析】当【解析】当n=1n=1时，时，a1=S1=4.a1=S1=4.当当n2n2时，时，an=Sn-Sn-1=an=Sn-Sn-1=（-3n2+6n+1-3n2+6n+1）-3-3（n-1n-1）2+6(n-1) 2+6(n-1) +1=9-6n,a1=4+1=9-6n,a1=4不符合此式不符合此式. .故故an=an=4(n1).96n(n2) 求数列求数列 anan 的前的前n n项和项和【名师指津】求数列【名师指津】求数列 anan 的前的前n n项和的方法策略项和的方法策略

6、. .等差数列各项取绝对值后组成的数列等差数列各项取绝对值后组成的数列 anan 的前的前n n项和，可分项和，可分为以下情形：为以下情形：(1)(1)等差数列等差数列anan的各项都为非负数，这种情形中数列的各项都为非负数，这种情形中数列 anan 就等于数列就等于数列anan，可以直接求解，可以直接求解. .(2)(2)等差数列等差数列anan中，中，a10,d0,d0，这种数列只有前边有限项为非，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列anan分成两分成两段处理段处理. .(3)(3)等差数列等差数列anan中，中

7、，a10,a10,这种数列只有前边有限项为负这种数列只有前边有限项为负数数, ,其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理. . 总之，解决此类问题的关键是找到数列总之，解决此类问题的关键是找到数列anan的正负界点的正负界点. .【特别提醒】对于含有正、负项的等差数列【特别提醒】对于含有正、负项的等差数列anan，一定要明确，一定要明确从哪项开始为正或从哪项开始为负从哪项开始为正或从哪项开始为负. .【例【例2 2】已知等差数列】已知等差数列anan中，中，S2=16S2=16，S4=24S4=24，求数列，求数列 anan 的前的前n n项和项和A

8、n.An.【审题指导】题目中给出的数列【审题指导】题目中给出的数列anan是等差数列，且是等差数列，且S2=16S2=16，S4=24S4=24，由此可先求得首项和公差，即可得通项公式，由此可先求得首项和公差，即可得通项公式anan，欲求，欲求数列数列 anan 的前的前n n项和项和AnAn，关键是先判断出，关键是先判断出anan中哪些项是中哪些项是负的，然后再分段求出前负的，然后再分段求出前n n项的绝对值之和项的绝对值之和. .【规范解答】设等差数列【规范解答】设等差数列anan的首项为的首项为a1a1，公差为，公差为d,d,由已知列方程组由已知列方程组解得解得a1=9a1=9，d=-2

9、d=-2，an=11-2n.an=11-2n.令令an0an0，得，得11-2n011-2n5.5.n5.5.设设SnSn表示数列表示数列anan的前的前n n项和，项和，当当n5n5时，时，an0an0，An=Sn=-n2+10nAn=Sn=-n2+10n；112 12ad162,4 34ad242当当n6n6时，时，an0an0，An=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-anAn=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-an=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+an)=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+an)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3

10、+a4+a5+a6+a7+an)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+an)=2S5-Sn=2=2S5-Sn=2(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50An=An=22n10n,n5.n10n50,n6【变式训练】在等差数列【变式训练】在等差数列anan中中,a1=-60,a17=-12,a1=-60,a17=-12,求数列求数列|an|an|的前的前n n项和项和. .【解题提示】由【解题提示】由a1=-60a1=-60，a17=-12a17=-12，可先求得公差，可先求得公差

11、d d，分，分清哪些项是负的，然后再分段求出前清哪些项是负的，然后再分段求出前n n项的绝对值之和项的绝对值之和. .【解析】设数列【解析】设数列anan的公差为的公差为d d，则，则d= =3,d= =3,an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.3=3n-63.由由anan0,0,得得3n-633n-630 0，即，即n n21.21.当当n=21n=21时，时，a21=0.a21=0.数列数列anan的前的前2020项是负数，第项是负数，第2020项以后的项都为非负数项以后的项都为非负数. .1711260aa17 116 设

12、设Sn,SnSn,Sn分别表示数列分别表示数列anan和和|an|an|的前的前n n项之和，项之和，当当n20n20时，时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-anSn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-an=-Sn=-=-Sn=-60n+ -60n+ 3 3= = 当当n n2020时，时，Sn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20Sn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+ =-60n+ 3-23-2(-60(-6020+ 20+ 3)3)n n1223123nn;22n n1220 19223123nn1 260.22数列数列|an|an|

13、的前的前n n项和项和Sn=Sn=223123nn,n2022.3123nn1 260,n2022 等差数列在实际问题中的应用等差数列在实际问题中的应用【名师指津】利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略【名师指津】利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略. .利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题. .对于此类对于此类有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑：的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑：【例】从【例

14、】从4 4月月1 1日开始，有一新款服装投入某商场销售日开始，有一新款服装投入某商场销售.4.4月月1 1日日该款服装售出该款服装售出1010件，第二天售出件，第二天售出2525件，第三天售出件，第三天售出4040件，以后件，以后每天售出的件数分别递增每天售出的件数分别递增1515件，直到件，直到4 4月月1212日日销售量达到最日日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减大，然后，每天售出的件数分别递减1010件件. .(1)(1)记从记从4 4月月1 1日起该款服装日销售量为日起该款服装日销售量为an,an,销售天数为销售天数为n,1n30,n,1n30,求求anan与与n n的关系；

15、的关系；(2)(2)求求4 4月份该款服装的总销售量；月份该款服装的总销售量；(3)(3)按规律，当该商场销售此服装超过按规律，当该商场销售此服装超过1 2001 200件时，社会上就件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100100件时，则此服装在社会上不再流行件时，则此服装在社会上不再流行. .试问：该款服装在社会上试问：该款服装在社会上流行的时间是否超过流行的时间是否超过1010天？说明理由天？说明理由. .【审题指导】由题意分析可知，求总销售量问题可转化为【审题指导】由题意分析可知，求总销售量问题可转化为等差数

16、列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：等差数列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：【规范解答】【规范解答】(1)(1)设从设从4 4月月1 1日起该款服装的日销售量构成数列日起该款服装的日销售量构成数列an.an.由题意知，数列由题意知，数列a1,a2,a12a1,a2,a12是首项为是首项为1010，公差为，公差为1515的等差的等差数列，数列，an=15n-5(1n12an=15n-5(1n12且且nNnN* *).).而而a13,a14,a15a13,a14,a15，,a30,a30是首项为是首项为a13=a12-10=165,a13=a12-10=165,公差为公差为-10-1

17、0的等差数列，的等差数列，an=165+(n-13)an=165+(n-13)(-10)=-10n+295(13n30(-10)=-10n+295(13n30且且nNnN* *).).an=an=15n5,1n12nN*.10n295,13n30nN*且且(2)4(2)4月份该款服装的总销售量为月份该款服装的总销售量为 +18a13+ +18a13+ =2 550( =2 550(件件).).(3)4(3)4月月1 1日至日至4 4月月1212日的销售总量为日的销售总量为 =1 1101 200, =1 1101 200,44月月1212日前该款服装在社会上还没有流行日前该款服装在社会上还没有

18、流行. .由由-10n+295100,-10n+295 n 第第2020天该款服装在社会上不再流行天该款服装在社会上不再流行. .该款服装在社会上流行没有超过该款服装在社会上流行没有超过1010天天. .11212 aa2 30 1230 12 1102 1210 17518 171018 16522 11212 aa1210 1752239,2【变式备选】一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：【变式备选】一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速从时速10 km/h10 km/h开始，每隔开始，每隔2 s2 s速度提高速度提高20 km/h20 km/h，如果测试，如果测试时间是时

19、间是30 s30 s，测试距离是多长？，测试距离是多长？【解析】由于每隔【解析】由于每隔2 s2 s速度提高速度提高20 km/h20 km/h，所以该赛车在每个，所以该赛车在每个2 s2 s内的速度构成等差数列内的速度构成等差数列anan且且a1=10,d=20.a1=10,d=20.如果测试时间是如果测试时间是30 s30 s，则最后一个，则最后一个2 s2 s内的速度是内的速度是a15a15，测试，测试距离距离S=(a1+a2+a15)S=(a1+a2+a15) =(15 =(1510+ 10+ 20)20) =1.25(km).=1.25(km).答：若测试时间是答：若测试时间是30

20、s30 s，则测试距离为，则测试距离为1.25 km. 1.25 km. 11 80015 14211 800【典例】【典例】(12(12分分) )有两个等差数列有两个等差数列anan，bnbn，其前，其前n n项和分项和分别为别为SnSn和和TnTn，若，若 求求【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n n项和项和SnSn和和TnTn的比值，欲求的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前的值，可充分利用等差数列前n n项和公式及等差中项的关系转化为项和公式及等差中项的关系转化为 的关系的关系. .nnS7n2Tn3，55a.b55a

21、bnnST【规范解答】方法一：【规范解答】方法一： 3 3分分 66分分 9 9分分 1 12 2分分5555a2ab2b191919199 aaaa29 bbbb299S7 92T93 65.12方法二：因为方法二：因为 3 3分分所以设所以设Sn=(7n+2)knSn=(7n+2)kn，Tn=(n+3)kn,k0, 6Tn=(n+3)kn,k0, 6分分a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k, 9a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k, 9分分 12 12分分nnS7n2Tn3，55a65k65.b12k12【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【误区警示

22、】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】有两个等差数列【即时训练】有两个等差数列anan，bnbn，其前，其前n n项和分别项和分别为为SnSn和和TnTn，若，若 求求【解析】由等差数列的性质得【解析】由等差数列的性质得nnS2nT3n1，2517228101216aaaa.bbbb25172212111112810121612111112aaaa2a2aaabbbb2b2bbb1221222212212222aa22aaS2 22442.bbbbT3 22 1672221.1.设数列设数列anan的前的前n n项和项和Sn=n2Sn=n2，则，则a8a8的值为的值为( )( )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64(A)15 (B)16 (C)49 (D)64【解析】选【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15.A.a8=S8-S7=64-49=15.2.2.已知数列已知数列an an 为等差数列，为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,a1=35,d=-2,Sn=0,则则n n等于等于( )( )(A