高阶导数的应用_第1页
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1、 高阶导数的应用一、用多项式近似表达函数泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢? 定理1设f(x)在x0点及其附近有直到n1阶的连续导数，那么其中Rn(x)(在0与x之间)上式称为函数f(x)在x0点附近关于x的泰勒展开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。当x0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于的高阶无穷小量，可表示为Rn(x)O()。 O()称为皮亚诺余项。这样，函数f(x)在x0点附近的泰勒展开式又表示为：一般地，函数f(x)在xx0点附近泰勒

2、展开式为：二、几个初等函数的泰勒公式例1、求函数f(x)在x0点的泰勒展开式解：f'(x)f"(x)f(n)(x) f(0)f'(0)f"(0)f(n)(0)1 于是，在x0点的泰勒展开式为： 在上式中，令x1，可得求e的近似公式例2、求函数f(x)sin x在x0点的泰勒展开式解：f'(x)cos x，f"(x)-sin x，f"'(x)-cos x，f(4)(x)sin x， f(0)0，f'(0)1，f"(0)0，f"'(x)1，f(4)(0)0， f(2n1)(0)，f(2n)(

3、0)0 于是，sin x在x0点的泰勒展开式为： 例3、求函数f(x)cos x在x0点的泰勒展开式解：f'(x)-sin x，f"(x)-cos x，f"'(x)sin x，f(4)(x)cos x， f(0)1，f'(0)0，f"(0)1，f"'(x)0， f(4)(0)1， f(2n1)(0)0，f(2n)(0) 于是，cos x在x0点的泰勒展开式为： 例4、求函数f(x)ln(1x)在x0点的泰勒展开式解：f'(x) ，f"(x)- ， f"'(x) ，f(4)(x)- ， f

4、(0)0，f'(0)1，f"(0)-1!，f"'(x)2!，f(4)(0)-3!， f(n)(0)(n1)! 于是，ln(1x)在x0点的泰勒展开式为：3、 罗必塔法则 1. 不定式定理1 如果当xa时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a的某一邻域内(点a除外)，f(x)、g(x)均存在，g(x)0，且 存在(或无穷大)，则证明：根据柯西定理有在x与a之间，当xa时a ， ，这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它们导数的商的极限。 当x时，上述定理也成立。例1、求极限解：当x0时原式是型的不定式，用罗必塔法则有 例2、求极限解：当x1时原式是型的不定式，用罗必塔法则有 例3、求极限解：当x时原式是型的不定式，用罗必塔法则有 2. 不定式定理2 如果当xa时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)0且 存在(或无穷大)，则当x时，上述定理也成立。例1、求解：当x0+时原式

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